Grado 10
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propiedades de los Números Reales  1.1.2. Números racionales e irracionales  1.1.3. Representación decimal de números reales  1.1.4. Operaciones con números reales  1.1.5. Números reales en la recta numérica  1.2. El lema de la división de Euclides  1.3. Factorización Prima  1.4. Comprender el MCM y el MCD en los sistemas numéricos  1.5. Exponentes y Radicales  1.5.1. Leyes de los exponentes  1.5.2. Simplificación de expresiones básicas  1.5.3. Notación científica
  2. Entendiendo el álgebra  2.1. Polinomios  2.1.1. Definición y tipos de polinomios  2.1.2. Grado de un polinomio  2.1.3. Ceros de un polinomio  2.1.4. Factorización de polinomios  2.1.5. Identidades algebraicas  2.2. Ecuaciones lineales en dos variables  2.2.1. Gráficas de ecuaciones lineales  2.2.2. Soluciones de ecuaciones lineales  2.2.3. Aplicación de ecuaciones lineales en problemas de palabras  2.3. Comprendiendo las ecuaciones cuadráticas  2.3.1. Forma estándar de la ecuación cuadrática  2.3.2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas  2.3.2.1. Método de factorización  2.3.2.2. Método de completar el cuadrado  2.3.2.3. Fórmula cuadrática  2.3.3. Comprendiendo la naturaleza de las raíces en las ecuaciones cuadráticas  2.4. Comprendiendo las progresiones aritméticas  2.4.1. Definición de progresión aritmética  2.4.2. Término general de la progresión aritmética (PA)  2.4.3. La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética  2.5. Introducción a las funciones  2.5.1. Definición y tipos de funciones  2.5.2. Dominio y rango  2.5.3. Estructura de los trabajos  2.5.4. Inverso de una función
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Introducción al sistema cartesiano en geometría de coordenadas  3.2. Fórmula de distancia  3.3. Fórmula de la sección  3.4. Área de un triángulo  3.5. Pendiente de la línea  3.6. Ecuación de una línea en geometría coordinada  3.6.1. Forma de pendiente-intersección  3.6.2. Introducción a la forma punto-pendiente  3.6.3. Forma de dos puntos  3.6.4. Forma de intersección  3.6.5. Forma general de la línea
  4. Trigonometría  4.1. Relaciones trigonométricas  4.1.1. Seno, coseno, tangente y sus inversos  4.1.2. Comprender los valores de las razones trigonométricas en ángulos específicos  4.2. Identidades trigonométricas  4.3. Relaciones trigonométricas de ángulos complementarios  4.4. Alturas y distancias  4.4.1. Comprender los ángulos de elevación y depresión  4.4.2. Aplicaciones en problemas de la vida real
  5. Geometría  5.1. Triángulo  5.1.1. Congruencia de triángulos  5.1.2. Criterios de conformidad  5.1.3. Propiedades de los triángulos  5.2. Entendiendo la similitud en geometría  5.2.1. Entendiendo formas similares en geometría  5.2.2. Criterios de similitud  5.2.3. Similitud de triángulos  5.2.4. Aplicaciones del paralelismo en la vida real  5.3. Comprensión de los círculos en geometría  5.3.1. Propiedades del círculo  5.3.2. Tangente a un círculo  5.3.3. Número de tangentes desde un punto  5.3.4. Ángulo subtendido por el arco  5.4. Construcciones en geometría  5.4.1. Construcción de triángulos similares  5.4.2. Tangente a un círculo  5.4.3. Construcción de una bisectriz de ángulo
  6. Mensuración  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de un Triángulo  6.1.2. Comprendiendo el área de un paralelogramo  6.1.3. Área del trapecio  6.1.4. Comprendiendo el área de un rombo  6.2. Área de superficie y volumen  6.2.1. Área superficial de cubo, cuboide y cilindro  6.2.2. Área de superficie de cono y esfera  6.2.3. Volumen de un cubo, un cuboide y un cilindro  6.2.4. Volumen de cono y esfera  6.3. Conversión de unidades  6.4. Tronco de un cono
  7. Figuras  7.1. Introducción a la estadística  7.2. Colección de datos  7.3. Presentación de datos  7.3.1. Forma tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: una herramienta para la representación gráfica en estadísticas  7.3.2.3. Polígono de frecuencias  7.3.2.4. Ojiva  7.4. Medidas de tendencia central  7.4.1. Media, mediana y moda  7.4.2. Comprendiendo cuartiles y percentiles  7.5. Medidas de dispersión  7.5.1. Rango y rango intercuartil  7.5.2. Desviación estándar y varianza
  8. Posibilidad  8.1. Introducción a la Probabilidad  8.2. Probabilidad experimental  8.3. Probabilidad teórica  8.4. Probabilidad de eventos simples  8.5. Programas complementarios  8.6. Probabilidad de eventos mixtos

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Introducción al sistema cartesiano en geometría de coordenadas


El sistema cartesiano es un concepto fundamental en la geometría de coordenadas, la parte de las matemáticas que se ocupa de definir y representar formas geométricas en un formato numérico. Nombrado en honor al matemático francés René Descartes, el sistema cartesiano es un sistema de coordenadas que establece un conjunto de reglas para indicar la ubicación exacta de puntos en un plano utilizando un par ordenado de números. Forma la base de la geometría analítica y es importante en la conexión entre álgebra y geometría.

Conceptos básicos del sistema cartesiano

El sistema de coordenadas cartesianas se crea utilizando dos líneas numéricas perpendiculares: el eje x (horizontal) y el eje y (vertical). Estos ejes se intersectan en un punto llamado el origen, representado como (0, 0).

X Y (0,0)

Comprensión de las coordenadas

En el sistema de coordenadas cartesianas, cada punto en el plano se representa mediante un par ordenado (x, y), donde:

  • x es la distancia horizontal a lo largo del eje x desde el origen.
  • y es la distancia vertical a lo largo del eje y desde el origen.

Estas coordenadas pueden ser positivas o negativas dependiendo del cuadrante en el que se encuentre el punto.

Cuadrantes del plano cartesiano

El plano cartesiano se divide en cuatro regiones, llamadas cuadrantes, y están numeradas en orden antihorario comenzando desde el lado positivo del eje x:

  • Cuadrante I: Tanto x como y son positivos.
  • Cuadrante II: x es negativo, y es positivo.
  • Cuadrante III: Tanto x como y son negativos.
  • Cuarto cuadrante: x es positivo, y es negativo.
Cuadrante I Cuadrante II Cuadrante III cuarto cuadrante (3, 2) (-3, 2) (-3, -2) (3, -2)

Observe cómo el signo de x y y cambia en cada cuadrante. Esta información es importante para interpretar la ubicación de los puntos en el plano cartesiano.

Dibujo de puntos en el plano cartesiano

Trazar un punto en el plano cartesiano significa dibujarlo en una ubicación especificada por sus coordenadas. Esto implica utilizar los valores de x e y para determinar la posición exacta del punto.

Ejemplo: Trazar puntos

Ejemplo: Trace los siguientes puntos en el plano cartesiano: (4, 3), (-2, 5), (-3, -4) y (5, -6).

(4, 3) (-2, 5) (-3, -4) (5, -6)

Las coordenadas determinan la posición de cada punto de la siguiente manera:

  1. (4, 3) está 4 unidades a la derecha del origen en el eje x y 3 unidades arriba en el eje y, lo que lo ubica en el cuadrante I.
  2. (-2, 5) está 2 unidades a la izquierda y 5 unidades arriba desde el origen, lo que lo ubica en el cuadrante II.
  3. (-3, -4) está 3 unidades hacia arriba y 4 unidades hacia abajo, lo que lo ubica en el cuadrante III.
  4. (5, -6) está 5 unidades a la derecha y 6 unidades hacia abajo, lo que lo ubica en el cuarto cuadrante.

Ecuaciones en el sistema cartesiano

Las ecuaciones pueden representar formas geométricas en el plano cartesiano. La forma más simple es la ecuación de una línea, generalmente dada en la forma de pendiente-intersección y = mx + c, donde m es la pendiente y c es la intersección con el eje y.

Ejemplo: Ecuación de una línea

Ejemplo: Considere la ecuación de la línea y = 2x + 1.

Para graficar esta línea, elija algunos valores para x y calcule el valor correspondiente de y:

x | y ------ 0 | 1 (y = 2*0 + 1) 1 | 3 (y = 2*1 + 1) 2 | 5 (y = 2*2 + 1)
(0, 1) (1, 3) (2, 5)

Observe cómo la línea pasa por los puntos (0, 1), (1, 3) y (2, 5), confirmando su ecuación y = 2x + 1.

Fórmula de la distancia

La fórmula de la distancia se utiliza para calcular la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano. Dados dos puntos (x1, y1) y (x2, y2), la distancia d entre ellos se calcula como:

d = √((x2 - x1) 2 + (y2 - y1) 2)

Ejemplo: Calcular la distancia

Ejemplo: Calcule la distancia entre (2, 3) y (5, 7).

Sustituyendo los valores en la fórmula de la distancia:

d = √((5 - 2) 2 + (7 - 3) 2) d = √(3 2 + 4 2) d = √(9 + 16) d = √25 d = 5

Por lo tanto, la distancia entre (2, 3) y (5, 7) es de 5 unidades.

Fórmula del punto medio

La fórmula del punto medio se utiliza para encontrar el punto medio de un segmento de línea en el plano cartesiano. El punto medio M del segmento de línea que une dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) se da por:

M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)

Ejemplo: Encontrar el punto medio

Ejemplo: Encuentre el punto medio del segmento de línea que une (3, 4) y (7, 8).

Uso de la fórmula del punto medio:

M = ((3 + 7)/2, (4 + 8)/2) M = (10/2, 12/2) M = (5, 6)

Por lo tanto, el punto medio del segmento de línea es (5, 6).

Pendiente de la línea

La pendiente de una línea mide su inclinación y dirección. Se calcula como la relación entre el cambio en y y el cambio en x entre dos puntos de la línea. Dados los puntos (x1, y1) y (x2, y2), la pendiente m es:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Ejemplo: Calcular la pendiente

Ejemplo: Determine la pendiente de la línea que pasa por (1, 2) y (4, 6).

Aplicando la fórmula de la pendiente:

m = (6 - 2) / (4 - 1) m = 4 / 3

La pendiente de la línea es 4/3.

Conclusión

El sistema cartesiano es un marco esencial en la geometría de coordenadas que nos permite ubicar puntos, construir formas y comprender relaciones geométricas algebraicamente. Al investigar coordenadas, calcular distancias, encontrar puntos medios y determinar pendientes, el sistema cartesiano forma la base de la geometría analítica y una variedad de aplicaciones en ciencia e ingeniería. Comprender este sistema ayuda a resolver problemas complejos y es fundamental para avanzar hacia conceptos matemáticos más avanzados.


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