10º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propriedades dos Números Reais  1.1.2. Números racionais e irracionais  1.1.3. Representação decimal de números reais  1.1.4. Operações com números reais  1.1.5. Números reais na reta numérica  1.2. O lema da divisão de Euclides  1.3. Fatoração de números primos  1.4. Compreendendo o MMC e o MDC em sistemas numéricos  1.5. Expoentes e Radicais  1.5.1. Leis dos expoentes  1.5.2. Simplificação de expressões básicas  1.5.3. Notação científica
  2. Compreendendo Algebra  2.1. Polinômios  2.1.1. Definição e tipos de polinômios  2.1.2. Grau de um polinômio  2.1.3. Zeros de um polinômio  2.1.4. Fatoração de polinômios  2.1.5. Identidades algébricas  2.2. Equações lineares em duas variáveis  2.2.1. Gráficos de equações lineares  2.2.2. Soluções de equações lineares  2.2.3. Aplicação de equações lineares em problemas de palavras  2.3. Entendendo Equações Quadráticas  2.3.1. Forma padrão de equação quadrática  2.3.2. Métodos para resolver equações quadráticas  2.3.2.1. Método de fatoração  2.3.2.2. Método de completar o quadrado  2.3.2.3. Fórmula quadrática  2.3.3. Compreendendo a natureza das raízes em equações quadráticas  2.4. Entendendo progressões aritméticas  2.4.1. Definição de progressão aritmética  2.4.2. Termo geral da Progressão Aritmética (PA)  2.4.3. A soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética  2.5. Introdução às funções  2.5.1. Definição e tipos de funções  2.5.2. Domínio e imagem  2.5.3. Estrutura dos trabalhos  2.5.4. Inverso de uma função
  3. Geometria coordenada  3.1. Introdução ao sistema cartesiano em geometria coordenada  3.2. Fórmula da distância  3.3. Fórmula da seção  3.4. Área de um triângulo  3.5. Inclinação da linha  3.6. Equação de uma linha em geometria coordenada  3.6.1. Forma de inclinação-interceptação  3.6.2. Introdução à forma ponto-inclinação  3.6.3. Forma de dois pontos  3.6.4. Forma de interceptação  3.6.5. Forma geral da linha
  4. Trigonometria  4.1. Razões trigonométricas  4.1.1. Sen, cosseno, tangente e seus inversos  4.1.2. Compreendendo os valores das razões trigonométricas em ângulos específicos  4.2. Identidades Trigonométricas  4.3. Relações trigonométricas de ângulos complementares  4.4. Alturas e distâncias  4.4.1. Compreendendo ângulos de elevação e depressão  4.4.2. Aplicações em problemas da vida real
  5. Geometria  5.1. Triângulo  5.1.1. Congruência de triângulos  5.1.2. Critérios de conformidade  5.1.3. Propriedades dos triângulos  5.2. Compreendendo similaridade na geometria  5.2.1. Compreendendo formas semelhantes na geometria  5.2.2. Critérios de semelhança  5.2.3. Similaridade de triângulos  5.2.4. Aplicações do paralelismo na vida real  5.3. Compreendendo círculos na geometria  5.3.1. Propriedades do círculo  5.3.2. Tangente a um círculo  5.3.3. Número de tangentes a partir de um ponto  5.3.4. Ângulo subtendido pelo arco  5.4. Construções em geometria  5.4.1. Construção de triângulos semelhantes  5.4.2. Tangente a um círculo  5.4.3. Construção de uma bissetriz de ângulo
  6. Mensuração  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de um Triângulo  6.1.2. Compreendendo a área de um paralelogramo  6.1.3. Área do trapézio  6.1.4. Compreendendo a área de um losango  6.2. Área de superfície e volume  6.2.1. Área de superfície de cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.2. Área de superfície do cone e esfera  6.2.3. Volume de um cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.4. Volume de cone e esfera  6.3. Conversão de unidades  6.4. Tronco de cone
  7. Figuras  7.1. Introdução à estatística  7.2. Coleta de dados  7.3. Apresentação de dados  7.3.1. Forma Tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: Uma ferramenta para representação gráfica em estatística  7.3.2.3. Polígono de frequência  7.3.2.4. Ogiva  7.4. Medidas de tendência central  7.4.1. Média, mediana e moda  7.4.2. Compreendendo Quartis e Percentis  7.5. Medidas de dispersão  7.5.1. Alcance e intervalo interquartil  7.5.2. Desvio Padrão e Variância
  8. Possibilidade  8.1. Introdução à Probabilidade  8.2. Probabilidade experimental  8.3. Probabilidade teórica  8.4. Probabilidade de eventos simples  8.5. Programas Complementares  8.6. Probabilidade de eventos mistos

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A soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética


Uma Progressão Aritmética (PA) é uma sequência de números onde a diferença entre quaisquer dois membros sucessivos é constante. Essa diferença constante, geralmente representada pela letra d, é chamada de diferença comum.

Por exemplo, a sequência 2, 4, 6, 8, 10 é uma progressão aritmética porque a diferença entre os termos sucessivos é sempre 2. Outra sequência é 5, 10, 15, 20, onde a diferença comum é 5.

Elementos da progressão aritmética

A progressão aritmética é representada como:

A, A+D, A+2D, A+3D, ..., A+(n-1)D
  • a é o primeiro termo.
  • d é a diferença comum.
  • n é o número de termos.

A soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética

Para encontrar a soma dos primeiros n termos de uma PA, usamos a seguinte fórmula:

S n = n/2 × (2a + (n − 1) × d)

ou equivalente

S n = n/2 × (a + l)

Onde:

  • S n é a soma dos primeiros n termos.
  • l é o último termo da sequência. Assim, l = a + (n-1) × d.

Derivação da fórmula

Vamos derivar essa fórmula com uma interpretação lógica simples. Considere uma sequência de n termos:

a, (a + d), (a + 2d), ..., [a + (n - 1)d]

Agora, se escrevermos a sequência em ordem inversa:

[a + (n - 1)d], [a + (n - 2)d], ..., (a + d), a

Somando essas sequências termo a termo, obtemos os pares:

(a + [a + (n - 1)d]), ((a + d) + [a + (n - 2)d]), ..., ([a + (n - 1)d] + a)

Cada par tem a mesma soma:

2a + (n - 1)d

Há n desses pares, então o total se torna:

n × [(2a + (n – 1)d) / 2] = n/2 × (2a + (n – 1)d)

Exemplo 1

Considere a sequência 2, 5, 8, 11, 14. Encontre a soma desses primeiros 5 termos.

Aqui, a = 2, d = 3 e n = 5.

S 5 = 5/2 × (2 × 2 + (5 - 1) × 3)
S 5 = 5/2 × (4 + 12)
S 5 = 5/2 × 16 = 5 × 8 = 40

Assim, a soma dos primeiros 5 termos é 40.

Exemplo visual

2 5 8 11 14

Exemplo 2

Vamos encontrar a soma dos primeiros 10 termos da série aritmética 3, 7, 11, 15...

Aqui, a = 3 e d = 4.

Primeiro, encontre o 10º termo:

L = a + (n − 1) × d = 3 + (10 − 1) × 4 = 3 + 36 = 39

Agora, use a fórmula de soma:

S 10 = 10/2 × (3 + 39)
S 10 = 5 × 42 = 210

Portanto, a soma dos primeiros 10 termos é 210.

Exemplo 3: PA com diferença negativa

Considere uma progressão aritmética onde a = 20, d = -3 e n = 6.

Sequência: 20, 17, 14, 11, 8, 5.

Calcule os totais:

S 6 = 6/2 × (2 × 20 + (6 - 1) × (-3))
S 6 = 3 × (40 – 15)
S 6 = 3 × 25 = 75

Assim, a soma dos primeiros 6 termos é 75.

Generalização

A fórmula S n = n/2 × (2a + (n - 1) × d) é universalmente aplicável a todas as progressões aritméticas - independentemente de a diferença comum ser positiva, negativa ou zero.

Explorações matemáticas

Esse método de adicionar termos em uma progressão aritmética ilustra um conceito importante: o equilíbrio dos números crescentes e decrescentes para obter um total. Em progressões aritméticas, isso ocorre porque a adição progressiva da diferença comum cria uma operação simétrica a partir de ambas as extremidades da progressão.

Aplicações práticas

Compreender a soma de uma progressão aritmética é útil na vida real, onde situações prosseguem de maneira linear, como calcular o montante total de parcelas igualmente espaçadas ou estimar o montante de poupança ao longo de um período de tempo.


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