10º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propriedades dos Números Reais  1.1.2. Números racionais e irracionais  1.1.3. Representação decimal de números reais  1.1.4. Operações com números reais  1.1.5. Números reais na reta numérica  1.2. O lema da divisão de Euclides  1.3. Fatoração de números primos  1.4. Compreendendo o MMC e o MDC em sistemas numéricos  1.5. Expoentes e Radicais  1.5.1. Leis dos expoentes  1.5.2. Simplificação de expressões básicas  1.5.3. Notação científica
  2. Compreendendo Algebra  2.1. Polinômios  2.1.1. Definição e tipos de polinômios  2.1.2. Grau de um polinômio  2.1.3. Zeros de um polinômio  2.1.4. Fatoração de polinômios  2.1.5. Identidades algébricas  2.2. Equações lineares em duas variáveis  2.2.1. Gráficos de equações lineares  2.2.2. Soluções de equações lineares  2.2.3. Aplicação de equações lineares em problemas de palavras  2.3. Entendendo Equações Quadráticas  2.3.1. Forma padrão de equação quadrática  2.3.2. Métodos para resolver equações quadráticas  2.3.2.1. Método de fatoração  2.3.2.2. Método de completar o quadrado  2.3.2.3. Fórmula quadrática  2.3.3. Compreendendo a natureza das raízes em equações quadráticas  2.4. Entendendo progressões aritméticas  2.4.1. Definição de progressão aritmética  2.4.2. Termo geral da Progressão Aritmética (PA)  2.4.3. A soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética  2.5. Introdução às funções  2.5.1. Definição e tipos de funções  2.5.2. Domínio e imagem  2.5.3. Estrutura dos trabalhos  2.5.4. Inverso de uma função
  3. Geometria coordenada  3.1. Introdução ao sistema cartesiano em geometria coordenada  3.2. Fórmula da distância  3.3. Fórmula da seção  3.4. Área de um triângulo  3.5. Inclinação da linha  3.6. Equação de uma linha em geometria coordenada  3.6.1. Forma de inclinação-interceptação  3.6.2. Introdução à forma ponto-inclinação  3.6.3. Forma de dois pontos  3.6.4. Forma de interceptação  3.6.5. Forma geral da linha
  4. Trigonometria  4.1. Razões trigonométricas  4.1.1. Sen, cosseno, tangente e seus inversos  4.1.2. Compreendendo os valores das razões trigonométricas em ângulos específicos  4.2. Identidades Trigonométricas  4.3. Relações trigonométricas de ângulos complementares  4.4. Alturas e distâncias  4.4.1. Compreendendo ângulos de elevação e depressão  4.4.2. Aplicações em problemas da vida real
  5. Geometria  5.1. Triângulo  5.1.1. Congruência de triângulos  5.1.2. Critérios de conformidade  5.1.3. Propriedades dos triângulos  5.2. Compreendendo similaridade na geometria  5.2.1. Compreendendo formas semelhantes na geometria  5.2.2. Critérios de semelhança  5.2.3. Similaridade de triângulos  5.2.4. Aplicações do paralelismo na vida real  5.3. Compreendendo círculos na geometria  5.3.1. Propriedades do círculo  5.3.2. Tangente a um círculo  5.3.3. Número de tangentes a partir de um ponto  5.3.4. Ângulo subtendido pelo arco  5.4. Construções em geometria  5.4.1. Construção de triângulos semelhantes  5.4.2. Tangente a um círculo  5.4.3. Construção de uma bissetriz de ângulo
  6. Mensuração  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de um Triângulo  6.1.2. Compreendendo a área de um paralelogramo  6.1.3. Área do trapézio  6.1.4. Compreendendo a área de um losango  6.2. Área de superfície e volume  6.2.1. Área de superfície de cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.2. Área de superfície do cone e esfera  6.2.3. Volume de um cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.4. Volume de cone e esfera  6.3. Conversão de unidades  6.4. Tronco de cone
  7. Figuras  7.1. Introdução à estatística  7.2. Coleta de dados  7.3. Apresentação de dados  7.3.1. Forma Tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: Uma ferramenta para representação gráfica em estatística  7.3.2.3. Polígono de frequência  7.3.2.4. Ogiva  7.4. Medidas de tendência central  7.4.1. Média, mediana e moda  7.4.2. Compreendendo Quartis e Percentis  7.5. Medidas de dispersão  7.5.1. Alcance e intervalo interquartil  7.5.2. Desvio Padrão e Variância
  8. Possibilidade  8.1. Introdução à Probabilidade  8.2. Probabilidade experimental  8.3. Probabilidade teórica  8.4. Probabilidade de eventos simples  8.5. Programas Complementares  8.6. Probabilidade de eventos mistos

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Fórmula da seção


Na geometria analítica, a fórmula da seção é um conceito muito importante que nos fornece uma maneira de encontrar um ponto específico que divide um segmento de reta em uma razão específica. Esse conceito é comumente usado em problemas que envolvem dividir segmentos de reta de uma maneira específica. Compreender a fórmula da seção é importante na resolução de problemas de geometria relacionados à divisão de segmentos de reta. Vamos agora nos aprofundar no conceito de fórmula da seção.

Compreendendo segmentos de reta

Antes de entrarmos na fórmula da seção, vamos entender o que é um segmento de reta. Um segmento de reta é definido por dois pontos extremos. Por exemplo, em um plano, considere um segmento de reta formado pelos pontos A(x 1, y 1) e B(x 2, y 2). Este segmento de reta é estável porque tem um ponto inicial A e um ponto final B.

O que é a fórmula da seção?

A fórmula da seção ajuda a encontrar as coordenadas de um ponto P(x, y) que divide um segmento de reta entre dois pontos dados A(x 1, y 1) e B(x 2, y 2) em uma razão particular m:n.

Fórmula da seção - Divisão interna

Quando um ponto divide um segmento de reta internamente, as coordenadas do ponto P(x, y) são calculadas usando a fórmula de divisão interna:

x = (mx 2 + nx 1)/(m + n) y = (my 2 + ny 1)/(m + n)

Aqui, o ponto P(x, y) divide o segmento de reta AB na razão m:n.

Fórmula da seção - Divisão externa

Por outro lado, se o ponto divide o segmento de reta externamente, a fórmula muda um pouco. A fórmula para as coordenadas do ponto de divisão P(x, y) torna-se:

x = (mx 2 - nx 1)/(m - n) y = (my 2 - ny 1)/(m - n)

Aqui, o ponto P(x, y) divide o segmento externamente na razão m:n.

Visualizando a fórmula da seção

Exemplo: Divisão interna

Vamos considerar um segmento de reta com extremidades A(2, 2) e B(8, 10). Temos que encontrar o ponto P que divide esse segmento de reta na razão 3:2.

Uso da fórmula da seção para divisões internas:

x = (3*8 + 2*2)/(3 + 2) = (24 + 4)/5 = 28/5 = 5.6 y = (3*10 + 2*2)/(3 + 2) = (30 + 4)/5 = 34/5 = 6.8

Assim, as coordenadas do ponto P são (5.6, 6.8).

(2, 2)(8, 10)(5.6, 6.8)

Exemplo: Divisão externa

Considere os mesmos pontos A(2, 2) e B(8, 10), mas desta vez, vamos encontrar o ponto P que divide AB externamente na razão 3:2.

Uso da fórmula da seção para divisão externa:

x = (3*8 - 2*2)/(3 - 2) = (24 - 4)/1 = 20 y = (3*10 - 2*2)/(3 - 2) = (30 - 4)/1 = 26

As coordenadas do ponto P são (20, 26).

(2, 2)(8, 10)(20, 26)

Casos especiais na fórmula da seção

Ponto médio de um segmento de reta

Um caso especial da fórmula da seção é quando a razão é 1:1. Aqui, o ponto P é o ponto médio do segmento de reta AB.

x = (x 1 + x 2)/2 y = (y 1 + y 2)/2

Usando os mesmos pontos A(2, 2) e B(8, 10) o ponto médio é calculado da seguinte forma:

x = (2 + 8)/2 = 10/2 = 5 y = (2 + 10)/2 = 12/2 = 6

Portanto, o ponto médio de AB é (5, 6).

(2, 2)(8, 10)(5, 6)

Aplicações da fórmula da seção

A fórmula da seção é amplamente utilizada em vários campos de estudo, incluindo geometria, engenharia, design artístico, robótica e gráficos por computador. Ela ajuda a determinar divisões específicas e necessárias de segmentos de reta em várias aplicações.

Exemplo prático

Na engenharia civil, os construtores frequentemente precisam dividir áreas ou segmentos de reta para que as estruturas fiquem corretas e mantenham as proporções. Por exemplo, considere um cenário em que um arquiteto está projetando um edifício. O edifício possui corredores que devem ser divididos em seções específicas, com quartos espaçados proporcionalmente entre os dois pontos finais. O uso da fórmula da seção ajuda a garantir que cada seção esteja alinhada precisamente com os planos arquitetônicos.

Desafie-se

Imagine um cenário em que você precisa planejar um caminho de jardim com uma diagonal de 70m em um parque retangular. Usando divisões internas, o caminho precisa ser dividido igualmente em três partes, colocando dois bancos a uma distância baseada na fórmula da seção. Usando os pontos finais da diagonal, calcule onde os bancos devem ser colocados.

O conhecimento e a compreensão das fórmulas de seção fornecem uma base sólida para enfrentar problemas de cálculo similares e complexos em outras áreas avançadas da matemática e geometria.


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