फंक्शन का परिभाषा और प्रकार

कक्षा 10 बीजगणित में, जिन प्रमुख अवधारणाओं का सामना आप करेंगे उनमें से एक है फंक्शन का विचार। फंक्शन्स गणितीय उपकरण होते हैं जो संख्याओं या वस्तुओं के सेट के बीच संबंध स्थापित करते हैं। इससे पहले कि हम फंक्शन के प्रकारों पर चर्चा करें, आइए यह समझें कि फंक्शन क्या होता है।

फंक्शन क्या है?

एक फंक्शन एक मशीन की तरह होता है जहाँ आप एक संख्या डालते हैं, और मशीन इस संख्या पर एक नियम लागू करती है, फिर एक और संख्या के रूप में उत्पादन करती है। यह संबंध नियम हर इनपुट को ठीक एक आउटपुट पर मैप करता है। एक फंक्शन को परिभाषित करने का एक औपचारिक तरीका यह है कि यह इनपुट्स के सेट (जिसे डोमेन भी कहा जाता है) और संभावित आउटपुट्स के सेट (जिसे कोडोमेन कहा जाता है) के बीच एक संबंध है, जहाँ प्रत्येक इनपुट को ठीक एक आउटपुट से जोड़ा जाता है।

बीजगणित में, एक फंक्शन को अक्सर इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

 कुछ अभिव्यक्तियाँ f(x) = x से संबंधित हैं

यहां, f फंक्शन को दर्शाता है, और x वह इनपुट है जिस पर फंक्शन कार्य करता है।

उदाहरणों के माध्यम से फंक्शन को समझना

आइए एक सरल उदाहरण देखें:

 f(x) = x + 2

इस फंक्शन में, कोई भी संख्या x लें, उसमें 2 जोड़ें, और परिणाम आपका आउटपुट होगा।

उदाहरण के लिए:

यदि x = 3, तो f(x) = 3 + 2 = 5
यदि x = -1, तो f(x) = -1 + 2 = 1

फंक्शन को दृश्य रूप में बनाना

यह समझने के लिए कि फंक्शन्स कैसे काम करते हैं, इस दृश्य को देखें, जहाँ प्रत्येक इनपुट का एकल आउटपुट होता है:

यह चित्र दिखाता है कि यदि इनपुट 3 है, तो फंक्शन f(x) = x + 2 के अनुसार परिणाम 5 है।

कार्य के प्रकार

फंक्शन्स को उनकी विशेषताओं के आधार पर विभिन्न प्रकारों में वर्गीकृत किया जा सकता है। हम बीजगणित में आमतौर पर प्रयुक्त विभिन्न प्रकार के फंक्शन्स का पता लगाएंगे।

1. रैखिक फंक्शन्स

रैखिक फंक्शन्स सबसे सरल प्रकार के बीजगणितीय फंक्शन होते हैं। इनमें निम्नलिखित रूप होता है:

 f(x) = mx + b

जहां m और b स्थिरांक होते हैं। रैखिक फंक्शन का ग्राफ एक सीधी रेखा होता है। स्थिरांक m रेखा की ढलान है, और b वह y-अवरोध है, जहाँ रेखा y-अक्ष को पार करती है।

उदाहरण:

 f(x) = 2x + 3

के लिए f(x) = 2x + 3, यदि:

x = 0, f(x) = 2(0) + 3 = 3
x = 1, f(x) = 2(1) + 3 = 5
x = 2, f(x) = 2(2) + 3 = 7

इस फंक्शन का ग्राफ एक सीधी रेखा होता है जो बिंदुओं (0, 3), (1, 5) और (2, 7) से गुजरती है।

2. द्विघात फंक्शन्स

द्विघात फंक्शन का रूप इस प्रकार होता है:

 f(x) = x^2 + bx + c

जहां a, b, और c स्थिरांक होते हैं। द्विघात फंक्शन का ग्राफ एक परवलय होता है। परवलय ऊपर या नीचे खुल सकती है यह a के संकेत पर निर्भर करता है।

उदाहरण:

 f(x) = x^2 - 4x + 3

के लिए f(x) = x^2 - 4x + 3, यदि:

x = 0, f(x) = (0)^2 - 4(0) + 3 = 3
x = 1, f(x) = (1)^2 - 4(1) + 3 = 0
x = 3, f(x) = (3)^2 - 4(3) + 3 = 0

यह फंक्शन एक परवलय बनाते हैं जो बिंदुओं (0, 3), (1, 0), और (3, 0) से गुजरती है।

3. बहुपद फंक्शन्स

एक बहुपद फंक्शन कोई भी ऐसा फंक्शन होता है जिसे इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

 f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0

जहां n एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, और a_n, a_{n-1}, ... , a_0 स्थिरांक होते हैं।

उदाहरण:

 f(x) = 4x^3 - 3x^2 + 2x - 1

बहुपद फंक्शन्स सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित होते हैं, और डिग्री n के आधार पर, इनमें कई अवकलन बिंदु हो सकते हैं।

4. घातीय फंक्शन

घातीय फंक्शन्स का रूप होता है:

 f(x) = a * b^x

जहां a और b स्थिरांक होते हैं। आधार b एक सकारात्मक वास्तविक संख्या है, और अगर b > 1, तो फंक्शन घातीय वृद्धि को दर्शाता है; यदि 0 < b < 1, तो यह घातीय क्षय को दर्शाता है।

उदाहरण:

 f(x) = 3 * 2^x

के लिए f(x) = 3 * 2^x, यदि:

x = 0, f(x) = 3 * 2^0 = 3
x = 1, f(x) = 3 * 2^1 = 6
x = 2, f(x) = 3 * 2^2 = 12

5. लघुगणकीय फंक्शन्स

लघुगणकीय फंक्शन्स घातीय फंक्शन्स का व्युत्क्रम होते हैं। उनका रूप इस प्रकार है:

 f(x) = log_b(x)

जहां b आधार है। लघुगणकीय फंक्शन्स केवल x के सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित होते हैं।

उदाहरण:

 f(x) = log_2(x)

के लिए f(x) = log_2(x), यदि:

x = 1, f(x) = log_2(1) = 0
x = 2, f(x) = log_2(2) = 1
x = 4, f(x) = log_2(4) = 2

6. त्रिकोणमितीय फंक्शन्स

त्रिकोणमितीय फंक्शन्स कोणों और त्रिभुजों के साथ उनके संबंधों को शामिल करती हैं। सामान्य त्रिकोणमितीय फंक्शन में शामिल हैं:

• साइन sin(x)
• कोसाइन cos(x)
• टैन्जेंट tan(x)

ये फंक्शन्स आवर्ती होती हैं और तरंग विश्लेषण, दोलनों और आवर्तकता से संबंधित अन्य अनुप्रयोगों में महत्वपूर्ण होती हैं।

फंक्शन संकेतन

फंक्शन संकेतन एक फंक्शन को नाम देने और फंक्शन से आउटपुट को प्रस्तुत करने का एक तरीका प्रदान करता है। जब आप f(x) देखते हैं, तो यह उस फंक्शन f का आउटपुट दर्शाता है जब इनपुट x है।

यदि g कोई अन्य फंक्शन है, तो g(x) = x^3 - x यह दर्शाता है कि प्रत्येक x मूल्य के लिए जिसे आप इनपुट करते हैं, आप उसे घना करें, फिर परिणाम से x घटाएं।

फंक्शन्स की विशेषताएँ

फंक्शन्स में विशिष्ट विशेषताएँ होती हैं जो उनके व्यवहार को समझने में मदद करती हैं। कुछ महत्वपूर्ण विशेषताएँ शामिल हैं:

1. डोमेन और रेंज

डोमेन एक फंक्शन का संभावित इनपुट मानों का पूर्ण सेट है। यह सभी संभव x मानों का सेट है जो फंक्शन को काम करने में सक्षम करते हैं।

रेंज संभावित आउटपुट मानों का सेट है। यह सभी f(x) -मूल्य का सेट है जो आप डोमेन से संख्याएँ प्लग करके फंक्शन में प्राप्त कर सकते हैं।

उदाहरण:

फंक्शन f(x) = √(x) के लिए, डोमेन है x ≥ 0 
(क्योंकि आप वास्तविक संख्याओं में एक ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल नहीं निकाल सकते), 
और रेंज है f(x) ≥ 0।

2. फंक्शन के शून्य

फंक्शन के शून्य उन x मानों को होते हैं जिनके लिए फंक्शन का आउटपुट शून्य होता है। ये वे बिंदु होते हैं जहां फंक्शन का ग्राफ x-अक्ष को पार करता है या छूता है।

उदाहरण:

फंक्शन f(x) = 2x - 4 के लिए, इसे शून्य पर सेट करना देता है:

2x – 4 = 0

जिसका सरलीकरण इस प्रकार है:

x = 2

इसलिए, फंक्शन का शून्य है x = 2।

3. वृद्धि और कमी के अंतराल

फंक्शन्स या तो वृद्धि होती हैं, जहां आउटपुट मान बड़े होते हैं जब इनपुट मान बड़ा होता है, या कमी होती हैं, जहां आउटपुट मान छोटे होते हैं जब इनपुट मान बड़ा होता है।

फंक्शन के ग्राफ या विमार्श का सावधानीपूर्वक अध्ययन करके इन अंतरालों को निर्धारित किया जा सकता है।

निष्कर्ष

बीजगणित में फंक्शन की परिभाषा और प्रकारों को समझना गणित में आगे के अध्ययन और उसके अनुप्रयोगों के लिए मौलिक है। फंक्शन्स वास्तविक दुनिया के परिदृश्यों में मॉडल के रूप में कार्य करते हैं जहाँ विशेष संख्या के बीच संबंध होता है।

एक बार जब आप फंक्शन्स के विभिन्न प्रकारों और उनके विशेषताओं से परिचित हो जाते हैं, तो आप बीजगणितीय फंक्शन्स का उपयोग करके विभिन्न परिस्थितियों का विश्लेषण और मॉडल करने में सक्षम होंगे। डोमेन, रेंज, शून्य, और विभिन्न फंक्शन्स के व्यवहार की पहचान करके अभ्यास करते रहें ताकि इस आकर्षक गणितीय शाखा में मजबूती प्राप्त हो सके।

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