10º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propriedades dos Números Reais  1.1.2. Números racionais e irracionais  1.1.3. Representação decimal de números reais  1.1.4. Operações com números reais  1.1.5. Números reais na reta numérica  1.2. O lema da divisão de Euclides  1.3. Fatoração de números primos  1.4. Compreendendo o MMC e o MDC em sistemas numéricos  1.5. Expoentes e Radicais  1.5.1. Leis dos expoentes  1.5.2. Simplificação de expressões básicas  1.5.3. Notação científica
  2. Compreendendo Algebra  2.1. Polinômios  2.1.1. Definição e tipos de polinômios  2.1.2. Grau de um polinômio  2.1.3. Zeros de um polinômio  2.1.4. Fatoração de polinômios  2.1.5. Identidades algébricas  2.2. Equações lineares em duas variáveis  2.2.1. Gráficos de equações lineares  2.2.2. Soluções de equações lineares  2.2.3. Aplicação de equações lineares em problemas de palavras  2.3. Entendendo Equações Quadráticas  2.3.1. Forma padrão de equação quadrática  2.3.2. Métodos para resolver equações quadráticas  2.3.2.1. Método de fatoração  2.3.2.2. Método de completar o quadrado  2.3.2.3. Fórmula quadrática  2.3.3. Compreendendo a natureza das raízes em equações quadráticas  2.4. Entendendo progressões aritméticas  2.4.1. Definição de progressão aritmética  2.4.2. Termo geral da Progressão Aritmética (PA)  2.4.3. A soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética  2.5. Introdução às funções  2.5.1. Definição e tipos de funções  2.5.2. Domínio e imagem  2.5.3. Estrutura dos trabalhos  2.5.4. Inverso de uma função
  3. Geometria coordenada  3.1. Introdução ao sistema cartesiano em geometria coordenada  3.2. Fórmula da distância  3.3. Fórmula da seção  3.4. Área de um triângulo  3.5. Inclinação da linha  3.6. Equação de uma linha em geometria coordenada  3.6.1. Forma de inclinação-interceptação  3.6.2. Introdução à forma ponto-inclinação  3.6.3. Forma de dois pontos  3.6.4. Forma de interceptação  3.6.5. Forma geral da linha
  4. Trigonometria  4.1. Razões trigonométricas  4.1.1. Sen, cosseno, tangente e seus inversos  4.1.2. Compreendendo os valores das razões trigonométricas em ângulos específicos  4.2. Identidades Trigonométricas  4.3. Relações trigonométricas de ângulos complementares  4.4. Alturas e distâncias  4.4.1. Compreendendo ângulos de elevação e depressão  4.4.2. Aplicações em problemas da vida real
  5. Geometria  5.1. Triângulo  5.1.1. Congruência de triângulos  5.1.2. Critérios de conformidade  5.1.3. Propriedades dos triângulos  5.2. Compreendendo similaridade na geometria  5.2.1. Compreendendo formas semelhantes na geometria  5.2.2. Critérios de semelhança  5.2.3. Similaridade de triângulos  5.2.4. Aplicações do paralelismo na vida real  5.3. Compreendendo círculos na geometria  5.3.1. Propriedades do círculo  5.3.2. Tangente a um círculo  5.3.3. Número de tangentes a partir de um ponto  5.3.4. Ângulo subtendido pelo arco  5.4. Construções em geometria  5.4.1. Construção de triângulos semelhantes  5.4.2. Tangente a um círculo  5.4.3. Construção de uma bissetriz de ângulo
  6. Mensuração  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de um Triângulo  6.1.2. Compreendendo a área de um paralelogramo  6.1.3. Área do trapézio  6.1.4. Compreendendo a área de um losango  6.2. Área de superfície e volume  6.2.1. Área de superfície de cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.2. Área de superfície do cone e esfera  6.2.3. Volume de um cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.4. Volume de cone e esfera  6.3. Conversão de unidades  6.4. Tronco de cone
  7. Figuras  7.1. Introdução à estatística  7.2. Coleta de dados  7.3. Apresentação de dados  7.3.1. Forma Tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: Uma ferramenta para representação gráfica em estatística  7.3.2.3. Polígono de frequência  7.3.2.4. Ogiva  7.4. Medidas de tendência central  7.4.1. Média, mediana e moda  7.4.2. Compreendendo Quartis e Percentis  7.5. Medidas de dispersão  7.5.1. Alcance e intervalo interquartil  7.5.2. Desvio Padrão e Variância
  8. Possibilidade  8.1. Introdução à Probabilidade  8.2. Probabilidade experimental  8.3. Probabilidade teórica  8.4. Probabilidade de eventos simples  8.5. Programas Complementares  8.6. Probabilidade de eventos mistos

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Estrutura dos trabalhos


Compreender o conceito de composição de funções é uma parte importante da matemática que nos ajuda a resolver problemas complexos com facilidade. Uma função, como você já deve saber, é como uma máquina que recebe uma entrada, faz algo com ela e, em seguida, fornece uma saída. Quando criamos funções, estamos colocando essas máquinas juntas em sequência. Em termos simples, uma função pega a saída de outra como sua entrada. Vamos nos aprofundar e ver como isso funciona.

Quais são as tarefas?

Antes de explorar composições, é importante entender o que as funções em si são. Uma função é uma regra que atribui exatamente uma saída para cada entrada. Você pode pensar nisso como um método de relacionar números ou objetos de um conjunto a números ou objetos em outro conjunto.

f(x) = x + 2

Na equação acima, f é uma função onde colocamos x como entrada, e ela fornece x + 2 como saída. Por exemplo, se inserirmos 3 no lugar de x, a saída seria 5, porque 3 + 2 = 5.

O que é a composição de funções?

A composição de funções é essencialmente combinar duas funções de forma que a saída da primeira função se torne a entrada para a segunda função. Se você tem duas funções, f e g, a composição dessas funções é representada como (f ◦ g)(x). Esta expressão é lida como "f é composta por g de x" e significa f(g(x)).

Vamos analisar outra tarefa simples para fins de entendimento:

g(x) = 2x

Portanto, se tivermos uma função f(x) = x + 2 e outra função g(x) = 2x, então compor essas funções envolve pegar g(x) como entrada para f.

Assim: (f ◦ g)(x) = f(g(x))

Substituindo g(x) em f(x), obtemos:

f(g(x)) = f(2x) = 2x + 2

Isso significa que quando você coloca um número em g, multiplica por 2, e então adiciona 2, criamos as funções f e g.

Visualizando a estrutura das tarefas

A representação visual pode ser uma ótima maneira de entender o conceito de composição de funções:

Imagine duas caixas separadas representando as funções f e g. A primeira caixa recebe a entrada, processa de acordo com a função g, e passa o resultado para a segunda caixa, que aplica a função f:

g(x) = 2x Entrada f(x) = x + 2 Produção

Exemplo com números específicos

Vamos aplicar isso a números específicos para uma compreensão mais clara:

  • Passo 1: Pegue uma entrada, digamos x = 3.
  • Passo 2: Aplique g(x) = 2x, o que nos dá g(3) = 2*3 = 6.
  • Passo 3: Aplique f(x) = x + 2 ao resultado do Passo 2, o que dá f(6) = 6 + 2 = 8.
  • Passo 4: Portanto, (f ◦ g)(3) = 8.

Propriedades da composição de funções

É importante entender algumas propriedades-chave da composição de funções:

Não intercambiável

A composição de funções não é comutativa, ou seja, (f ◦ g)(x) nem sempre é igual a (g ◦ f)(x):

  • Para nossas f e g como definidas anteriormente, (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(x + 2) = 2(x + 2) = 2x + 4.
  • Note que esse resultado é diferente do que calculamos anteriormente para (f ◦ g)(x).

Vinculação

A composição de funções é associativa, o que significa f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h. Ambas as expressões levam à mesma função quando aplicadas aos valores de entrada.

Mais exemplos de composição

Vamos analisar um exemplo mais específico para praticar:

Exemplo 1: Função

Considere as tarefas:

f(x) = x^2
g(x) = x + 1

A combinação (f ◦ g)(x) é:

  • Calcule g(x) = x +1.
  • Substitua em f: f(g(x)) = (g(x))^2 = (x + 1)^2.
  • Expanda da seguinte forma: x^2 + 2x + 1.

Exemplo 2: Ordem reversa

Calcule (g ◦ f)(x) para as funções acima:

  • Primeiro encontre f(x) = x^2.
  • Substitua em g: g(f(x)) = f(x) + 1 = x^2 + 1.
  • Assim, (g ◦ f)(x) = x^2 + 1.

Por que a composição é importante?

A estrutura das funções na matemática é importante e ajuda a conectar ideias. Aqui estão algumas razões pelas quais é importante:

  • Simplificação de problemas complexos: Simplifica uma série de operações em uma única ação.
  • Aplicações no mundo real: Usada em engenharia, ciência e processamento de dados para construir modelos complexos para calcular saídas a partir de múltiplas entradas.
  • Entendendo diferentes perspectivas: Oferece insights para analisar sistemas como um conjunto de processos aplicados sequencialmente.

Aplicações práticas

Considere um exemplo do mundo real em um ambiente empresarial. Suponha que uma empresa use dois processos para precificação. Primeiro, adicionando uma margem de 20% sobre o custo, e depois uma taxa de serviço de $10 ao preço resultante. Ao usar a composição de funções, fica assim:

m(c) = c + 0.2c
S(m) = m + 10

A função combinada para o preço final P com base no custo c é:

P(c) = S(m(c)) = m(c) + 10 = 1.2c + 10

Isso simplifica as etapas de precificação, garantindo resultados consistentes ao longo da cadeia de operações.

Conclusão

A composição de funções é um conceito poderoso que permite que processos complexos sejam simplificados em operações mais gerenciáveis. Compreender como as funções são compostas fornece um conjunto de ferramentas para resolver problemas matemáticos e aplicar raciocínio matemático a situações do mundo real.


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