Grado 10
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propiedades de los Números Reales  1.1.2. Números racionales e irracionales  1.1.3. Representación decimal de números reales  1.1.4. Operaciones con números reales  1.1.5. Números reales en la recta numérica  1.2. El lema de la división de Euclides  1.3. Factorización Prima  1.4. Comprender el MCM y el MCD en los sistemas numéricos  1.5. Exponentes y Radicales  1.5.1. Leyes de los exponentes  1.5.2. Simplificación de expresiones básicas  1.5.3. Notación científica
  2. Entendiendo el álgebra  2.1. Polinomios  2.1.1. Definición y tipos de polinomios  2.1.2. Grado de un polinomio  2.1.3. Ceros de un polinomio  2.1.4. Factorización de polinomios  2.1.5. Identidades algebraicas  2.2. Ecuaciones lineales en dos variables  2.2.1. Gráficas de ecuaciones lineales  2.2.2. Soluciones de ecuaciones lineales  2.2.3. Aplicación de ecuaciones lineales en problemas de palabras  2.3. Comprendiendo las ecuaciones cuadráticas  2.3.1. Forma estándar de la ecuación cuadrática  2.3.2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas  2.3.2.1. Método de factorización  2.3.2.2. Método de completar el cuadrado  2.3.2.3. Fórmula cuadrática  2.3.3. Comprendiendo la naturaleza de las raíces en las ecuaciones cuadráticas  2.4. Comprendiendo las progresiones aritméticas  2.4.1. Definición de progresión aritmética  2.4.2. Término general de la progresión aritmética (PA)  2.4.3. La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética  2.5. Introducción a las funciones  2.5.1. Definición y tipos de funciones  2.5.2. Dominio y rango  2.5.3. Estructura de los trabajos  2.5.4. Inverso de una función
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Introducción al sistema cartesiano en geometría de coordenadas  3.2. Fórmula de distancia  3.3. Fórmula de la sección  3.4. Área de un triángulo  3.5. Pendiente de la línea  3.6. Ecuación de una línea en geometría coordinada  3.6.1. Forma de pendiente-intersección  3.6.2. Introducción a la forma punto-pendiente  3.6.3. Forma de dos puntos  3.6.4. Forma de intersección  3.6.5. Forma general de la línea
  4. Trigonometría  4.1. Relaciones trigonométricas  4.1.1. Seno, coseno, tangente y sus inversos  4.1.2. Comprender los valores de las razones trigonométricas en ángulos específicos  4.2. Identidades trigonométricas  4.3. Relaciones trigonométricas de ángulos complementarios  4.4. Alturas y distancias  4.4.1. Comprender los ángulos de elevación y depresión  4.4.2. Aplicaciones en problemas de la vida real
  5. Geometría  5.1. Triángulo  5.1.1. Congruencia de triángulos  5.1.2. Criterios de conformidad  5.1.3. Propiedades de los triángulos  5.2. Entendiendo la similitud en geometría  5.2.1. Entendiendo formas similares en geometría  5.2.2. Criterios de similitud  5.2.3. Similitud de triángulos  5.2.4. Aplicaciones del paralelismo en la vida real  5.3. Comprensión de los círculos en geometría  5.3.1. Propiedades del círculo  5.3.2. Tangente a un círculo  5.3.3. Número de tangentes desde un punto  5.3.4. Ángulo subtendido por el arco  5.4. Construcciones en geometría  5.4.1. Construcción de triángulos similares  5.4.2. Tangente a un círculo  5.4.3. Construcción de una bisectriz de ángulo
  6. Mensuración  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de un Triángulo  6.1.2. Comprendiendo el área de un paralelogramo  6.1.3. Área del trapecio  6.1.4. Comprendiendo el área de un rombo  6.2. Área de superficie y volumen  6.2.1. Área superficial de cubo, cuboide y cilindro  6.2.2. Área de superficie de cono y esfera  6.2.3. Volumen de un cubo, un cuboide y un cilindro  6.2.4. Volumen de cono y esfera  6.3. Conversión de unidades  6.4. Tronco de un cono
  7. Figuras  7.1. Introducción a la estadística  7.2. Colección de datos  7.3. Presentación de datos  7.3.1. Forma tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: una herramienta para la representación gráfica en estadísticas  7.3.2.3. Polígono de frecuencias  7.3.2.4. Ojiva  7.4. Medidas de tendencia central  7.4.1. Media, mediana y moda  7.4.2. Comprendiendo cuartiles y percentiles  7.5. Medidas de dispersión  7.5.1. Rango y rango intercuartil  7.5.2. Desviación estándar y varianza
  8. Posibilidad  8.1. Introducción a la Probabilidad  8.2. Probabilidad experimental  8.3. Probabilidad teórica  8.4. Probabilidad de eventos simples  8.5. Programas complementarios  8.6. Probabilidad de eventos mixtos

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Fórmula de distancia


La fórmula de distancia en geometría de coordenadas ayuda a calcular la distancia entre dos puntos en el plano. Originando del teorema de Pitágoras, sirve como una herramienta fundamental en matemáticas, especialmente en álgebra y geometría.

Entendiendo los conceptos básicos

Primero, considera dos puntos en el plano cartesiano: punto A ((x1, y1)) y punto B ((x2, y2)). La fórmula de distancia nos permite calcular la longitud del segmento de línea que conecta estos dos puntos.

Fórmula

La expresión matemática para la distancia d entre los puntos A y B se da como:

D = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

Esta fórmula se deriva del teorema de Pitágoras, que establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

Representación visual

Imagina dos puntos A y B en un plano 2D. Crea un triángulo rectángulo dibujando líneas horizontales y verticales a través de estos puntos.

A (x1, y1) B (x2, y2)

Cálculo paso a paso

Vamos a aprender cómo usar la fórmula para encontrar la distancia entre dos puntos con coordenadas.

Ejemplo 1

Encuentra la distancia entre el punto A ((3, 4)) y el punto B ((7, 1)).

  1. Calcula la diferencia en las coordenadas x: x2 - x1 = 7 - 3 = 4.
  2. Calcula la diferencia en las coordenadas y: y2 - y1 = 1 - 4 = -3.
  3. Aplica la fórmula de distancia: 
    D = √((4)² + (-3)²)
d = √(16 + 9)
d = √25
d = 5

La distancia entre dos puntos es de 5 unidades.

Ejemplo 2

Probemos otro ejemplo con los puntos C ((-2, 8)) y D ((4, -3)).

  1. Diferencia en las coordenadas x: 4 - (-2) = 4 + 2 = 6.
  2. Diferencia en la coordenada y: -3 - 8 = -11.
  3. Cálculo de distancia: 
    D = √((6)² + (-11)²)
D = √(36 + 121)
d = √157
d ≈ 12.53

La distancia aproximada entre estos puntos es de 12.53 unidades.

Aplicación en el mundo real

La fórmula de distancia no se limita a las matemáticas puras. Es ampliamente usada en física, navegación y otros campos.

Física

En física, esta fórmula es esencial para trabajar con vectores, problemas de movimiento y cálculos espaciales. Por ejemplo, determinar el camino más corto entre dos posiciones.

Navegación

En navegación y tecnología GPS, la fórmula de distancia ayuda a calcular la distancia en línea recta ("tal cual") entre dos ubicaciones geográficas.

Problemas de práctica

Ahora es tu turno. Intenta aplicar la fórmula de distancia para resolver los siguientes problemas:

Problema 1

Calcula la distancia entre los puntos E ((5, 9)) y F ((-3, 6)).

Problema 2

Encuentra la distancia entre el punto G ((0, 0)) y el punto H ((-6, 8)).

Solución

Resuelve estas preguntas y verifica tus respuestas:

Solución 1

Para el problema 1:

D = √((-3 - 5)² + (6 - 9)²)
D = √((-8)² + (-3)²)
D = √(64 + 9)
d = √73
d ≈ 8.54

La distancia es aproximadamente 8.54 unidades.

Solución 2

Para el problema 2:

D = √((-6 - 0)² + (8 - 0)²)
D = √((6)² + (8)²)
D = √(36 + 64)
d = √100
d = 10

La distancia es exactamente 10 unidades.

Conclusión

La fórmula de distancia es una herramienta matemática importante que simplifica el cálculo de la distancia entre dos puntos en un plano 2D. Sus aplicaciones se extienden más allá de las matemáticas en una variedad de contextos científicos y del mundo real, sustentando sistemas de navegación, cálculos físicos, y más. Dominar esta fórmula no solo enriquece el conjunto de herramientas matemáticas de uno, sino que también mejora la comprensión de las relaciones espaciales en la vida cotidiana.


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