10º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propriedades dos Números Reais  1.1.2. Números racionais e irracionais  1.1.3. Representação decimal de números reais  1.1.4. Operações com números reais  1.1.5. Números reais na reta numérica  1.2. O lema da divisão de Euclides  1.3. Fatoração de números primos  1.4. Compreendendo o MMC e o MDC em sistemas numéricos  1.5. Expoentes e Radicais  1.5.1. Leis dos expoentes  1.5.2. Simplificação de expressões básicas  1.5.3. Notação científica
  2. Compreendendo Algebra  2.1. Polinômios  2.1.1. Definição e tipos de polinômios  2.1.2. Grau de um polinômio  2.1.3. Zeros de um polinômio  2.1.4. Fatoração de polinômios  2.1.5. Identidades algébricas  2.2. Equações lineares em duas variáveis  2.2.1. Gráficos de equações lineares  2.2.2. Soluções de equações lineares  2.2.3. Aplicação de equações lineares em problemas de palavras  2.3. Entendendo Equações Quadráticas  2.3.1. Forma padrão de equação quadrática  2.3.2. Métodos para resolver equações quadráticas  2.3.2.1. Método de fatoração  2.3.2.2. Método de completar o quadrado  2.3.2.3. Fórmula quadrática  2.3.3. Compreendendo a natureza das raízes em equações quadráticas  2.4. Entendendo progressões aritméticas  2.4.1. Definição de progressão aritmética  2.4.2. Termo geral da Progressão Aritmética (PA)  2.4.3. A soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética  2.5. Introdução às funções  2.5.1. Definição e tipos de funções  2.5.2. Domínio e imagem  2.5.3. Estrutura dos trabalhos  2.5.4. Inverso de uma função
  3. Geometria coordenada  3.1. Introdução ao sistema cartesiano em geometria coordenada  3.2. Fórmula da distância  3.3. Fórmula da seção  3.4. Área de um triângulo  3.5. Inclinação da linha  3.6. Equação de uma linha em geometria coordenada  3.6.1. Forma de inclinação-interceptação  3.6.2. Introdução à forma ponto-inclinação  3.6.3. Forma de dois pontos  3.6.4. Forma de interceptação  3.6.5. Forma geral da linha
  4. Trigonometria  4.1. Razões trigonométricas  4.1.1. Sen, cosseno, tangente e seus inversos  4.1.2. Compreendendo os valores das razões trigonométricas em ângulos específicos  4.2. Identidades Trigonométricas  4.3. Relações trigonométricas de ângulos complementares  4.4. Alturas e distâncias  4.4.1. Compreendendo ângulos de elevação e depressão  4.4.2. Aplicações em problemas da vida real
  5. Geometria  5.1. Triângulo  5.1.1. Congruência de triângulos  5.1.2. Critérios de conformidade  5.1.3. Propriedades dos triângulos  5.2. Compreendendo similaridade na geometria  5.2.1. Compreendendo formas semelhantes na geometria  5.2.2. Critérios de semelhança  5.2.3. Similaridade de triângulos  5.2.4. Aplicações do paralelismo na vida real  5.3. Compreendendo círculos na geometria  5.3.1. Propriedades do círculo  5.3.2. Tangente a um círculo  5.3.3. Número de tangentes a partir de um ponto  5.3.4. Ângulo subtendido pelo arco  5.4. Construções em geometria  5.4.1. Construção de triângulos semelhantes  5.4.2. Tangente a um círculo  5.4.3. Construção de uma bissetriz de ângulo
  6. Mensuração  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de um Triângulo  6.1.2. Compreendendo a área de um paralelogramo  6.1.3. Área do trapézio  6.1.4. Compreendendo a área de um losango  6.2. Área de superfície e volume  6.2.1. Área de superfície de cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.2. Área de superfície do cone e esfera  6.2.3. Volume de um cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.4. Volume de cone e esfera  6.3. Conversão de unidades  6.4. Tronco de cone
  7. Figuras  7.1. Introdução à estatística  7.2. Coleta de dados  7.3. Apresentação de dados  7.3.1. Forma Tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: Uma ferramenta para representação gráfica em estatística  7.3.2.3. Polígono de frequência  7.3.2.4. Ogiva  7.4. Medidas de tendência central  7.4.1. Média, mediana e moda  7.4.2. Compreendendo Quartis e Percentis  7.5. Medidas de dispersão  7.5.1. Alcance e intervalo interquartil  7.5.2. Desvio Padrão e Variância
  8. Possibilidade  8.1. Introdução à Probabilidade  8.2. Probabilidade experimental  8.3. Probabilidade teórica  8.4. Probabilidade de eventos simples  8.5. Programas Complementares  8.6. Probabilidade de eventos mistos

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Fórmula da distância


A fórmula da distância na geometria coordenada ajuda a calcular a distância entre dois pontos no plano. Originária do teorema de Pitágoras, serve como uma ferramenta fundamental na matemática, especialmente em álgebra e geometria.

Compreendendo os fundamentos

Primeiro, considere dois pontos no plano cartesiano: ponto A ((x1, y1)) e ponto B ((x2, y2)). A fórmula da distância nos permite calcular o comprimento do segmento de linha que conecta esses dois pontos.

Fórmula

A expressão matemática para a distância d entre os pontos A e B é dada como:

D = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

Esta fórmula é derivada do Teorema de Pitágoras, que afirma que em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto) é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados.

Representação visual

Imagine dois pontos A e B em um plano 2D. Crie um triângulo retângulo desenhando linhas horizontais e verticais através desses pontos.

A (x1, y1) B (x2, y2)

Cálculo passo a passo

Vamos aprender como usar a fórmula para encontrar a distância entre dois pontos com coordenadas.

Exemplo 1

Encontre a distância entre o ponto A ((3, 4)) e o ponto B ((7, 1)).

  1. Calcule a diferença nas coordenadas x: x2 - x1 = 7 - 3 = 4.
  2. Calcule a diferença nas coordenadas y: y2 - y1 = 1 - 4 = -3.
  3. Aplique a fórmula da distância: 
    D = √((4)² + (-3)²)
d = √(16 + 9)
d = √25
d = 5

A distância entre dois pontos é de 5 unidades.

Exemplo 2

Vamos tentar outro exemplo com os pontos C ((-2, 8)) e D ((4, -3)).

  1. Diferença nas coordenadas x: 4 - (-2) = 4 + 2 = 6.
  2. Diferença na coordenada y: -3 - 8 = -11.
  3. Cálculo da distância: 
    D = √((6)² + (-11)²)
D = √(36 + 121)
d = √157
d ≈ 12.53

A distância aproximada entre esses pontos é de 12,53 unidades.

Aplicando o uso ao mundo real

A fórmula da distância não está limitada à matemática pura. Ela é amplamente utilizada em física, navegação e outras áreas.

Física

Na física, esta fórmula é essencial para lidar com vetores, problemas de movimento e cálculos espaciais. Por exemplo, determinar o caminho mais curto entre duas posições.

Navegação

Na navegação e na tecnologia GPS, a fórmula da distância ajuda a calcular a distância em linha reta ("como é") entre duas localizações geográficas.

Problemas para praticar

Agora é sua vez. Tente aplicar a fórmula da distância para resolver os seguintes problemas:

Problema 1

Calcule a distância entre os pontos E ((5, 9)) e F ((-3, 6)).

Problema 2

Encontre a distância entre o ponto G ((0, 0)) e o ponto H ((-6, 8)).

Solução

Resolva estas questões e verifique suas respostas:

Solução 1

Para o problema 1:

D = √((-3 - 5)² + (6 - 9)²)
D = √((-8)² + (-3)²)
D = √(64 + 9)
d = √73
d ≈ 8.54

A distância é aproximadamente 8,54 unidades.

Solução 2

Para o problema 2:

D = √((-6 - 0)² + (8 - 0)²)
D = √((6)² + (8)²)
D = √(36 + 64)
d = √100
d = 10

A distância é exatamente 10 unidades.

Conclusão

A fórmula da distância é uma ferramenta matemática importante que simplifica o cálculo da distância entre dois pontos em um plano 2D. Suas aplicações se estendem além da matemática para uma variedade de contextos científicos e do mundo real, apoiando sistemas de navegação, cálculos físicos e muito mais. Dominar esta fórmula não só enriquece o conjunto de ferramentas matemáticas de alguém, mas também melhora a compreensão das relações espaciais na vida cotidiana.


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