Класс 10
  1. Системы чисел  1.1. Действительные числа  1.1.1. Свойства вещественных чисел  1.1.2. Рациональные и иррациональные числа  1.1.3. Десятичное представление вещественных чисел  1.1.4. Операции с действительными числами  1.1.5. Действительные числа на числовой прямой  1.2. Лемма Евклида о делении  1.3. Разложение на простые множители  1.4. Понимание НОК и НОД в числовых системах  1.5. Показатели степени и корни  1.5.1. Законы степеней  1.5.2. Упрощение базовых выражений  1.5.3. Научная нотация
  2. Понимание алгебры  2.1. Многочлены  2.1.1. Определение и виды многочленов  2.1.2. Степень многочлена  2.1.3. Нули многочлена  2.1.4. Факторизация многочленов  2.1.5. Алгебраические тождества  2.2. Линейные уравнения с двумя переменными  2.2.1. Графики линейных уравнений  2.2.2. Решения линейных уравнений  2.2.3. Применение линейных уравнений в текстовых задачах  2.3. Понимание квадратных уравнений  2.3.1. Стандартная форма квадратного уравнения  2.3.2. Методы решения квадратных уравнений  2.3.2.1. Метод разложения на множители  2.3.2.2. Метод завершения квадрата  2.3.2.3. Квадратная формула  2.3.3. Понимание природы корней в квадратных уравнениях  2.4. Понимание арифметических прогрессий  2.4.1. Определение арифметической прогрессии  2.4.2. Общий член арифметической прогрессии (АП)  2.4.3. Сумма первых n членов арифметической прогрессии  2.5. Введение в функции  2.5.1. Определение и виды функций  2.5.2. Область определения и область значений  2.5.3. Структура работ  2.5.4. Обратная функция
  3. Координатная геометрия  3.1. Введение в декартову систему в координатной геометрии  3.2. Формула расстояния  3.3. Формула отрезка  3.4. Площадь треугольника  3.5. Наклон линии  3.6. Уравнение прямой в координатной геометрии  3.6.1. Форма уравнения прямой с угловым коэффициентом  3.6.2. Введение в уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту  3.6.3. Форма с двумя точками  3.6.4. Перехватная форма  3.6.5. Общая форма линии
  4. Тригонометрия  4.1. Тригонометрические отношения  4.1.1. Синус, косинус, тангенс и их обратные функции  4.1.2. Понимание значений тригонометрических отношений при определенных углах  4.2. Тригонометрические тождества  4.3. Тригонометрические отношения дополнительного угла  4.4. Высоты и расстояния  4.4.1. Понимание углов возвышения и снижения  4.4.2. Применение в реальных задачах
  5. Геометрия  5.1. Треугольник  5.1.1. Соответствие треугольников  5.1.2. Критерии соответствия  5.1.3. Свойства треугольников  5.2. Понимание подобия в геометрии  5.2.1. Понимание подобных фигур в геометрии  5.2.2. Критерии подобия  5.2.3. Сходство треугольников  5.2.4. Применение параллелизма в реальной жизни  5.3. Понимание окружностей в геометрии  5.3.1. Свойства окружности  5.3.2. Касательная к окружности  5.3.3. Количество касательных из точки  5.3.4. Угол, подстилаемый дугой  5.4. Построения в геометрии  5.4.1. Построение подобных треугольников  5.4.2. Касательная к окружности  5.4.3. Построение биссектрисы угла
  6. Измерение  6.1. Площадь плоских фигур  6.1.1. Площадь треугольника  6.1.2. Понимание площади параллелограмма  6.1.3. Площадь трапеции  6.1.4. Понимание площади ромба  6.2. Площадь поверхности и объем  6.2.1. Площадь поверхности куба, параллелепипеда и цилиндра  6.2.2. Площадь поверхности конуса и сферы  6.2.3. Объем куба, параллелепипеда и цилиндра  6.2.4. Объем конуса и сферы  6.3. Преобразование единиц  6.4. Усеченный конус
  7. Фигуры  7.1. Введение в статистику  7.2. Сбор данных  7.3. Представление данных  7.3.1. Табличная форма  7.3.2. Графическая форма  7.3.2.1. Столбчатая диаграмма  7.3.2.2. Гистограмма: инструмент для графического представления в статистике  7.3.2.3. Полигон частот  7.3.2.4. Огива  7.4. Меры центральной тенденции  7.4.1. Среднее, медиана и мода  7.4.2. Понимание квартилей и процентилей  7.5. Меры изменения  7.5.1. Диапазон и межквартильный размах  7.5.2. Стандартное отклонение и дисперсия
  8. Возможность  8.1. Введение в теорию вероятностей  8.2. Экспериментальная вероятность  8.3. Теоретическая вероятность  8.4. Вероятность простых событий  8.5. Дополнительные программы  8.6. Вероятность смешанных событий

Класс 10 → Координатная геометрия ↓


Формула расстояния


Формула расстояния в координатной геометрии помогает вычислить расстояние между двумя точками на плоскости. Происходя из теоремы Пифагора, она служит основным инструментом в математике, особенно в алгебре и геометрии.

Понимание основ

Сначала рассмотрим две точки на декартовой плоскости: точку A ((x1, y1)) и точку B ((x2, y2)). Формула расстояния позволяет нам вычислить длину отрезка, соединяющего эти две точки.

Формула

Математическое выражение для расстояния d между точками A и B имеет вид:

D = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

Эта формула выводится из теоремы Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (сторона, противоположная прямому углу) равен сумме квадратов других двух сторон.

Визуальное представление

Представьте две точки A и B на двумерной плоскости. Создайте прямоугольный треугольник, нарисовав горизонтальные и вертикальные линии через эти точки.

A (x1, y1) B (x2, y2)

Пошаговый расчет

Давайте узнаем, как использовать формулу для нахождения расстояния между двумя точками с координатами.

Пример 1

Найдите расстояние между точкой A ((3, 4)) и точкой B ((7, 1)).

  1. Вычислите разницу в x-координатах: x2 - x1 = 7 - 3 = 4.
  2. Вычислите разницу в y-координатах: y2 - y1 = 1 - 4 = -3.
  3. Примените формулу расстояния: 
    D = √((4)² + (-3)²)
d = √(16 + 9)
d = √25
d = 5

Расстояние между двумя точками равно 5 единицам.

Пример 2

Попробуем другой пример с точками C ((-2, 8)) и D ((4, -3)).

  1. Разница в x-координатах: 4 - (-2) = 4 + 2 = 6.
  2. Разница в y-координате: -3 - 8 = -11.
  3. Вычисление расстояния: 
    D = √((6)² + (-11)²)
D = √(36 + 121)
d = √157
d ≈ 12.53

Приблизительное расстояние между этими точками составляет 12.53 единицы.

Применение в реальном мире

Формула расстояния не ограничивается чистой математикой. Она широко используется в физике, навигации и других областях.

Физика

В физике эта формула необходима для работы с векторами, решения задач на движение и пространственных расчетов. Например, определение кратчайшего пути между двумя позициями.

Навигация

В навигации и GPS-технологиях формула расстояния помогает рассчитать расстояние по прямой ("как есть") между двумя географическими точками.

Практические задачи

Теперь ваша очередь. Попробуйте применить формулу расстояния для решения следующих задач:

Задача 1

Вычислите расстояние между точками E ((5, 9)) и F ((-3, 6)).

Задача 2

Найдите расстояние между точкой G ((0, 0)) и точкой H ((-6, 8)).

Решение

Решите эти задачи и проверьте свои ответы:

Решение 1

Для задачи 1:

D = √((-3 - 5)² + (6 - 9)²)
D = √((-8)² + (-3)²)
D = √(64 + 9)
d = √73
d ≈ 8.54

Расстояние составляет приблизительно 8.54 единицы.

Решение 2

Для задачи 2:

D = √((-6 - 0)² + (8 - 0)²)
D = √((6)² + (8)²)
D = √(36 + 64)
d = √100
d = 10

Расстояние точно равно 10 единицам.

Заключение

Формула расстояния - это важный математический инструмент, упрощающий вычисление расстояния между двумя точками на двумерной плоскости. Ее применение выходит за пределы математики, проникнув в различные научные и реальные контексты, поддерживая системы навигации, физические расчеты и многое другое. Освоение этой формулы не только обогащает математический арсенал, но и углубляет понимание пространственных отношений в повседневной жизни.


Класс 10 → 3.2


U
username
0%
завершено в Класс 10

← предыдущая (3.1)
Введение в декартову систему в координатной геометрии
следующая (3.3) →
Формула отрезка

комментарии 



Формула расстояния

https://www.buddymath.com/g10/3.2?bmal=ru