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निर्देशांक ज्यामिति में कार्टेशियन प्रणाली का परिचय
निर्देशांक ज्यामिति में कार्टेशियन प्रणाली एक मूलभूत अवधारणा है, जो गणित का वह भाग है जो ज्यामितीय आकृतियों को संख्यात्मक प्रारूप में परिभाषित और प्रदर्शित करने से संबंधित है। फ्रेंच गणितज्ञ रिने देकार्त के नाम पर, कार्टेशियन प्रणाली एक निर्देशांक प्रणाली है जो संख्याओं की एक क्रमबद्ध जोड़ी का उपयोग करके एक तल पर बिंदुओं के सटीक स्थान को इंगित करने के लिए नियमों का एक सेट स्थापित करती है। यह विश्लेषणात्मक ज्यामिति का आधार बनाता है और बीजगणित और ज्यामिति को जोड़ने में महत्वपूर्ण है।
कार्टेशियन प्रणाली की मूल बातें
कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली का निर्माण दो लंबवत संख्या रेखाओं का उपयोग करके किया जाता है: x-अक्ष (क्षैतिज) और y-अक्ष (लंबवत)। ये अक्ष उत्पत्ति नामक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जिसे (0, 0) के रूप में दर्शाया जाता है।
निर्देशांक को समझना
कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली में, तल पर प्रत्येक बिंदु को एक क्रमबद्ध जोड़ी (x, y) द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ:
xउत्पत्ति से x-अक्ष के साथ क्षैतिज दूरी है।yउत्पत्ति से y-अक्ष के साथ लंबवत दूरी है।
इन निर्देशांकों का मान सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है, यह इस पर निर्भर करता है कि बिंदु किस चतुर्धातुक में स्थित है।
कार्टेशियन तल के चतुर्धातुक
कार्टेशियन तल को चार क्षेत्रों में विभाजित किया गया है, जिन्हें चतुर्धातुक कहा जाता है, और x-अक्ष के सकारात्मक पक्ष से बाएँ से दाएँ दिशा में क्रमांकित किया जाता है:
- चतुर्धातुक I: दोनों
xऔरyसकारात्मक होते हैं। - चतुर्धातुक II:
xनकारात्मक होता है,yसकारात्मक होता है। - चतुर्धातुक III: दोनों
xऔरyनकारात्मक होते हैं। - चतुर्थ चतुर्धातुक:
xसकारात्मक होता है,yनकारात्मक होता है।
ध्यान दें कि प्रत्येक चतुर्धातुक में x और y के संकेत कैसे बदलते हैं। यह जानकारी कार्टेशियन तल पर बिंदुओं के स्थान की व्याख्या के लिए महत्वपूर्ण है।
कार्टेशियन तल पर बिंदुओं को बनाना
कार्टेशियन तल पर एक बिंदु को प्लॉट करना इसका अर्थ है इसे इसकी निर्देशांक द्वारा निर्दिष्ट स्थान पर खींचना। इसमें x और y मानों का उपयोग करके बिंदु का सटीक स्थान निर्धारित करना शामिल है।
उदाहरण: बिंदुओं को प्लॉट करना
उदाहरण: निम्नलिखित बिंदुओं को कार्टेशियन तल पर प्लॉट करें: (4, 3), (-2, 5), (-3, -4) और (5, -6).
निर्देशांक प्रत्येक बिंदु की स्थिति को इस प्रकार निर्धारित करते हैं:
(4, 3)उत्पत्ति पर x-अक्ष पर 4 इकाइयाँ दाएँ और y-अक्ष पर 3 इकाइयाँ ऊपर है, जो इसे चतुर्धातुक I में स्थित करती हैं।(-2, 5)उत्पत्ति से 2 इकाइयाँ बाईं ओर और 5 इकाइयाँ ऊपर है, जो इसे चतुर्धातुक II में स्थित करती हैं।(-3, -4)उत्पत्ति पर 3 इकाइयाँ ऊपर और 4 इकाइयाँ नीचे है, जो इसे चतुर्धातुक III में स्थित करती हैं।(5, -6)उत्पत्ति से 5 इकाइयाँ दाईं ओर और 6 इकाइयाँ नीचे है, जो इसे चौथे चतुर्धातुक में स्थित करती हैं।
कार्टेशियन प्रणाली में समीकरण
समीकरण कार्टेशियन तल पर ज्यामितीय आकृतियों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। सबसे सरल रूप रेखा की समीकरण होता है, आमतौर पर ढलान-अवरोध-अवरोध रूप y = mx + c में दिया जाता है, जहाँ m ढलान है और c y-अवरोध है।
उदाहरण: रेखा का समीकरण
उदाहरण: रेखा समीकरण पर विचार करें y = 2x + 1.
इस रेखा का ग्राफ बनाएँ, कुछ x के मान चुनें और संबंधित y मान की गणना करें:
x | y ------ 0 | 1 (y = 2*0 + 1) 1 | 3 (y = 2*1 + 1) 2 | 5 (y = 2*2 + 1)देखें कि कैसे रेखा बिंदुओं (0, 1), (1, 3) और (2, 5) से होकर गुजरती है, इसकी समीकरण की पुष्टि करती है y = 2x + 1.
दूरी सूत्र
दूरी सूत्र का उपयोग कार्टेशियन तल पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करने के लिए किया जाता है। दिए गए दो बिंदुओं (x1, y1) और (x2, y2), के बीच की दूरी d की गणना इस प्रकार की जाती है:
d = √((x2 - x1) 2 + (y2 - y1) 2)उदाहरण: दूरी की गणना
उदाहरण: (2, 3) और (5, 7) के बीच की दूरी की गणना करें।
दूरी सूत्र में मानों को डालना:
d = √((5 - 2) 2 + (7 - 3) 2) d = √(3 2 + 4 2) d = √(9 + 16) d = √25 d = 5इसलिए, (2, 3) और (5, 7) के बीच की दूरी 5 इकाइयाँ है।
मध्यबिंदु सूत्र
मध्यबिंदु सूत्र का उपयोग कार्टेशियन तल पर एक रेखा खंड के मध्यबिंदु को खोजने के लिए किया जाता है। बिंदुओं (x1, y1) और (x2, y2) को जोड़ने वाली रेखा खंड के मध्यबिंदु M को इस प्रकार दिया गया है:
M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)उदाहरण: मध्यबिंदु खोजना
उदाहरण: रेखा खंड के मध्यबिंदु को खोजें जो (3, 4) और (7, 8) जोड़ता है।
मध्यबिंदु सूत्र का उपयोग करें:
M = ((3 + 7)/2, (4 + 8)/2) M = (10/2, 12/2) M = (5, 6)इसलिए, रेखा खंड का मध्यबिंदु (5, 6) है।
रेखा की ढलान
रेखा की ढलान इसकी ढाल और दिशा को मापती है। इसे रेखा पर दो बिंदुओं के बीच y में परिवर्तन के सापेक्ष x में परिवर्तन के अनुपात के रूप में गणना किया जाता है। दिए गए बिंदु (x1, y1) और (x2, y2), की ढलान m है:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)उदाहरण: ढलान की गणना
उदाहरण: रेखा की ढलान का निर्धारण करें जो (1, 2) और (4, 6) से होकर गुजरती है।
ढलान सूत्र को लागू करना:
m = (6 - 2) / (4 - 1) m = 4 / 3रेखा की ढलान 4/3 है।
निष्कर्ष
कार्टेशियन प्रणाली निर्देशांक ज्यामिति में एक आवश्यक ढांचा है जो हमें बिंदुओं का पता लगाने, आकारों का निर्माण करने और ज्यामितीय संबंधों को बीजगणितीय रूप से समझने में सक्षम बनाता है। निर्देशांकों की जाँच करके, दूरियों की गणना करके, मध्यबिंदु खोजकर, और ढलान निर्धारित करके, कार्टेशियन प्रणाली विश्लेषणात्मक ज्यामिति और विज्ञान और इंजीनियरिंग में विभिन्न अनुप्रयोगों का आधार बनाती है। इस प्रणाली को समझना जटिल समस्याओं को हल करने में मदद करता है और यह अधिक उन्नत गणितीय अवधारणाओं की ओर बढ़ने का आधार है।
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