Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия (АП) — это последовательность чисел, в которой разность любых двух последовательных членов является постоянной. Эта постоянная разность, обычно обозначаемая буквой d, называется разностью прогрессии.

Например, последовательность 2, 4, 6, 8, 10 является арифметической прогрессией, потому что разность между последовательными членами всегда равна 2. Другая последовательность — 5, 10, 15, 20, где разность равна 5.

Элементы арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия представляется как:

A, A+D, A+2D, A+3D, ..., A+(n-1)D

• a — первый член.
• d — разность прогрессии.
• n — количество членов.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Для нахождения суммы первых n членов АП используется следующая формула:

S n = n/2 × (2a + (n − 1) × d)

или эквивалентно

S n = n/2 × (a + l)

Где:

• S n — сумма первых n членов.
• l — последний член последовательности. Таким образом, l = a + (n-1) × d.

Вывод формулы

Позвольте вывести эту формулу с помощью простого логического объяснения. Рассмотрим последовательность из n членов:

a, (a + d), (a + 2d), ..., [a + (n - 1)d]

Теперь, если мы запишем последовательность в обратном порядке:

[a + (n - 1)d], [a + (n - 2)d], ..., (a + d), a

Сложив эти последовательности по членам, получим пары:

(a + [a + (n - 1)d]), ((a + d) + [a + (n - 2)d]), ..., ([a + (n - 1)d] + a)

Каждая пара имеет одинаковую сумму:

2a + (n - 1)d

Таких пар n, поэтому общее количество станет:

n × [(2a + (n – 1)d) / 2] = n/2 × (2a + (n – 1)d)

Пример 1

Рассмотрим последовательность 2, 5, 8, 11, 14. Найдите сумму первых 5 членов.

Здесь, a = 2, d = 3 и n = 5.

S 5 = 5/2 × (2 × 2 + (5 - 1) × 3)

S 5 = 5/2 × (4 + 12)

S 5 = 5/2 × 16 = 5 × 8 = 40

Следовательно, сумма первых 5 членов равна 40.

Визуальный пример

Пример 2

Найдем сумму первых 10 членов арифметической серии 3, 7, 11, 15...

Здесь, a = 3 и d = 4.

Сначала найдите 10-й член:

L = a + (n − 1) × d = 3 + (10 − 1) × 4 = 3 + 36 = 39

Теперь используйте формулу суммы:

S 10 = 10/2 × (3 + 39)

S 10 = 5 × 42 = 210

Следовательно, сумма первых 10 членов равна 210.

Пример 3: АП с отрицательной разностью

Рассмотрим арифметическую прогрессию, где a = 20, d = -3, и n = 6.

Последовательность: 20, 17, 14, 11, 8, 5.

Вычислите общие суммы:

S 6 = 6/2 × (2 × 20 + (6 - 1) × (-3))

S 6 = 3 × (40 – 15)

S 6 = 3 × 25 = 75

Таким образом, сумма первых 6 членов равна 75.

Обобщение

Формула S n = n/2 × (2a + (n - 1) × d) универсально применима ко всем арифметическим прогрессиям — независимо от того, является ли разность положительной, отрицательной или равной нулю.

Математические исследования

Этот метод сложения членов арифметической прогрессии иллюстрирует важную концепцию: равновесие увеличивающихся и уменьшающихся чисел для получения общего результата. В арифметических прогрессиях это происходит благодаря тому, что прогрессивное добавление разности создаёт симметричную операцию с обоих концов прогрессии.

Практическое применение

Понимание суммы арифметической прогрессии полезно в реальных жизненных ситуациях, которые развиваются линейным образом, например, при расчёте общей суммы равномерно распределённых взносов или оценке суммы накоплений за определённый период времени.

комментарии