दूरी सूत्र

निर्देशांक ज्यामिति में दूरी सूत्र द्वितीय बिंदुओं के बीच के विमान में दूरी की गणना करने में मदद करता है। पाइथागोरस प्रमेय से उत्पन्न, यह गणित में एक मूल उपकरण के रूप में काम करता है, विशेष रूप से बीजगणित और ज्यामिति में।

मूल बातें समझना

पहले, कार्टेशियन विमान पर दो बिंदुओं पर विचार करें: बिंदु A ((x1, y1)) और बिंदु B ((x2, y2))। दूरी सूत्र हमें इन दो बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखा खंड की लंबाई की गणना करने की अनुमति देता है।

सूत्र

बिंदु A और B के बीच की दूरी d के लिए गणितीय अभिव्यक्ति इस प्रकार दी गई है:

D = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

यह सूत्र पाइथागोरस प्रमेय से उत्पन्न होता है, जो यह बताता है कि एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण (समकोण के विपरीत पक्ष) का वर्ग दूसरे दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

दृश्य प्रतिनिधित्व

कल्पना करें कि 2D विमान पर दो बिंदु A और B हैं। इन बिंदुओं के माध्यम से क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाएं खींचकर एक समकोण त्रिभुज बनाएं।

₁, y₁) B (x₂, y₂)

चरण-दर-चरण गणना

आइए जानें कि निर्देशांक वाले दो बिंदुओं के बीच की दूरी खोजने के लिए इस सूत्र का उपयोग कैसे करें।

उदाहरण 1

बिंदु A ((3, 4)) और बिंदु B ((7, 1)) के बीच की दूरी खोजें।

1. x-निर्देशांक में अंतर की गणना करें: x2 - x1 = 7 - 3 = 4।
2. y-निर्देशांक में अंतर की गणना करें: y2 - y1 = 1 - 4 = -3।
3. दूरी सूत्र लागू करें:

   D = √((4)² + (-3)²)
   d = √(16 + 9)
   d = √25
   d = 5
           

दो बिंदुओं के बीच की दूरी 5 इकाइयाँ है।

उदाहरण 2

चलो एक और उदाहरण तथ बिंदु C ((-2, 8)) और D ((4, -3)) का प्रयास करें।

1. x-निर्देशांक में अंतर: 4 - (-2) = 4 + 2 = 6।
2. y-निर्देशांक में अंतर: -3 - 8 = -11।
3. दूरी गणना:

   D = √((6)² + (-11)²)
   D = √(36 + 121)
   d = √157
   d ≈ 12.53
           

इन बिंदुओं के बीच की अनुमानित दूरी 12.53 इकाइयाँ है।

वास्तविक दुनिया में उपयोग का अनुप्रयोग

दूरी सूत्र केवल शुद्ध गणित तक सीमित नहीं है। यह भौतिकी, नौवहन और अन्य क्षेत्रों में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

भौतिकी

भौतिकी में, यह सूत्र वेक्टरों, गति समस्याओं और स्थानिक गणनाओं के साथ निपटने के लिए आवश्यक है। उदाहरण के लिए, दो स्थानों के बीच सबसे कम मार्ग निर्धारित करना।

नौवहन

नौवहन और जीपीएस प्रौद्योगिकी में, दूरी सूत्र दो भौगोलिक स्थानों के बीच सीधे रेखा की दूरी ("जैसा है") की गणना करने में मदद करता है।

अभ्यास समस्याएं

अब आपकी बारी है। निम्नलिखित समस्याओं को हल करने के लिए दूरी सूत्र लागू करने का प्रयास करें:

समस्या 1

बिंदु E ((5, 9)) और F ((-3, 6)) के बीच की दूरी की गणना करें।

समस्या 2

बिंदु G ((0, 0)) और बिंदु H ((-6, 8)) के बीच की दूरी खोजें।

समाधान

इन प्रश्नों को हल करें और अपने उत्तरों की जांच करें:

समाधान 1

समस्या 1 के लिए:

D = √((-3 - 5)² + (6 - 9)²)
D = √((-8)² + (-3)²)
D = √(64 + 9)
d = √73
d ≈ 8.54

दूरी लगभग 8.54 इकाइयाँ है।

समाधान 2

समस्या 2 के लिए:

D = √((-6 - 0)² + (8 - 0)²)
D = √((6)² + (8)²)
D = √(36 + 64)
d = √100
d = 10

दूरी बिल्कुल 10 इकाइयाँ है।

निष्कर्ष

दूरी सूत्र एक महत्वपूर्ण गणितीय उपकरण है जो 2D विमान में दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना को सरल बनाता है। इसके अनुप्रयोग गणित से आगे विज्ञान और वास्तविक दुनिया के संदर्भों, जैसे कि नौवहन प्रणालियों, भौतिकी गणनाओं, और अधिक तक विस्तार करते हैं। इस सूत्र को मास्टर करना न केवल एक की गणितीय टूलकिट को समृद्ध करता है बल्कि रोजमर्रा के जीवन में स्थानिक संबंधों की समझ में भी वृद्धि करता है।

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