डोमेन और रेंज

बीजगणित में डोमेन और रेंज की अवधारणा कार्यों को समझने के लिए मौलिक है। वे कार्यों के संचालन को समझने की रीढ़ हैं और गणितीय समीकरणों को नेत्रोत्तर रूप से देखने में महत्वपूर्ण हैं। सरल शब्दों में, किसी कार्य का डोमेन सभी संभावित इनपुट मूल्यों (आमतौर पर x-मूल्य) और रेंज सभी संभावित आउटपुट मूल्यों (आमतौर पर y-मूल्य) का संचालन करता है। यह समझ आपको कार्यों का आत्मविश्वास के साथ विश्लेषण और ग्राफ बनाने की अनुमति देती है। चलिए इन अवधारणाओं को पूरी तरह समझने के लिए गहराई में जाते हैं, सिद्धांतों से शुरू करते हैं।

कार्यों को समझना

डोमेन और रेंज को परिभाषित करने से पहले, चलिए समझ लेते हैं कि एक कार्य क्या है। गणित में, एक कार्य वह संबंध है जो इनपुट के सेट (जिसे डोमेन कहा जाता है) से प्रत्येक तत्व को आउटपुट के संभावित सेट (जिसे रेंज कहा जाता है) से ठीक एक तत्व के साथ जोड़ता है। एक कार्य को इस प्रकार प्रस्तुत किया जा सकता है:

f: X → Y

यहां, X डोमेन को सूचित करता है और Y कार्य f की रेंज को सूचित करता है।

डोमेन क्या है?

डोमेन स्वतंत्र चर के संभावित मूल्यों का पूरी तरह से सेट है (आमतौर पर x होता है) जो कार्य को काम करने की अनुमति देता है। इसमें हर इनपुट मूल्य शामिल होता है जिसे कार्य सही आउटपुट प्राप्त करने के लिए स्वीकार कर सकता है।

उदाहरण के लिए, एक सरल कार्य पर विचार करें:

f(x) = x + 3

इस उदाहरण में, क्योंकि हम किसी भी वास्तविक संख्या को कार्य में इनपुट कर सकते हैं, डोमेन सभी वास्तविक संख्याएं है, अक्सर इसे लिखा जाता है:

डोमेन: (-∞, ∞)

हालांकि, सभी कार्य हर इनपुट को स्वीकार नहीं कर सकते। एक डिनॉमिनेटर वाला कार्य पर विचार करें:

f(x) = 1/(x - 2)

इस कार्य के लिए, यह x = 2 होने पर अप्रकाशित है क्योंकि यह डिनॉमिनेटर को शून्य बना देगा। इसलिए, डोमेन x = 2 को छोड़ देता है और इसे इस प्रकार लिखा जाता है:

डोमेन: (-∞, 2) U (2, ∞)

यहां, U दो सेटों के संघ को दर्शाता है।

डोमेन का चित्रण

इस लाइन ग्राफ में, लाल बिंदु x-अक्ष पर इनपुट्स को चिह्नित करते हैं। मान लें कि ये किसी कार्य के लिए वैध इनपुट के सेट का प्रतिनिधित्व करते हैं। कार्य का डोमेन इन लाल बिंदुओं के संगणक संख्याओं का सेट होगा।

रेंज क्या है?

रेंज सभी संभावित आउटपुट मूल्यों का सेट है (आश्रित चरों के मूल्य, आमतौर पर y ) जिसे आप कार्य में शुल्कित डोमेन मूल्यों के लाने पर प्राप्त कर सकते हैं। यह ठीक उसी तरह से कार्य के संगणक मूल्यों के स्कोप के अनुसार है।

उदाहरण के लिए कार्य में:

f(x) = x^2

वास्तविक संख्याओं के लिए आउटपुट हमेशा सकारात्मक होता है क्योंकि किसी भी संख्या को वर्ग करने पर एक गैर-ऋणात्मक संख्या ही प्राप्त होती है। इसलिए, सीमा है:

रेंज: [0, ∞)

एक और उदाहरण के रूप में, चलिए f(x) = √x की जांच करते हैं। यह कार्य ऋणात्मक संख्याओं के लिए कार्य नहीं करता है क्योंकि ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूल वास्तविक नहीं होते हैं। इसलिए, इसकी रेंज, डोमेन के समान, होती है:

डोमेन: [0, ∞)

इसी प्रकार रेंज [0, ∞) होती है क्योंकि वर्गमूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याएं देते हैं।

रेंज का चित्रण

यहां, y-अक्ष पर नीले बिंदु उपलब्ध रेंज मानों का प्रतिनिधित्व करते हैं। चलिए मान लेते हैं कि किसी कार्य में, ये डोमेन्स इनपुट्स के आधार पर ग्रहणीय आउटपुट मूल्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

संदर्भ में डोमेन और रेंज लागू करना

एक वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोग के रूप में, जैसे एक स्थिति जहां एक कंपनी उत्पादन क्षमता के आधार पर लागत को मॉडल करती है। मान लें f(x) = 50x + 100 जहां x आइटम की संख्या है। डोमेन उत्पादन क्षमता से सीमित हो सकता है, मान लें 0 ≤ x ≤ 1000 तब लागत रेंज संभावित परिणामों की रेंज है, 100 ≤ f(x) ≤ 5100।

आयु के आधार पर ऊंचाई का अनुमान लगाने के लिए, यदि h(a) आयु a के आधार पर ऊंचाई बताता है, तो डोमेन को मानव जीवनकाल तक और ऊंचाई रेंज को कुछ जैविक अधिकतम के नीचे सीमित किया जा सकता है।

डोमेन और रेंज की दृश्य प्रतिनिधि

चतुराकार वक्र x-अक्ष के साथ डोमेन इनपुट से y-अक्ष के साथ रेंज आउटपुट के लिए एक कार्य को दर्शाता है। यह खूबसूरती से एक सेट से दूसरे के बीच पुल का प्रतिनिधित्व करता है।

ग्राफ में डोमेन और रेंज की पहचान करना

डोमेन और रेंज की पहचान करना आसान होता है जब किसी ग्राफ का विश्लेषण करते हैं। उन्हें पहचानने के लिए ये कदमों पर विचार करें:

• ज्ञात डोमेन के लिए सभी संभावित इनपुट मूल्यों के सेट को निर्धारित करने के लिए x-अक्ष के साथ देखें। ये सभी x-निर्देशांक स्थितियां हैं जिन्हें ग्राफ ने छुआ है।
• आउटपुट मूल्यों के लिए रेंज स्थापित करने के लिए y-अक्ष की जांच करें। सभी y-निर्देशांक बिंदुओं की पहचान करें जिन्हें ग्राफ ने एक दूसरे का सामना किया है।

असम्प्टोट्स जैसी ग्राफ विशेषताएं डोमेन और रेंज को स्पष्ट बना सकती हैं, स्पष्ट मूल्य दिखाकर जिन्हें कार्य निष्कर्ष नहीं करेगा।

व्यावहारिक उदाहरण डोमेन और रेंज खोजने के

आइए एक अन्य उदाहरण पर काम करते हैं, दोनों ग्राफिकल और बीजगणितीय रूप से डोमेन और रेंज खोजने के लिए:

समझें घनात्मक कार्य f(x) = x^3 - 4x। इसे ग्राफ़ करने पर सभी वास्तविक संख्या (-∞, ∞) दोनों सेटों के लिए दिखाई देती है क्योंकि न तो वर्ग और न ही टुकड़ों के घटकों ने इसकी रेंज को संकीर्ण किया है।

अब लें g(x) = √(x - 1) डोमेन प्राप्त किया जाता है आंतरिक अभिव्यक्ति की गैर-ऋणात्मकता के लिए समाधान करके:

x - 1 ≥ 0

यह इसे सरल बनाता है:

x ≥ 1

ताकि डोमेन: [1, ∞) और संबंधित रेंज है [0, ∞)।

निष्कर्ष

डोमेन और रेंज को समझना आपके गणितीय टूलबॉक्स को समृद्ध करता है, जिससे आप कार्यों की समझ को बेहतर बता सकते हैं। ये अवधारणाएं न केवल कार्य की परिभाषा के आवश्यक तत्व हैं, बल्कि वे कई प्रकार के गणितीय और वास्तविक दुनिया की समस्याओं में गहन अंतर्दृष्टि का अनलॉक करने की चाबियाँ हैं। डोमेन और रेंज में पारंगत होने से गणित की आपकी समझ और इसकी अनंत संभावनाएं समृद्ध होती हैं।

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