Класс 10
  1. Системы чисел  1.1. Действительные числа  1.1.1. Свойства вещественных чисел  1.1.2. Рациональные и иррациональные числа  1.1.3. Десятичное представление вещественных чисел  1.1.4. Операции с действительными числами  1.1.5. Действительные числа на числовой прямой  1.2. Лемма Евклида о делении  1.3. Разложение на простые множители  1.4. Понимание НОК и НОД в числовых системах  1.5. Показатели степени и корни  1.5.1. Законы степеней  1.5.2. Упрощение базовых выражений  1.5.3. Научная нотация
  2. Понимание алгебры  2.1. Многочлены  2.1.1. Определение и виды многочленов  2.1.2. Степень многочлена  2.1.3. Нули многочлена  2.1.4. Факторизация многочленов  2.1.5. Алгебраические тождества  2.2. Линейные уравнения с двумя переменными  2.2.1. Графики линейных уравнений  2.2.2. Решения линейных уравнений  2.2.3. Применение линейных уравнений в текстовых задачах  2.3. Понимание квадратных уравнений  2.3.1. Стандартная форма квадратного уравнения  2.3.2. Методы решения квадратных уравнений  2.3.2.1. Метод разложения на множители  2.3.2.2. Метод завершения квадрата  2.3.2.3. Квадратная формула  2.3.3. Понимание природы корней в квадратных уравнениях  2.4. Понимание арифметических прогрессий  2.4.1. Определение арифметической прогрессии  2.4.2. Общий член арифметической прогрессии (АП)  2.4.3. Сумма первых n членов арифметической прогрессии  2.5. Введение в функции  2.5.1. Определение и виды функций  2.5.2. Область определения и область значений  2.5.3. Структура работ  2.5.4. Обратная функция
  3. Координатная геометрия  3.1. Введение в декартову систему в координатной геометрии  3.2. Формула расстояния  3.3. Формула отрезка  3.4. Площадь треугольника  3.5. Наклон линии  3.6. Уравнение прямой в координатной геометрии  3.6.1. Форма уравнения прямой с угловым коэффициентом  3.6.2. Введение в уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту  3.6.3. Форма с двумя точками  3.6.4. Перехватная форма  3.6.5. Общая форма линии
  4. Тригонометрия  4.1. Тригонометрические отношения  4.1.1. Синус, косинус, тангенс и их обратные функции  4.1.2. Понимание значений тригонометрических отношений при определенных углах  4.2. Тригонометрические тождества  4.3. Тригонометрические отношения дополнительного угла  4.4. Высоты и расстояния  4.4.1. Понимание углов возвышения и снижения  4.4.2. Применение в реальных задачах
  5. Геометрия  5.1. Треугольник  5.1.1. Соответствие треугольников  5.1.2. Критерии соответствия  5.1.3. Свойства треугольников  5.2. Понимание подобия в геометрии  5.2.1. Понимание подобных фигур в геометрии  5.2.2. Критерии подобия  5.2.3. Сходство треугольников  5.2.4. Применение параллелизма в реальной жизни  5.3. Понимание окружностей в геометрии  5.3.1. Свойства окружности  5.3.2. Касательная к окружности  5.3.3. Количество касательных из точки  5.3.4. Угол, подстилаемый дугой  5.4. Построения в геометрии  5.4.1. Построение подобных треугольников  5.4.2. Касательная к окружности  5.4.3. Построение биссектрисы угла
  6. Измерение  6.1. Площадь плоских фигур  6.1.1. Площадь треугольника  6.1.2. Понимание площади параллелограмма  6.1.3. Площадь трапеции  6.1.4. Понимание площади ромба  6.2. Площадь поверхности и объем  6.2.1. Площадь поверхности куба, параллелепипеда и цилиндра  6.2.2. Площадь поверхности конуса и сферы  6.2.3. Объем куба, параллелепипеда и цилиндра  6.2.4. Объем конуса и сферы  6.3. Преобразование единиц  6.4. Усеченный конус
  7. Фигуры  7.1. Введение в статистику  7.2. Сбор данных  7.3. Представление данных  7.3.1. Табличная форма  7.3.2. Графическая форма  7.3.2.1. Столбчатая диаграмма  7.3.2.2. Гистограмма: инструмент для графического представления в статистике  7.3.2.3. Полигон частот  7.3.2.4. Огива  7.4. Меры центральной тенденции  7.4.1. Среднее, медиана и мода  7.4.2. Понимание квартилей и процентилей  7.5. Меры изменения  7.5.1. Диапазон и межквартильный размах  7.5.2. Стандартное отклонение и дисперсия
  8. Возможность  8.1. Введение в теорию вероятностей  8.2. Экспериментальная вероятность  8.3. Теоретическая вероятность  8.4. Вероятность простых событий  8.5. Дополнительные программы  8.6. Вероятность смешанных событий

Класс 10 → Координатная геометрия ↓


Введение в декартову систему в координатной геометрии


Декартова система — это фундаментальная концепция в координатной геометрии, раздела математики, который занимается определением и представлением геометрических фигур в числовом формате. Названная в честь французского математика Рене Декарта, декартова система — это координатная система, устанавливающая набор правил для указания точного местоположения точек на плоскости с использованием упорядоченной пары чисел. Она образует основу аналитической геометрии и важна для связи алгебры и геометрии.

Основы декартовой системы

Декартова координатная система создается с использованием двух перпендикулярных числовых осей: оси x (горизонтальная) и оси y (вертикальная). Эти оси пересекаются в точке, называемой началом координат, представляемом как (0, 0).

X Y (0,0)

Понимание координат

В декартовой координатной системе каждая точка на плоскости представляется упорядоченной парой (x, y), где:

  • x — это горизонтальное расстояние по оси x от начала координат.
  • y — это вертикальное расстояние по оси y от начала координат.

Эти координаты могут быть положительными или отрицательными в зависимости от квадранта, в котором расположена точка.

Квадранты декартовой плоскости

Декартова плоскость разделена на четыре области, называемые квадрантами, и нумеруется против часовой стрелки, начиная с положительной стороны оси x:

  • Квадрант I: И x, и y положительные.
  • Квадрант II: x отрицательный, y положительный.
  • Квадрант III: И x, и y отрицательные.
  • Четвертый квадрант: x положительный, y отрицательный.
Quadrant I Quadrant II Quadrant III fourth quadrant (3, 2) (-3, 2) (-3, -2) (3, -2)

Обратите внимание, как знак x и y меняется в каждом квадранте. Эта информация важна для интерпретации местоположения точек на декартовой плоскости.

Рисуем точки на декартовой плоскости

Построение точки на декартовой плоскости означает ее рисование в указанном месте, заданном координатами. Это включает в себя использование значений x и y для определения точного местоположения точки.

Пример: построение точек

Пример: Постройте следующие точки на декартовой плоскости: (4, 3), (-2, 5), (-3, -4) и (5, -6).

(4, 3) (-2, 5) (-3, -4) (5, -6)

Координаты определяют положение каждой точки следующим образом:

  1. (4, 3) находится на 4 единицы вправо от начала координат на оси x и на 3 единицы вверх на оси y, что помещает его в квадрант I.
  2. (-2, 5) находится на 2 единицы влево и 5 единиц вверх от начала координат, что помещает его в квадрант II.
  3. (-3, -4) находится на 3 единицы вверх и 4 единиц вниз, что помещает его в квадрант III.
  4. (5, -6) находится на 5 единиц вправо и 6 единиц вниз, что помещает его в четвертый квадрант.

Уравнения в декартовой системе

Уравнения могут представлять геометрические фигуры на декартовой плоскости. Самая простая форма — это уравнение прямой, обычно заданное в форме наклон-перехват y = mx + c, где m — это наклон, а c — это перехват по оси y.

Пример: уравнение прямой

Пример: Рассмотрим уравнение прямой y = 2x + 1.

Для построения этого графика выберите несколько значений для x и рассчитайте соответствующее значение y:

x | y ------ 0 | 1 (y = 2*0 + 1) 1 | 3 (y = 2*1 + 1) 2 | 5 (y = 2*2 + 1)
(0, 1) (1, 3) (2, 5)

Обратите внимание, как прямая проходит через точки (0, 1), (1, 3) и (2, 5), подтверждая свое уравнение y = 2x + 1.

Формула расстояния

Формула расстояния используется для расчета расстояния между двумя точками на декартовой плоскости. Учитывая две точки (x1, y1) и (x2, y2), расстояние d между ними рассчитывается следующим образом:

d = √((x2 - x1) 2 + (y2 - y1) 2)

Пример: расчет расстояния

Пример: Рассчитайте расстояние между (2, 3) и (5, 7).

Подставляем значения в формулу расстояния:

d = √((5 - 2) 2 + (7 - 3) 2) d = √(3 2 + 4 2) d = √(9 + 16) d = √25 d = 5

Таким образом, расстояние между (2, 3) и (5, 7) составляет 5 единиц.

Формула середины

Формула середины используется для нахождения середины отрезка на декартовой плоскости. Середина отрезка M, соединяющего две точки (x1, y1) и (x2, y2), задается следующим образом:

M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)

Пример: нахождение середины

Пример: Найдите середину отрезка, соединяющего (3, 4) и (7, 8).

Использование формулы середины:

M = ((3 + 7)/2, (4 + 8)/2) M = (10/2, 12/2) M = (5, 6)

Таким образом, середина отрезка составляет (5, 6).

Наклон линии

Наклон линии измеряет ее крутизну и направление. Он рассчитывается как отношение изменения y к изменению x между двумя точками на линии. С учетом точек (x1, y1) и (x2, y2), наклон m определяется следующим образом:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Пример: расчет наклона

Пример: Определите наклон линии, проходящей через (1, 2) и (4, 6).

Применение формулы наклона:

m = (6 - 2) / (4 - 1) m = 4 / 3

Наклон линии составляет 4/3.

Заключение

Декартова система — это важная структура в координатной геометрии, которая позволяет нам находить точки, строить фигуры и понимать геометрические отношения алгебраически. Исследуя координаты, рассчитывая расстояния, находя середины и определяя наклоны, декартова система образует основу аналитической геометрии и разнообразных приложений в науке и технике. Понимание этой системы помогает решать сложные задачи и является фундаментом для перехода к более продвинутым математическим концепциям.


Класс 10 → 3.1


U
username
0%
завершено в Класс 10

← предыдущая (3)
Координатная геометрия
следующая (3.2) →
Формула расстояния

комментарии 



Введение в декартову систему в координатной геометрии

https://www.buddymath.com/g10/3.1?bmal=ru