10º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propriedades dos Números Reais  1.1.2. Números racionais e irracionais  1.1.3. Representação decimal de números reais  1.1.4. Operações com números reais  1.1.5. Números reais na reta numérica  1.2. O lema da divisão de Euclides  1.3. Fatoração de números primos  1.4. Compreendendo o MMC e o MDC em sistemas numéricos  1.5. Expoentes e Radicais  1.5.1. Leis dos expoentes  1.5.2. Simplificação de expressões básicas  1.5.3. Notação científica
  2. Compreendendo Algebra  2.1. Polinômios  2.1.1. Definição e tipos de polinômios  2.1.2. Grau de um polinômio  2.1.3. Zeros de um polinômio  2.1.4. Fatoração de polinômios  2.1.5. Identidades algébricas  2.2. Equações lineares em duas variáveis  2.2.1. Gráficos de equações lineares  2.2.2. Soluções de equações lineares  2.2.3. Aplicação de equações lineares em problemas de palavras  2.3. Entendendo Equações Quadráticas  2.3.1. Forma padrão de equação quadrática  2.3.2. Métodos para resolver equações quadráticas  2.3.2.1. Método de fatoração  2.3.2.2. Método de completar o quadrado  2.3.2.3. Fórmula quadrática  2.3.3. Compreendendo a natureza das raízes em equações quadráticas  2.4. Entendendo progressões aritméticas  2.4.1. Definição de progressão aritmética  2.4.2. Termo geral da Progressão Aritmética (PA)  2.4.3. A soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética  2.5. Introdução às funções  2.5.1. Definição e tipos de funções  2.5.2. Domínio e imagem  2.5.3. Estrutura dos trabalhos  2.5.4. Inverso de uma função
  3. Geometria coordenada  3.1. Introdução ao sistema cartesiano em geometria coordenada  3.2. Fórmula da distância  3.3. Fórmula da seção  3.4. Área de um triângulo  3.5. Inclinação da linha  3.6. Equação de uma linha em geometria coordenada  3.6.1. Forma de inclinação-interceptação  3.6.2. Introdução à forma ponto-inclinação  3.6.3. Forma de dois pontos  3.6.4. Forma de interceptação  3.6.5. Forma geral da linha
  4. Trigonometria  4.1. Razões trigonométricas  4.1.1. Sen, cosseno, tangente e seus inversos  4.1.2. Compreendendo os valores das razões trigonométricas em ângulos específicos  4.2. Identidades Trigonométricas  4.3. Relações trigonométricas de ângulos complementares  4.4. Alturas e distâncias  4.4.1. Compreendendo ângulos de elevação e depressão  4.4.2. Aplicações em problemas da vida real
  5. Geometria  5.1. Triângulo  5.1.1. Congruência de triângulos  5.1.2. Critérios de conformidade  5.1.3. Propriedades dos triângulos  5.2. Compreendendo similaridade na geometria  5.2.1. Compreendendo formas semelhantes na geometria  5.2.2. Critérios de semelhança  5.2.3. Similaridade de triângulos  5.2.4. Aplicações do paralelismo na vida real  5.3. Compreendendo círculos na geometria  5.3.1. Propriedades do círculo  5.3.2. Tangente a um círculo  5.3.3. Número de tangentes a partir de um ponto  5.3.4. Ângulo subtendido pelo arco  5.4. Construções em geometria  5.4.1. Construção de triângulos semelhantes  5.4.2. Tangente a um círculo  5.4.3. Construção de uma bissetriz de ângulo
  6. Mensuração  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de um Triângulo  6.1.2. Compreendendo a área de um paralelogramo  6.1.3. Área do trapézio  6.1.4. Compreendendo a área de um losango  6.2. Área de superfície e volume  6.2.1. Área de superfície de cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.2. Área de superfície do cone e esfera  6.2.3. Volume de um cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.4. Volume de cone e esfera  6.3. Conversão de unidades  6.4. Tronco de cone
  7. Figuras  7.1. Introdução à estatística  7.2. Coleta de dados  7.3. Apresentação de dados  7.3.1. Forma Tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: Uma ferramenta para representação gráfica em estatística  7.3.2.3. Polígono de frequência  7.3.2.4. Ogiva  7.4. Medidas de tendência central  7.4.1. Média, mediana e moda  7.4.2. Compreendendo Quartis e Percentis  7.5. Medidas de dispersão  7.5.1. Alcance e intervalo interquartil  7.5.2. Desvio Padrão e Variância
  8. Possibilidade  8.1. Introdução à Probabilidade  8.2. Probabilidade experimental  8.3. Probabilidade teórica  8.4. Probabilidade de eventos simples  8.5. Programas Complementares  8.6. Probabilidade de eventos mistos

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Introdução ao sistema cartesiano em geometria coordenada


O sistema cartesiano é um conceito fundamental na geometria coordenada, a parte da matemática que trata de definir e representar formas geométricas em um formato numérico. Nomeado em homenagem ao matemático francês René Descartes, o sistema cartesiano é um sistema de coordenadas que estabelece um conjunto de regras para indicar a localização exata de pontos em um plano usando um par ordenado de números. Ele forma a base da geometria analítica e é importante na conexão entre álgebra e geometria.

Noções básicas do sistema cartesiano

O sistema de coordenadas cartesiano é criado usando duas linhas numéricas perpendiculares: o eixo x (horizontal) e o eixo y (vertical). Esses eixos se intersectam em um ponto chamado a origem, representado como (0, 0).

X Y (0,0)

Compreendendo coordenadas

No sistema de coordenadas cartesiano, cada ponto no plano é representado por um par ordenado (x, y), onde:

  • x é a distância horizontal ao longo do eixo x a partir da origem.
  • y é a distância vertical ao longo do eixo y a partir da origem.

Essas coordenadas podem ser positivas ou negativas, dependendo do quadrante em que o ponto está localizado.

Quadrantes do plano cartesiano

O plano cartesiano é dividido em quatro regiões, chamadas de quadrantes, e numeradas na ordem anti-horária começando do lado positivo do eixo x:

  • Quadrante I: Tanto x quanto y são positivos.
  • Quadrante II: x é negativo, y é positivo.
  • Quadrante III: Tanto x quanto y são negativos.
  • Quarto Quadrante: x é positivo, y é negativo.
Quadrante I Quadrante II Quadrante III Quarto Quadrante (3, 2) (-3, 2) (-3, -2) (3, -2)

Observe como o sinal de x e y muda em cada quadrante. Esta informação é importante para interpretar a localização dos pontos no plano cartesiano.

Desenhando pontos no plano cartesiano

Traçar um ponto no plano cartesiano significa desenhá-lo em um local especificado por suas coordenadas. Isso envolve usar os valores de x e y para determinar a posição exata do ponto.

Exemplo: Traçando pontos

Exemplo: Trace os seguintes pontos no plano cartesiano: (4, 3), (-2, 5), (-3, -4) e (5, -6).

(4, 3) (-2, 5) (-3, -4) (5, -6)

As coordenadas determinam a posição de cada ponto como segue:

  1. (4, 3) está 4 unidades à direita da origem no eixo x e 3 unidades acima no eixo y, o que o coloca no quadrante I.
  2. (-2, 5) está 2 unidades à esquerda e 5 unidades acima da origem, o que o coloca no quadrante II.
  3. (-3, -4) está 3 unidades acima e 4 unidades abaixo, o que o coloca no quadrante III.
  4. (5, -6) está 5 unidades à direita e 6 unidades abaixo, o que o coloca no quarto quadrante.

Equações no sistema cartesiano

Equações podem representar formas geométricas no plano cartesiano. A forma mais simples é a equação de uma linha, geralmente dada na forma de inclinação-intercepto y = mx + c, onde m é a inclinação e c é o ponto de interseção com o eixo y.

Exemplo: Equação de uma linha

Exemplo: Considere a equação de linha y = 2x + 1.

Para representar graficamente essa linha, escolha alguns valores para x e calcule o valor correspondente de y:

x | y ------ 0 | 1 (y = 2*0 + 1) 1 | 3 (y = 2*1 + 1) 2 | 5 (y = 2*2 + 1)
(0, 1) (1, 3) (2, 5)

Observe como a linha passa pelos pontos (0, 1), (1, 3) e (2, 5), confirmando sua equação y = 2x + 1.

Fórmula da distância

A fórmula da distância é usada para calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano. Dados dois pontos (x1, y1) e (x2, y2), a distância d entre eles é calculada como:

d = √((x2 - x1) 2 + (y2 - y1) 2)

Exemplo: Calculando distância

Exemplo: Calcule a distância entre (2, 3) e (5, 7).

Colocando os valores na fórmula da distância:

d = √((5 - 2) 2 + (7 - 3) 2) d = √(3 2 + 4 2) d = √(9 + 16) d = √25 d = 5

Portanto, a distância entre (2, 3) e (5, 7) é de 5 unidades.

Fórmula do ponto médio

A fórmula do ponto médio é usada para encontrar o ponto médio de um segmento de linha no plano cartesiano. O ponto médio M do segmento de linha que une dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é dado por:

M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)

Exemplo: Encontrando o ponto médio

Exemplo: Encontre o ponto médio do segmento de linha que une (3, 4) e (7, 8).

Uso da fórmula do ponto médio:

M = ((3 + 7)/2, (4 + 8)/2) M = (10/2, 12/2) M = (5, 6)

Assim, o ponto médio do segmento de linha é (5, 6).

Inclinação da linha

A inclinação de uma linha mede sua inclinação e direção. Ela é calculada como a razão da mudança em y para a mudança em x entre dois pontos na linha. Dados os pontos (x1, y1) e (x2, y2), a inclinação m é:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Exemplo: Calculando inclinação

Exemplo: Determine a inclinação da linha que passa por (1, 2) e (4, 6).

Aplicando a fórmula da inclinação:

m = (6 - 2) / (4 - 1) m = 4 / 3

A inclinação da linha é 4/3.

Conclusão

O sistema cartesiano é uma estrutura essencial na geometria coordenada que nos permite localizar pontos, construir formas e compreender relações geométricas de forma algébrica. Investigando coordenadas, calculando distâncias, encontrando pontos médios e determinando inclinações, o sistema cartesiano forma a base para a geometria analítica e uma variedade de aplicações em ciências e engenharia. Compreender este sistema ajuda a resolver problemas complexos e é fundamental em avançar para conceitos matemáticos mais avançados.


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