距離公式

座標幾何における距離公式は、平面上の2つの点間の距離を計算するのに役立ちます。ピタゴラスの定理に由来し、特に代数学や幾何学において基本的なツールとして機能します。

基本を理解する

まず、デカルト平面上の2つの点を考えます。点A ((x1, y1)) と点B ((x2, y2))です。距離公式を使用すると、これら2つの点を結ぶ線分の長さを計算できます。

公式

点AとBの間の距離dの数学的表現は次のように表されます：

D = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

この公式はピタゴラスの定理から導かれています。これは直角三角形において、斜辺（直角に対する辺）の二乗が他の二辺の二乗の和に等しいことを示しています。

視覚的な表現

2D平面上の2点AとBを想像してください。これらの点を通る水平線と垂直線を描くことによって直角三角形を作成します。

₁, y₁) B (x₂, y₂)

段階的な計算手順

座標を持つ2つの点間の距離を求めるためにこの公式をどのように使用するかを学びましょう。

例 1

点A ((3, 4)) と点B ((7, 1)) の間の距離を求めてください。

1. x座標の差を計算します： x2 - x1 = 7 - 3 = 4。
2. y座標の差を計算します： y2 - y1 = 1 - 4 = -3。
3. 距離公式を適用します：

   D = √((4)² + (-3)²)
   d = √(16 + 9)
   d = √25
   d = 5
           

2点間の距離は5単位です。

例 2

別の例として、点C ((-2, 8)) と点D ((4, -3)) を試してみましょう。

1. x座標の差： 4 - (-2) = 4 + 2 = 6。
2. y座標の差： -3 - 8 = -11。
3. 距離の計算：

   D = √((6)² + (-11)²)
   D = √(36 + 121)
   d = √157
   d ≈ 12.53
           

これらの点間の距離は約12.53単位です。

現実世界への応用

距離公式は純粋な数学に限定されていません。物理学、航法などの分野で広く使用されています。

物理学

物理学では、この公式はベクトル、運動問題、空間計算を扱うために不可欠です。たとえば、2つの位置間の最短経路を求めることができます。

航法

航法やGPS技術において、距離公式は2つの地理的位置間の直線距離（「そのまま」）を計算するのに役立ちます。

練習問題

今度はあなたの番です。次の問題を解くために距離公式を適用してみてください：

問題 1

点E ((5, 9)) と点F ((-3, 6)) の間の距離を計算してください。

問題 2

点G ((0, 0)) と点H ((-6, 8)) の間の距離を求めてください。

解答

これらの質問を解き、あなたの答えを確認してください：

解答 1

問題 1の解答：

D = √((-3 - 5)² + (6 - 9)²)
D = √((-8)² + (-3)²)
D = √(64 + 9)
d = √73
d ≈ 8.54

距離はおおよそ8.54単位です。

解答 2

問題 2の解答：

D = √((-6 - 0)² + (8 - 0)²)
D = √((6)² + (8)²)
D = √(36 + 64)
d = √100
d = 10

距離はちょうど10単位です。

結論

距離公式は2D平面上の2点間の距離を計算するのを簡単にする重要な数学的ツールです。その応用範囲は数学を超えて、ナビゲーションシステム、物理計算、およびその他の科学的コンテキストにまで及びます。この公式をマスターすることで、空間的関係の理解が向上し、日常生活での利用可能性が広がります。

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