फंक्शंस का परिचय
गणित में, फंक्शंस मौलिक अवधारणाओं में से एक हैं जो हमें विभिन्न चर के बीच संबंधों को समझने और वर्णित करने में मदद करती हैं। आप एक फंक्शन को विशेष प्रकार के संबंध या नियम के रूप में सोच सकते हैं जो बताता है कि एक मात्रा कैसे दूसरी मात्रा के साथ बदलती है। बीजगणित में, फंक्शंस महत्वपूर्ण होते हैं क्योंकि वे गणितीय समीकरणों के साथ काम करने और वास्तविक विश्व समस्याओं को हल करने के लिए आधार बनाते हैं।
फंक्शन क्या है?
एक फंक्शन एक संबंध है जो एक नियम के अनुसार इनपुट को आउटपुट से अनोखे रूप से जोड़ता है। यदि आप एक फंक्शन को एक मशीन के रूप में सोचें, तो आप एक नंबर डाल सकते हैं, और फंक्शन का नियम आपको आउटपुट बताता है। गणितीय रूप से, यदि f एक फंक्शन है, तो f(x) आउटपुट का प्रतिनिधित्व करता है जब x इनपुट होता है।
फंक्शंस से जुड़े कुछ महत्वपूर्ण शब्दावलियाँ निम्नलिखित हैं:
- डोमेन: फंक्शन के लिए सभी संभावित इनपुट (x-वैल्यूज) का सेट।
- रेंज: सभी संभावित आउटपुट (f(x)-वैल्यूज) का सेट जो फंक्शन उत्पन्न कर सकता है।
फंक्शंस की नोटेशन
फंक्शंस को आमतौर पर अक्षरों जैसे f, g, या h द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि f एक फंक्शन है, तो उसे f(x) = x + 2 के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ:
f: x → x + 2इसका अर्थ है कि यदि आप इस फंक्शन में x का मान डालते हैं, तो आउटपुट x + 2 होता है।
उदाहरण कार्य
उदाहरण 1: रैखिक फंक्शन
फंक्शन f(x) = 2x + 3 पर विचार करें।
यह एक सरल रैखिक फंक्शन है। जब आप इन समीकरणों को ग्राफ पर प्लॉट करते हैं, तो आपको एक सीधी रेखा मिलती है। रैखिक फंक्शंस कई बीजगणितीय समस्याओं की नींव हैं। आइए देखें कि डोमेन और रेंज की गणना कैसे करें।
- डोमेन: सभी वास्तविक संख्या, क्योंकि आप कोई भी x-वैल्यू डाल सकते हैं और एक वैध आउटपुट प्राप्त कर सकते हैं।
- रेंज: सभी वास्तविक संख्या, क्योंकि जैसे-जैसे x नकारात्मक अनंत से सकारात्मक अनंत तक बदलता रहता है, आउटपुट (f(x)) सभी वास्तविक संख्याओं को कवर करता है।
उदाहरण 2: द्विघात फंक्शन
फंक्शन g(x) = x² - 4 पर विचार करें।
द्विघात फंक्शंस के पास एक विशेष "U" आकार का ग्राफ होता है जिसे परबोला कहा जाता है। इस उदाहरण में, सूत्र g(x) = x² - 4 है।
- डोमेन: सभी वास्तविक संख्या।
- रेंज: सभी वास्तविक संख्या जो -4 के बराबर या उससे अधिक होती हैं, क्योंकि फंक्शन का ग्राफ -4 से नीचे नहीं जाता।
कैसे पता करें कि एक संबंध फंक्शन है या नहीं?
किसी संबंध के फंक्शन होने के लिए, प्रत्येक इनपुट का केवल एक आउटपुट होना चाहिए। यह जानने के लिए कि दो मात्राओं के बीच संबंध फंक्शन है या नहीं, आप उसके ग्राफ पर वर्टिकल लाइन परीक्षण का उपयोग कर सकते हैं।
वर्टिकल लाइन परीक्षण: यदि वर्टिकल लाइन संबंध के ग्राफ को एक से अधिक बिंदुओं पर इंटरसेक्ट करती है, तो संबंध फंक्शन नहीं है। यदि प्रत्येक वर्टिकल लाइन ग्राफ को ठीक एक बिंदु पर इंटरसेक्ट करती है, तो संबंध फंक्शन है।
फंक्शंस के प्रकार
बहुपदीय फंक्शन
बहुपदीय फंक्शंस उन पदों से बनते हैं जो पूर्णांक घातांकों के साथ परिवर्तनशील होते हैं। उदाहरण के लिए, f(x) = 3x³ - x² + 5 एक बहुपदीय फंक्शन है। बहुपदीय फंक्शंस कई रूपों में हो सकते हैं जैसे रैखिक, द्विघात, सांघातिक, और अन्य।
घातीय फंक्शन
घातीय फंक्शन का रूप f(x) = a * b^x होता है, जहाँ b एक सकारात्मक स्थिरांक होता है। इस प्रकार के फंक्शन का उपयोग घातीय वृद्धि और क्षय स्थितियों को मॉडल करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, समीकरण f(x) = 2^x एक घातीय फंक्शन है।
लघुगणकीय फंक्शन
लघुगणकीय फंक्शंस, घातीय फंक्शंस का प्रतिलोम होते हैं। लघुगणकीय फंक्शंस का रूप f(x) = log_b(x) होता है। इन फंक्शंस का उपयोग आमतौर पर घातीय फंक्शंस से जुड़े समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है।
एक फंक्शन का ग्राफ कैसे बनाएं?
किसी फंक्शन को ग्राफ बनाना यह समझने का एक दृश्य तरीका है कि फंक्शन कैसे कार्य करता है। फंक्शन का ग्राफ बनाने के लिए यहाँ कुछ बुनियादी कदम हैं:
- जिस प्रकार के कार्य से आप निपट रहे हैं, उसे पहचानें।
- विभिन्न x-मूल्यों को फंक्शन के समीकरण में डालकर कुछ बिंदुओं की गणना करें।
- इन बिंदुओं को ग्राफ पर प्लॉट करें।
- बिंदुओं को जोड़ें, ध्यान रखें कि फंक्शन के ग्राफ का सामान्य आकार कैसा है।
उदाहरण: रैखिक फंक्शन का ग्राफ बनाना
चलो रैखिक फंक्शन f(x) = 2x + 1 का ग्राफ बनाते हैं।
इस फंक्शन के लिए कुछ (x,y) बिंदु यहां दिए गए हैं:
- जब
x = 0,f(0) = 2(0) + 1 = 1; बिंदु (0, 1) है। - जब
x = 1,f(1) = 2(1) + 1 = 3; बिंदु (1, 3) है। - जब
x = -1,f(-1) = 2(-1) + 1 = -1; बिंदु (-1, -1) है।
फंक्शंस पर संचालन
संख्याओं की तरह, हम फंक्शंस पर संचालन कर सकते हैं। यहाँ कुछ बुनियादी संचालन हैं:
फंक्शंस का योग
दो फंक्शंस f(x) और g(x) को दिए गए, योग (f + g)(x) को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)फंक्शंस का घटाव
दो फंक्शंस का अंतर (f - g)(x) इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:
(f - g)(x) = f(x) - g(x)फंक्शंस का गुणन
गुणन (f * g)(x) इस प्रकार है:
(f * g)(x) = f(x) * g(x)फंक्शंस का विभाजन
विभाजन (f / g)(x) इस प्रकार है:
(f / g)(x) = f(x) / g(x), g(x) ≠ 0एक फंक्शन का प्रतिलोम
एक फंक्शन f(x) का प्रतिलोम वह फंक्शन है जो f के प्रभाव को "उलट" देता है। अगर f(x) = y, तो इसका प्रतिलोम है f⁻¹(y) = x। सभी फंक्शंस का प्रतिलोम नहीं होता, लेकिन जब होता है, तो प्रतिलोम मुख्य रूप से इनपुट और आउटपुट की भूमिकाओं को बदल देता है।
प्रतिलोम का उदाहरण
मान लीजिए f(x) = 2x + 3। इसका प्रतिलोम खोजने के लिए, इन चरणों का पालन करें:
f(x)कोyसे बदलें:y = 2x + 3।xऔरyको बदलें:x = 2y + 3।yके लिए हल करें:- इसलिए, प्रतिलोम फंक्शन है:
f⁻¹(x) = (x - 3)/2।
x - 3 = 2y => y = (x - 3)/2निष्कर्ष
फंक्शंस बीजगणित में एक महत्वपूर्ण अवधारणा हैं। वे गणितीय विचारों का वर्णन प्रणालीबद्ध और सटीक रूप से करने का एक तरीका प्रदान करते हैं, जो विस्तृत रूपों में गणितीय संबंधों के अन्वेषण की अनुमति देते हैं। फंक्शंस की नोटेशन, प्रकार और संचालन को समझकर, एक व्यक्ति जटिल समस्याओं को वास्तविक विश्व परिस्थितियों की व्याख्या करके हल करने के उपकरण प्राप्त करता है।
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