距离公式

坐标几何中的距离公式帮助计算平面上两点之间的距离。它源自毕达哥拉斯定理，是数学中，特别是代数和几何中的基本工具。

理解基础

首先，考虑平面上的两个点：点A ((x1, y1)) 和点B ((x2, y2))。距离公式使我们能够计算连接这两点的线段的长度。

公式

点A和B之间的距离d的数学表达式为：

D = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

这个公式源自毕达哥拉斯定理，毕达哥拉斯定理指出，在直角三角形中，斜边（直角对边）的平方等于另两边的平方和。

视觉表示

想象平面上的两点A和B。通过这些点绘制水平和垂直线，构造一个直角三角形。

₁, y₁) B (x₂, y₂)

逐步计算

让我们学习如何使用公式找到具有坐标的两个点之间的距离。

示例 1

求点A ((3, 4)) 和点B ((7, 1)) 之间的距离。

1. 计算x坐标的差：x2 - x1 = 7 - 3 = 4。
2. 计算y坐标的差：y2 - y1 = 1 - 4 = -3。
3. 应用距离公式：

   D = √((4)² + (-3)²)
   d = √(16 + 9)
   d = √25
   d = 5
           

两点之间的距离是5个单位。

示例 2

让我们尝试另一个例子，点C ((-2, 8)) 和点D ((4, -3))。

1. x坐标的差：4 - (-2) = 4 + 2 = 6。
2. y坐标的差：-3 - 8 = -11。
3. 距离计算：

   D = √((6)² + (-11)²)
   D = √(36 + 121)
   d = √157
   d ≈ 12.53
           

这些点之间的近似距离是12.53个单位。

将使用应用于现实世界

距离公式不仅限于纯数学。它广泛用于物理学、导航和其他领域。

物理学

在物理学中，该公式是处理矢量、运动问题和空间计算的重要工具。例如，确定两位置之间的最短路径。

导航

在导航和GPS技术中，距离公式帮助计算两个地理位置之间的直线距离（“实际”）。

练习题

现在轮到你了。尝试应用距离公式来解决以下问题：

问题 1

计算点E ((5, 9)) 和点F ((-3, 6)) 之间的距离。

问题 2

求点G ((0, 0)) 和点H ((-6, 8)) 之间的距离。

解答

解决这些问题并检查你的答案：

解答 1

对问题1：

D = √((-3 - 5)² + (6 - 9)²)
D = √((-8)² + (-3)²)
D = √(64 + 9)
d = √73
d ≈ 8.54

距离约为8.54个单位。

解答 2

对问题2：

D = √((-6 - 0)² + (8 - 0)²)
D = √((6)² + (8)²)
D = √(36 + 64)
d = √100
d = 10

距离正好是10个单位。

结论

距离公式是一个重要的数学工具，简化了计算二维平面上两点之间的距离。其应用不仅限于数学，还扩展到各类科学和现实世界的情境中，支撑着导航系统、物理计算等等。掌握这个公式不仅丰富了个人的数学工具库，还增强了对日常生活中空间关系的理解。

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