前n项算术级数的和

算术级数（AP）是指一个数列，其中任意两个连续项之间的差是一个常数。这个常数差通常用字母d表示，称为公差。

例如，序列2, 4, 6, 8, 10是一个算术级数，因为连续项之间的差始终是2。另一个序列是5, 10, 15, 20，其公差是5。

算术级数的元素

算术级数表示为：

A, A+D, A+2D, A+3D, ..., A+(n-1)D

• a是首项。
• d是公差。
• n是项数。

前n项算术级数的和

要找出算术级数的前n项的和，我们使用以下公式：

S n = n/2 × (2a + (n − 1) × d)

或等价的

S n = n/2 × (a + l)

其中：

• S n是前n项的和。
• l是序列的末项。因此，l = a + (n-1) × d。

公式的推导

让我们通过一个简单的逻辑解释来推导这个公式。考虑一个有n项的序列：

a, (a + d), (a + 2d), ..., [a + (n - 1)d]

现在，如果我们将序列反向书写：

[a + (n - 1)d], [a + (n - 2)d], ..., (a + d), a

逐项相加这些序列，我们得到对：

(a + [a + (n - 1)d]), ((a + d) + [a + (n - 2)d]), ..., ([a + (n - 1)d] + a)

每对的和都相同：

2a + (n - 1)d

有n对这样的对，所以总和变为：

n × [(2a + (n – 1)d) / 2] = n/2 × (2a + (n – 1)d)

例1

考虑序列2, 5, 8, 11, 14 找出这5个数的和。

这里，a = 2，d = 3，n = 5。

S 5 = 5/2 × (2 × 2 + (5 - 1) × 3)

S 5 = 5/2 × (4 + 12)

S 5 = 5/2 × 16 = 5 × 8 = 40

因此，前5项的和是40。

可视化例子

例2

让我们找出算术级数3, 7, 11, 15...的前10项的和。

这里，a = 3，d = 4。

首先，找出第10项：

L = a + (n − 1) × d = 3 + (10 − 1) × 4 = 3 + 36 = 39

现在，使用求和公式：

S 10 = 10/2 × (3 + 39)

S 10 = 5 × 42 = 210

因此，前10项的和是210。

例3：具有负公差的算术级数

考虑一个算术级数，其中a = 20，d = -3，n = 6。

序列：20, 17, 14, 11, 8, 5。

计算总和：

S 6 = 6/2 × (2 × 20 + (6 - 1) × (-3))

S 6 = 3 × (40 – 15)

S 6 = 3 × 25 = 75

因此，前6项的和是75。

概括

公式S n = n/2 × (2a + (n - 1) × d)普遍适用于所有算术级数——无论公差是正、负还是零。

数学探索

这种在算术级数中加项的方法说明了一个重要概念：增加和减少数字的平衡以获得总和。在算术级数中，这发生在公差的递增加法从级数的两端形成对称的运算。

实际应用

了解算术级数的和在实际生活中很有用，特别是在某些情况下，事情以线性方式进展，如计算等间隔分期付款的总额，或估计一段时间内的储蓄额。

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