定义域和值域

在代数中，定义域和值域的概念是理解函数的基础。它们构成了理解函数运作的核心，对可视化数学方程式非常重要。简单来说，函数的定义域是所有可能的输入值（通常是x-值），而值域是函数的所有可能输出值（通常是y-值）。这种理解让你可以自信地分析和绘制函数图形。让我们从基础开始深入了解这些概念。

理解任务

在定义定义域和值域之前，让我们先理解什么是函数。在数学中，函数是一种关系，它将输入集（称为定义域）中的每个元素与输出集（称为值域）中的一个元素相关联。函数可以表示为：

f: X → Y

这里，X 表示函数 f 的定义域，Y 表示值域。

什么是定义域？

定义域 是自变量（通常是 x）的所有可能值的完整集合，这些值使函数能够工作。它包括函数可以接受的所有输入值以产生有效输出。

例如，考虑一个简单的函数：

f(x) = x + 3

在这个例子中，由于我们可以输入任何实数，定义域是所有实数，通常写为：

定义域：(-∞, ∞)

然而，并不是所有函数都可以接受每个输入。考虑一个包含分母的函数：

f(x) = 1/(x - 2)

对于这个函数，如果 x = 2 是未定义的，因为这会导致分母为零。因此，定义域排除 x = 2，写为：

定义域：(-∞, 2) U (2, ∞)

这里，U 表示两个集合的并集。

定义域的图示

在这条折线图中，红点标记了x轴上的输入。假设这些代表了函数的有效输入集。函数的定义域是这些红点对应的数字集合。

什么是值域？

值域是通过将定义域的值代入函数而得出的所有可能输出值（因变量值，通常是 y）的集合。它正好与函数计算值的范围相对应。

例如，在函数中：

f(x) = x^2

对于实数，输出始终为正，因为平方任何数总是得到非负数。因此，限制为：

值域：[0, ∞)

作为另一个例子，我们来看 f(x) = √x。这个函数对于负数不起作用，因为负数的平方根不是实数。因此，其值域与其定义域一样，是：

定义域：[0, ∞)

同样，值域是 [0, ∞) 因为平方根只产生非负数。

值域的图示

在这里，y轴上的蓝点代表可用的值域值。给定一个函数，这些域代表根据输入计算的输出值。

在上下文中应用定义域和值域

考虑 一个实际应用，例如公司根据生产的商品数量对成本进行建模的情况。设 f(x) = 50x + 100 其中 x 是商品数量。定义域可能受到生产能力的限制，比如 0 ≤ x ≤ 1000 那么成本范围是可能的结果范围，100 ≤ f(x) ≤ 5100。

根据年龄估计身高，如果 h(a) 表示基于年龄 a 的身高，那么定义域可以被限制为人类的寿命，身高范围低于某个生物学上限。