Класс 10 → Координатная геометрия → Уравнение прямой в координатной геометрии ↓
Форма с двумя точками
В координатной геометрии одним из основных аспектов является понимание того, как вывести уравнение линии. Существуют различные формы уравнений линий, однако среди них "форма с двумя точками" является очень полезной, особенно когда вы знаете две точки, через которые проходит линия. Этот метод позволяет вам вывести уравнение, используя только эти две точки.
Понимание концепции
Форма с двумя точками уравнения линии помогает алгебраически выразить линию. Если у вас есть две точки на линии, скажем (x 1, y 1) и (x 2, y 2), вы можете использовать их для нахождения уравнения линии, соединяющей эти две точки.
Математические формулы
Формула формы с двумя точками выводится из концепции наклона, который измеряет крутизну или наклон линии. Наклон m линии, проходящей через две точки (x 1, y 1) и (x 2, y 2), вычисляется следующим образом:
m = (y 2 - y 1) / (x 2 - x 1)
Используя этот наклон, форма с двумя точками уравнения линии выглядит так:
y - y 1 = m(x - x 1)
Подставив m в уравнение, мы получаем:
y - y 1 = ((y 2 - y 1) / (x 2 - x 1))(x - x 1)
Это форма с двумя точками уравнения линии.
Пример 1
Рассмотрим две точки на линии: (2, 3) и (4, 7). Мы используем эти точки, чтобы найти уравнение линии.
Шаг 1: Вычислите наклон (m)
m = (7 - 3) / (4 - 2) = 4 / 2 = 2
Шаг 2: Используйте форму с двумя точками для уравнения линии с точкой (2, 3):
y - 3 = 2(x - 2)
Шаг 3: Упростите уравнение:
y - 3 = 2x - 4
Добавьте 3 к обеим сторонам, чтобы решить уравнение относительно y:
y = 2x - 1
Таким образом, уравнение линии, проходящей через точки (2, 3) и (4, 7), это y = 2x - 1.
Диаграмма линии, показанная выше, иллюстрирует линию, проходящую через точки (2, 3) и (4, 7), отмеченные на декартовой плоскости. Точки отмечены, и вы можете видеть линию, представляющую уравнение y = 2x - 1.
Пример 2
Рассмотрим еще один пример. Найдите уравнение линии, проходящей через (-1, 5) и (3, -1).
Шаг 1: Вычислите наклон (m)
m = (-1 - 5) / (3 - (-1)) = -6 / 4 = -3/2
Шаг 2: Используйте форму с двумя точками для уравнения линии с точкой (-1, 5):
y - 5 = (-3/2)(x + 1)
Шаг 3: Упростите уравнение:
y - 5 = (-3/2)x - 3/2
Добавьте 5 к обеим сторонам, чтобы решить уравнение относительно y:
y = (-3/2)x + 7/2
Таким образом, уравнение линии, проходящей через точки (-1, 5) и (3, -1), это y = (-3/2)x + 7/2.
Линия выше показывает отрицательный наклон. Точки (-1, 5) и (3, -1) нанесены, что показывает линию, описанную уравнением y = (-3/2)x + 7/2.
Почему форма с двумя точками полезна
Форма с двумя точками невероятно полезна по многим причинам. Она предоставляет простой, но мощный способ понять и анализировать линии. Будь то работа с графическими приложениями, решение систем уравнений или понимание геометрических фигур, она предоставляет солидную основу для расчетов. Она помогает преобразовать две известные точки непосредственно в уравнение, которое определяет стабильное соотношение по всему графику.
Некоторые из её полезных приложений следующие:
- Прогнозирование трендов с использованием известных данных в реальных сценариях, таких как экономика или физика.
- Моделирование и понимание геометрических фигур или проектирование графиков и диаграмм.
- Упрощение сложных функций и уравнений в решении математических задач.
Важные вещи, которые нужно запомнить
- Точки должны быть четкими и различимыми, иначе наклон будет неопределённым.
- Убедитесь, что обе точки точны, чтобы можно было провести требуемую правильную линию.
- Эта форма может быть преобразована в другие формы, такие как форма наклон-перехват, которая особенно полезна для построения графиков и расчетов перехватов.
Заключение
Форма с двумя точками — это простой метод нахождения уравнения линии, когда известны две точки. Овладение этой формой значительно помогает в понимании координатной геометрии, что приводит к более сильным навыкам решения задач при работе с линейными соотношениями.
комментарии