Grado 10
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propiedades de los Números Reales  1.1.2. Números racionales e irracionales  1.1.3. Representación decimal de números reales  1.1.4. Operaciones con números reales  1.1.5. Números reales en la recta numérica  1.2. El lema de la división de Euclides  1.3. Factorización Prima  1.4. Comprender el MCM y el MCD en los sistemas numéricos  1.5. Exponentes y Radicales  1.5.1. Leyes de los exponentes  1.5.2. Simplificación de expresiones básicas  1.5.3. Notación científica
  2. Entendiendo el álgebra  2.1. Polinomios  2.1.1. Definición y tipos de polinomios  2.1.2. Grado de un polinomio  2.1.3. Ceros de un polinomio  2.1.4. Factorización de polinomios  2.1.5. Identidades algebraicas  2.2. Ecuaciones lineales en dos variables  2.2.1. Gráficas de ecuaciones lineales  2.2.2. Soluciones de ecuaciones lineales  2.2.3. Aplicación de ecuaciones lineales en problemas de palabras  2.3. Comprendiendo las ecuaciones cuadráticas  2.3.1. Forma estándar de la ecuación cuadrática  2.3.2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas  2.3.2.1. Método de factorización  2.3.2.2. Método de completar el cuadrado  2.3.2.3. Fórmula cuadrática  2.3.3. Comprendiendo la naturaleza de las raíces en las ecuaciones cuadráticas  2.4. Comprendiendo las progresiones aritméticas  2.4.1. Definición de progresión aritmética  2.4.2. Término general de la progresión aritmética (PA)  2.4.3. La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética  2.5. Introducción a las funciones  2.5.1. Definición y tipos de funciones  2.5.2. Dominio y rango  2.5.3. Estructura de los trabajos  2.5.4. Inverso de una función
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Introducción al sistema cartesiano en geometría de coordenadas  3.2. Fórmula de distancia  3.3. Fórmula de la sección  3.4. Área de un triángulo  3.5. Pendiente de la línea  3.6. Ecuación de una línea en geometría coordinada  3.6.1. Forma de pendiente-intersección  3.6.2. Introducción a la forma punto-pendiente  3.6.3. Forma de dos puntos  3.6.4. Forma de intersección  3.6.5. Forma general de la línea
  4. Trigonometría  4.1. Relaciones trigonométricas  4.1.1. Seno, coseno, tangente y sus inversos  4.1.2. Comprender los valores de las razones trigonométricas en ángulos específicos  4.2. Identidades trigonométricas  4.3. Relaciones trigonométricas de ángulos complementarios  4.4. Alturas y distancias  4.4.1. Comprender los ángulos de elevación y depresión  4.4.2. Aplicaciones en problemas de la vida real
  5. Geometría  5.1. Triángulo  5.1.1. Congruencia de triángulos  5.1.2. Criterios de conformidad  5.1.3. Propiedades de los triángulos  5.2. Entendiendo la similitud en geometría  5.2.1. Entendiendo formas similares en geometría  5.2.2. Criterios de similitud  5.2.3. Similitud de triángulos  5.2.4. Aplicaciones del paralelismo en la vida real  5.3. Comprensión de los círculos en geometría  5.3.1. Propiedades del círculo  5.3.2. Tangente a un círculo  5.3.3. Número de tangentes desde un punto  5.3.4. Ángulo subtendido por el arco  5.4. Construcciones en geometría  5.4.1. Construcción de triángulos similares  5.4.2. Tangente a un círculo  5.4.3. Construcción de una bisectriz de ángulo
  6. Mensuración  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de un Triángulo  6.1.2. Comprendiendo el área de un paralelogramo  6.1.3. Área del trapecio  6.1.4. Comprendiendo el área de un rombo  6.2. Área de superficie y volumen  6.2.1. Área superficial de cubo, cuboide y cilindro  6.2.2. Área de superficie de cono y esfera  6.2.3. Volumen de un cubo, un cuboide y un cilindro  6.2.4. Volumen de cono y esfera  6.3. Conversión de unidades  6.4. Tronco de un cono
  7. Figuras  7.1. Introducción a la estadística  7.2. Colección de datos  7.3. Presentación de datos  7.3.1. Forma tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: una herramienta para la representación gráfica en estadísticas  7.3.2.3. Polígono de frecuencias  7.3.2.4. Ojiva  7.4. Medidas de tendencia central  7.4.1. Media, mediana y moda  7.4.2. Comprendiendo cuartiles y percentiles  7.5. Medidas de dispersión  7.5.1. Rango y rango intercuartil  7.5.2. Desviación estándar y varianza
  8. Posibilidad  8.1. Introducción a la Probabilidad  8.2. Probabilidad experimental  8.3. Probabilidad teórica  8.4. Probabilidad de eventos simples  8.5. Programas complementarios  8.6. Probabilidad de eventos mixtos

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Comprendiendo las progresiones aritméticas


Las progresiones aritméticas son secuencias de números que tienen un patrón único, la diferencia entre términos consecutivos es constante. Esta diferencia recurrente le da a estas secuencias simplicidad y regularidad, haciéndolas no solo un concepto importante en matemáticas sino también aplicable a varios escenarios de la vida real.

Definición básica

Una Progresión Aritmética (AP) o Secuencia Aritmética es una secuencia de números en la que la diferencia entre cualquier dos miembros sucesivos es constante. Esto se llama la diferencia común, y puede ser positiva, negativa o cero.

Generalmente, una progresión aritmética ((a, a+d, a+2d, a+3d, ldots)) tiene los siguientes términos:

a = text{primer término} d = text{diferencia común}

El n-ésimo término de una progresión aritmética puede encontrarse usando la siguiente fórmula:

T_n = a + (n-1) cdot d

Donde:

  • T_n es el enésimo término de la secuencia.
  • a es el primer término.
  • d es la diferencia común.
  • n es el número de términos.

Cómo funcionan las progresiones aritméticas

La simplicidad de las progresiones aritméticas las hace fáciles de entender y usar. Consideremos un ejemplo básico:

Supongamos que tenemos una secuencia: (2, 5, 8, 11, 14, ldots)

Aquí:

  • El primer término (a) es 2.
  • La diferencia común (d) es 3 porque cada término sucesivo aumenta en 3.

Si queremos encontrar el 10º término ((T_{10})) de esta secuencia, usamos la fórmula:

T_{10} = 2 + (10-1) cdot 3 = 2 + 27 = 29

Así, el 10º término es 29.

Representación visual

2 5 8 11

En la figura anterior, cada punto rojo representa un término en la Progresión Aritmética donde la diferencia entre ellos permanece constante, es decir, 3.

Suma de la progresión aritmética

La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética también se puede encontrar utilizando una fórmula. La suma de una secuencia aritmética se da por:

S_n = frac{n}{2} cdot (2a + (n-1) cdot d)

O alternativamente, la fórmula puede reescribirse de la siguiente manera:

S_n = frac{n}{2} cdot (a + T_n)

donde S_n es la suma de los primeros n términos.
Veamos un ejemplo:

Nuevamente, consideremos la secuencia (2, 5, 8, 11, 14, ldots).

La suma de los primeros 5 términos ((S_5)) se calcula de la siguiente manera:

S_5 = frac{5}{2} cdot (2 cdot 2 + (5-1) cdot 3) = frac{5}{2} cdot (4 + 12) = frac{5}{2} cdot 16 = 40

Por lo tanto, la suma de los primeros 5 términos es 40.

Usando progresión aritmética

Las progresiones aritméticas pueden modelar muchas situaciones y problemas de la vida real:

Ejemplos de aplicaciones en la vida real:

  • Cálculo de salario, donde hay un incremento anual constante.
  • Planes de pago con pagos fijos durante el plazo del préstamo.
  • Las progresiones aritméticas son importantes en matemáticas financieras para calcular ahorros e inversiones.

Considere un escenario de pago de préstamo donde paga una parte de su préstamo cada año y cada pago posterior es $100 más que el pago anterior. Si decide comenzar con un pago de $1000, esto se puede calcular de la siguiente manera:

Sus pagos forman la secuencia aritmética (1000, 1100, 1200, ldots)

Para saber cuánto tendrá que pagar en los primeros 5 años, apliquemos la fórmula de la suma:

S_5 = frac{5}{2} cdot (2 cdot 1000 + (5-1) cdot 100) = frac{5}{2} cdot (2000 + 400) = frac{5}{2} cdot 2400 = 6000

Entonces, en 5 años, habrá pagado $6000.

Resolución de problemas usando secuencias aritméticas

Problema de ejemplo:

Supongamos que ha creado un sendero de un milla de largo, con postes de distancia cada cuarto de milla que marcan la distancia desde el inicio del sendero:

Los postes comenzarán con (0, 0.25, 0.5, 0.75, ldots).
Si desea conocer la posición del 13º término, puede calcularlo usando una progresión aritmética de la siguiente manera:

Dado que el primer poste está a 0 millas y cada poste está ubicado a 0.25 millas de distancia:

puede usar:

a = 0, d = 0.25

La posición del 13º término es:

T_{13} = 0 + (13-1) cdot 0.25 = 0 + 3 = 3.0

Así que el 13º poste está a 3 millas del inicio.

Propiedades de la secuencia aritmética

Varias propiedades hacen que las progresiones aritméticas sean únicas e importantes en matemáticas:

  • El cociente de dos términos sucesivos cualesquiera no es constante a menos que la diferencia en la razón sea cero.
  • La media aritmética (promedio) de dos números cualesquiera en la secuencia también forma parte de la secuencia.
  • La progresión aritmética puede ser tanto finita como infinita.

Conclusión

Las progresiones aritméticas sirven como un bloque de construcción para entender las secuencias en matemáticas. Proporcionan un enfoque estructurado para resolver problemas que involucran secuencias y series tanto en estudios académicos como en aplicaciones del mundo real. La previsibilidad y la naturaleza sencilla de las progresiones aritméticas las hacen no solo fáciles de entender sino también una herramienta poderosa a disposición de uno. Ya sea en finanzas, planificación o problemas teóricos, las progresiones aritméticas simplifican patrones complejos y allanan el camino para soluciones intuitivas.


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