Grado 10
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propiedades de los Números Reales  1.1.2. Números racionales e irracionales  1.1.3. Representación decimal de números reales  1.1.4. Operaciones con números reales  1.1.5. Números reales en la recta numérica  1.2. El lema de la división de Euclides  1.3. Factorización Prima  1.4. Comprender el MCM y el MCD en los sistemas numéricos  1.5. Exponentes y Radicales  1.5.1. Leyes de los exponentes  1.5.2. Simplificación de expresiones básicas  1.5.3. Notación científica
  2. Entendiendo el álgebra  2.1. Polinomios  2.1.1. Definición y tipos de polinomios  2.1.2. Grado de un polinomio  2.1.3. Ceros de un polinomio  2.1.4. Factorización de polinomios  2.1.5. Identidades algebraicas  2.2. Ecuaciones lineales en dos variables  2.2.1. Gráficas de ecuaciones lineales  2.2.2. Soluciones de ecuaciones lineales  2.2.3. Aplicación de ecuaciones lineales en problemas de palabras  2.3. Comprendiendo las ecuaciones cuadráticas  2.3.1. Forma estándar de la ecuación cuadrática  2.3.2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas  2.3.2.1. Método de factorización  2.3.2.2. Método de completar el cuadrado  2.3.2.3. Fórmula cuadrática  2.3.3. Comprendiendo la naturaleza de las raíces en las ecuaciones cuadráticas  2.4. Comprendiendo las progresiones aritméticas  2.4.1. Definición de progresión aritmética  2.4.2. Término general de la progresión aritmética (PA)  2.4.3. La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética  2.5. Introducción a las funciones  2.5.1. Definición y tipos de funciones  2.5.2. Dominio y rango  2.5.3. Estructura de los trabajos  2.5.4. Inverso de una función
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Introducción al sistema cartesiano en geometría de coordenadas  3.2. Fórmula de distancia  3.3. Fórmula de la sección  3.4. Área de un triángulo  3.5. Pendiente de la línea  3.6. Ecuación de una línea en geometría coordinada  3.6.1. Forma de pendiente-intersección  3.6.2. Introducción a la forma punto-pendiente  3.6.3. Forma de dos puntos  3.6.4. Forma de intersección  3.6.5. Forma general de la línea
  4. Trigonometría  4.1. Relaciones trigonométricas  4.1.1. Seno, coseno, tangente y sus inversos  4.1.2. Comprender los valores de las razones trigonométricas en ángulos específicos  4.2. Identidades trigonométricas  4.3. Relaciones trigonométricas de ángulos complementarios  4.4. Alturas y distancias  4.4.1. Comprender los ángulos de elevación y depresión  4.4.2. Aplicaciones en problemas de la vida real
  5. Geometría  5.1. Triángulo  5.1.1. Congruencia de triángulos  5.1.2. Criterios de conformidad  5.1.3. Propiedades de los triángulos  5.2. Entendiendo la similitud en geometría  5.2.1. Entendiendo formas similares en geometría  5.2.2. Criterios de similitud  5.2.3. Similitud de triángulos  5.2.4. Aplicaciones del paralelismo en la vida real  5.3. Comprensión de los círculos en geometría  5.3.1. Propiedades del círculo  5.3.2. Tangente a un círculo  5.3.3. Número de tangentes desde un punto  5.3.4. Ángulo subtendido por el arco  5.4. Construcciones en geometría  5.4.1. Construcción de triángulos similares  5.4.2. Tangente a un círculo  5.4.3. Construcción de una bisectriz de ángulo
  6. Mensuración  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de un Triángulo  6.1.2. Comprendiendo el área de un paralelogramo  6.1.3. Área del trapecio  6.1.4. Comprendiendo el área de un rombo  6.2. Área de superficie y volumen  6.2.1. Área superficial de cubo, cuboide y cilindro  6.2.2. Área de superficie de cono y esfera  6.2.3. Volumen de un cubo, un cuboide y un cilindro  6.2.4. Volumen de cono y esfera  6.3. Conversión de unidades  6.4. Tronco de un cono
  7. Figuras  7.1. Introducción a la estadística  7.2. Colección de datos  7.3. Presentación de datos  7.3.1. Forma tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: una herramienta para la representación gráfica en estadísticas  7.3.2.3. Polígono de frecuencias  7.3.2.4. Ojiva  7.4. Medidas de tendencia central  7.4.1. Media, mediana y moda  7.4.2. Comprendiendo cuartiles y percentiles  7.5. Medidas de dispersión  7.5.1. Rango y rango intercuartil  7.5.2. Desviación estándar y varianza
  8. Posibilidad  8.1. Introducción a la Probabilidad  8.2. Probabilidad experimental  8.3. Probabilidad teórica  8.4. Probabilidad de eventos simples  8.5. Programas complementarios  8.6. Probabilidad de eventos mixtos

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Estructura de los trabajos


Comprender el concepto de composición de funciones es una parte importante de las matemáticas que nos ayuda a resolver problemas complejos fácilmente. Una función, como ya sabrás, es como una máquina que toma una entrada, hace algo con ella y luego da una salida. Cuando creamos funciones, estamos juntando estas máquinas en secuencia. En términos simples, una función toma la salida de otra como su entrada. Profundicemos y veamos cómo funciona esto.

¿Cuáles son las tareas?

Antes de explorar las composiciones, es importante entender qué son las funciones en sí mismas. Una función es una regla que asigna exactamente una salida a cada entrada. Puedes pensar en ella como un método para relacionar números u objetos de un conjunto con números u objetos en otro conjunto.

f(x) = x + 2

En la ecuación anterior, f es una función donde ingresamos x y da como resultado x + 2. Por ejemplo, si ingresamos 3 en lugar de x, el resultado sería 5, porque 3 + 2 = 5.

¿Qué es la composición de funciones?

La composición de funciones es esencialmente combinar dos funciones de tal manera que la salida de la primera función se convierte en la entrada de la segunda función. Si tienes dos funciones, f y g, la composición de estas funciones se representa como (f ◦ g)(x). Esta expresión se lee como "f está compuesto de g de x" y significa f(g(x)).

Veamos otra tarea simple para fines de comprensión:

g(x) = 2x

Así que si tenemos una función f(x) = x + 2 y otra función g(x) = 2x, entonces componer estas funciones implica tomar g(x) como una entrada para f.

Entonces: (f ◦ g)(x) = f(g(x))

Sustituyendo g(x) en f(x), obtenemos:

f(g(x)) = f(2x) = 2x + 2

Esto significa que cuando ingresas un número en g, lo multiplicas por 2 y luego agregas 2, hemos creado las funciones f y g.

Visualizando la estructura de tareas

La representación visual puede ser una excelente manera de entender el concepto de composición de funciones:

Imagina dos cajas separadas que representan las funciones f y g. La primera caja toma la entrada, la procesa según la función g, y luego pasa el resultado a la segunda caja, que aplica la función f:

g(x) = 2x Entrada f(x) = x + 2 Producción

Ejemplo con números específicos

Vamos a aplicar esto a números específicos para una comprensión más clara:

  • Paso 1: Toma una entrada, digamos x = 3.
  • Paso 2: Aplica g(x) = 2x, lo que nos da g(3) = 2*3 = 6.
  • Paso 3: Aplica f(x) = x + 2 al resultado del Paso 2, lo que da f(6) = 6 + 2 = 8.
  • Paso 4: Por lo tanto, (f ◦ g)(3) = 8.

Propiedades de la composición de funciones

Es importante entender algunas propiedades clave de la composición de funciones:

No intercambiables

La composición de funciones no es conmutativa, es decir, (f ◦ g)(x) no siempre es igual a (g ◦ f)(x):

  • Para nuestras f y g definidas anteriormente, (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(x + 2) = 2(x + 2) = 2x + 4.
  • Nota que este resultado es diferente de lo que calculamos anteriormente para (f ◦ g)(x).

Asociación

La composición de funciones es asociativa, lo que significa f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h. Ambas expresiones llevan a la misma función cuando se aplican a los valores de entrada.

Más ejemplos de composición

Veamos un ejemplo más específico para practicar:

Ejemplo 1: Función

Considera las tareas:

f(x) = x^2
g(x) = x + 1

La combinación (f ◦ g)(x) es:

  • Calcula g(x) = x +1.
  • Sustituye en f: f(g(x)) = (g(x))^2 = (x + 1)^2.
  • Expande como sigue: x^2 + 2x + 1.

Ejemplo 2: Orden inverso

Calcula (g ◦ f)(x) para las funciones anteriores:

  • Primero encuentra f(x) = x^2.
  • Sustituye en g: g(f(x)) = f(x) + 1 = x^2 + 1.
  • Así que, (g ◦ f)(x) = x^2 + 1.

¿Por qué es importante la composición?

La estructura de funciones en matemáticas es importante y ayuda a conectar ideas. Aquí hay algunas razones por las que es importante:

  • Simplificación de problemas complejos: Simplifica una serie de operaciones en una sola acción.
  • Aplicaciones del mundo real: Se utiliza en ingeniería, ciencia y procesamiento de datos para construir modelos complejos y calcular salidas a partir de múltiples entradas.
  • Comprensión de diferentes perspectivas: Proporciona una visión del análisis de sistemas como un conjunto de procesos aplicados secuencialmente.

Aplicaciones prácticas

Considera un ejemplo del mundo real en un contexto empresarial. Supongamos que una empresa utiliza dos procesos para precios. Primero, agregar un margen de beneficio del 20% sobre el costo, y luego una tarifa de servicio de $10 al precio resultante. Al usar una composición de funciones, se ve así:

m(c) = c + 0.2c
S(m) = m + 10

La función combinada para el precio final P basado en el costo c es:

P(c) = S(m(c)) = m(c) + 10 = 1.2c + 10

Esto agiliza los pasos de fijación de precios, garantizando resultados consistentes a través de la cadena de operaciones.

Conclusión

La composición de funciones es un concepto poderoso que permite que los procesos complejos se simplifiquen y conviertan en operaciones más manejables. Comprender cómo se componen las funciones proporciona una caja de herramientas para resolver problemas matemáticos y aplicar el razonamiento matemático a situaciones del mundo real.


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