Grado 10
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propiedades de los Números Reales  1.1.2. Números racionales e irracionales  1.1.3. Representación decimal de números reales  1.1.4. Operaciones con números reales  1.1.5. Números reales en la recta numérica  1.2. El lema de la división de Euclides  1.3. Factorización Prima  1.4. Comprender el MCM y el MCD en los sistemas numéricos  1.5. Exponentes y Radicales  1.5.1. Leyes de los exponentes  1.5.2. Simplificación de expresiones básicas  1.5.3. Notación científica
  2. Entendiendo el álgebra  2.1. Polinomios  2.1.1. Definición y tipos de polinomios  2.1.2. Grado de un polinomio  2.1.3. Ceros de un polinomio  2.1.4. Factorización de polinomios  2.1.5. Identidades algebraicas  2.2. Ecuaciones lineales en dos variables  2.2.1. Gráficas de ecuaciones lineales  2.2.2. Soluciones de ecuaciones lineales  2.2.3. Aplicación de ecuaciones lineales en problemas de palabras  2.3. Comprendiendo las ecuaciones cuadráticas  2.3.1. Forma estándar de la ecuación cuadrática  2.3.2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas  2.3.2.1. Método de factorización  2.3.2.2. Método de completar el cuadrado  2.3.2.3. Fórmula cuadrática  2.3.3. Comprendiendo la naturaleza de las raíces en las ecuaciones cuadráticas  2.4. Comprendiendo las progresiones aritméticas  2.4.1. Definición de progresión aritmética  2.4.2. Término general de la progresión aritmética (PA)  2.4.3. La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética  2.5. Introducción a las funciones  2.5.1. Definición y tipos de funciones  2.5.2. Dominio y rango  2.5.3. Estructura de los trabajos  2.5.4. Inverso de una función
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Introducción al sistema cartesiano en geometría de coordenadas  3.2. Fórmula de distancia  3.3. Fórmula de la sección  3.4. Área de un triángulo  3.5. Pendiente de la línea  3.6. Ecuación de una línea en geometría coordinada  3.6.1. Forma de pendiente-intersección  3.6.2. Introducción a la forma punto-pendiente  3.6.3. Forma de dos puntos  3.6.4. Forma de intersección  3.6.5. Forma general de la línea
  4. Trigonometría  4.1. Relaciones trigonométricas  4.1.1. Seno, coseno, tangente y sus inversos  4.1.2. Comprender los valores de las razones trigonométricas en ángulos específicos  4.2. Identidades trigonométricas  4.3. Relaciones trigonométricas de ángulos complementarios  4.4. Alturas y distancias  4.4.1. Comprender los ángulos de elevación y depresión  4.4.2. Aplicaciones en problemas de la vida real
  5. Geometría  5.1. Triángulo  5.1.1. Congruencia de triángulos  5.1.2. Criterios de conformidad  5.1.3. Propiedades de los triángulos  5.2. Entendiendo la similitud en geometría  5.2.1. Entendiendo formas similares en geometría  5.2.2. Criterios de similitud  5.2.3. Similitud de triángulos  5.2.4. Aplicaciones del paralelismo en la vida real  5.3. Comprensión de los círculos en geometría  5.3.1. Propiedades del círculo  5.3.2. Tangente a un círculo  5.3.3. Número de tangentes desde un punto  5.3.4. Ángulo subtendido por el arco  5.4. Construcciones en geometría  5.4.1. Construcción de triángulos similares  5.4.2. Tangente a un círculo  5.4.3. Construcción de una bisectriz de ángulo
  6. Mensuración  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de un Triángulo  6.1.2. Comprendiendo el área de un paralelogramo  6.1.3. Área del trapecio  6.1.4. Comprendiendo el área de un rombo  6.2. Área de superficie y volumen  6.2.1. Área superficial de cubo, cuboide y cilindro  6.2.2. Área de superficie de cono y esfera  6.2.3. Volumen de un cubo, un cuboide y un cilindro  6.2.4. Volumen de cono y esfera  6.3. Conversión de unidades  6.4. Tronco de un cono
  7. Figuras  7.1. Introducción a la estadística  7.2. Colección de datos  7.3. Presentación de datos  7.3.1. Forma tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: una herramienta para la representación gráfica en estadísticas  7.3.2.3. Polígono de frecuencias  7.3.2.4. Ojiva  7.4. Medidas de tendencia central  7.4.1. Media, mediana y moda  7.4.2. Comprendiendo cuartiles y percentiles  7.5. Medidas de dispersión  7.5.1. Rango y rango intercuartil  7.5.2. Desviación estándar y varianza
  8. Posibilidad  8.1. Introducción a la Probabilidad  8.2. Probabilidad experimental  8.3. Probabilidad teórica  8.4. Probabilidad de eventos simples  8.5. Programas complementarios  8.6. Probabilidad de eventos mixtos

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Fórmula de la sección


En la geometría de coordenadas, la fórmula de la sección es un concepto muy importante que nos proporciona una forma de encontrar un punto particular que divide un segmento de línea en una razón específica. Este concepto se utiliza comúnmente en problemas que involucran dividir segmentos de línea de una manera específica. Comprender la fórmula de la sección es importante para resolver problemas de geometría relacionados con la división de segmentos de línea. Ahora profundicemos en el concepto de la fórmula de la sección.

Comprendiendo los segmentos de línea

Antes de entrar en la fórmula de la sección, comprendamos qué es un segmento de línea. Un segmento de línea está definido por dos puntos finales. Por ejemplo, en un plano, considere un segmento de línea formado por los puntos A(x 1, y 1) y B(x 2, y 2). Este segmento de línea es estable porque tiene un punto inicial A y un punto final B.

¿Qué es la fórmula de la sección?

La fórmula de la sección ayuda a encontrar las coordenadas de un punto P(x, y) que divide un segmento de línea entre dos puntos dados A(x 1, y 1) y B(x 2, y 2) en una razón particular m:n.

Fórmula de la sección - Partición interna

Cuando un punto divide un segmento de línea internamente, las coordenadas del punto P(x, y) se calculan utilizando la fórmula de división interna:

x = (mx 2 + nx 1)/(m + n) y = (my 2 + ny 1)/(m + n)

Aquí, el punto P(x, y) divide el segmento de línea AB en la razón m:n.

Fórmula de la sección - División externa

Por el contrario, si el punto divide el segmento de línea externamente, la fórmula cambia ligeramente. La fórmula para las coordenadas del punto de división P(x, y) se convierte en:

x = (mx 2 - nx 1)/(m - n) y = (my 2 - ny 1)/(m - n)

Aquí, el punto P(x, y) divide externamente la línea en la razón m:n.

Visualización de la fórmula de la sección

Ejemplo: División interna

Consideremos un segmento de línea con puntos finales A(2, 2) y B(8, 10). Tenemos que encontrar el punto P que divide este segmento de línea en la razón 3:2.

Uso de la fórmula de la sección para particiones internas:

x = (3*8 + 2*2)/(3 + 2) = (24 + 4)/5 = 28/5 = 5.6 y = (3*10 + 2*2)/(3 + 2) = (30 + 4)/5 = 34/5 = 6.8

Así, las coordenadas del punto P son (5.6, 6.8).

(2, 2)(8, 10)(5.6, 6.8)

Ejemplo: División externa

Consideremos los mismos puntos A(2, 2) y B(8, 10), pero esta vez, encontremos el punto P que divide AB externamente en la razón 3:2.

Uso de la fórmula de la sección para división externa:

x = (3*8 - 2*2)/(3 - 2) = (24 - 4)/1 = 20 y = (3*10 - 2*2)/(3 - 2) = (30 - 4)/1 = 26

Las coordenadas del punto P son (20, 26).

(2, 2)(8, 10)(20, 26)

Casos especiales en la fórmula de la sección

Punto medio de un segmento de línea

Un caso especial de la fórmula de la sección es cuando la razón es 1:1. Aquí, el punto P es el punto medio del segmento de línea AB.

x = (x 1 + x 2)/2 y = (y 1 + y 2)/2

Usando los mismos puntos A(2, 2) y B(8, 10) el punto medio se calcula de la siguiente manera:

x = (2 + 8)/2 = 10/2 = 5 y = (2 + 10)/2 = 12/2 = 6

Por lo tanto, el punto medio de AB es (5, 6).

(2, 2)(8, 10)(5, 6)

Aplicaciones de la fórmula de la sección

La fórmula de la sección se utiliza ampliamente en varios campos de estudio, incluyendo geometría, ingeniería, diseño artístico, robótica y gráficos por computadora. Ayuda a determinar divisiones específicas y necesarias de segmentos de línea en diversas aplicaciones.

Ejemplo práctico

En ingeniería civil, los constructores a menudo necesitan dividir áreas o segmentos de línea para que las estructuras se vean correctas y mantengan proporciones. Por ejemplo, considere un escenario donde un arquitecto está diseñando un edificio. El edificio tiene pasillos que deben dividirse en secciones específicas, con habitaciones espaciadas proporcionalmente entre los dos puntos finales. Usar la fórmula de la sección ayuda a garantizar que cada sección se alinee correctamente con los planos arquitectónicos.

Desafíate a ti mismo

Imagina un escenario donde necesitas planificar un camino de jardín con una diagonal de 70m en un parque rectangular. Usando particiones internas, el camino debe dividirse igualmente en tres partes colocando dos bancos a una distancia basada en la fórmula de la sección. Usando los puntos finales de la diagonal, calcula dónde se deben colocar los bancos.

El conocimiento y comprensión de las fórmulas de sección proporciona una base sólida para abordar problemas de cálculo similares en otras áreas avanzadas de las matemáticas y la geometría.


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