等差数列の最初の n 項の和
等差数列（AP）は、連続する任意の2つのメンバーの差が一定である数列です。この一定の差を共通差と呼び、通常、文字dで表されます。
例えば、数列2, 4, 6, 8, 10は等差数列です。なぜなら、連続する項の差が常に2だからです。他の例として5, 10, 15, 20という数列があり、この場合の共通差は5です。
等差数列の要素
等差数列は次のように表されます:
A, A+D, A+2D, A+3D, ..., A+(n-1)D
aは最初の項です。dは共通差です。nは項の数です。
等差数列の最初の n 項の和
APの最初のn項の和を求めるには、次の式を使用します:
S n = n/2 × (2a + (n − 1) × d)
または同等に
S n = n/2 × (a + l)
ここで:
S nは最初のn項の和です。lは数列の最後の項です。したがって、l = a + (n-1) × dです。
式の導出
簡単な論理的な解釈を用いてこの式を導出しましょう。n項の数列を考えます:
a, (a + d), (a + 2d), ..., [a + (n - 1)d]
次に、この数列を逆順に書きます:
[a + (n - 1)d], [a + (n - 2)d], ..., (a + d), a
これらの数列を項ごとに足し合わせると、対が得られます:
(a + [a + (n - 1)d]), ((a + d) + [a + (n - 2)d]), ..., ([a + (n - 1)d] + a)
各対は同じ和を持っています:
2a + (n - 1)d
n個のそのような対があるため、総計は次のようになります:
n × [(2a + (n – 1)d) / 2] = n/2 × (2a + (n – 1)d)
例1
数列2, 5, 8, 11, 14を考え、この最初の5項の和を求めます。
ここで、a = 2、d = 3、n = 5です。
S 5 = 5/2 × (2 × 2 + (5 - 1) × 3)
S 5 = 5/2 × (4 + 12)
S 5 = 5/2 × 16 = 5 × 8 = 40
したがって、最初の5項の和は40です。
視覚的な例
例2
数列3, 7, 11, 15...の最初の10項の和を求めます。
ここで、a = 3で、d = 4です。
まず、10番目の項を求めます:
L = a + (n − 1) × d = 3 + (10 − 1) × 4 = 3 + 36 = 39
次に和の式を使用します:
S 10 = 10/2 × (3 + 39)
S 10 = 5 × 42 = 210
したがって、最初の10項の和は210です。
例3: 負の差のある等差数列
等差数列a = 20、d = -3、n = 6を考えます。
数列: 20, 17, 14, 11, 8, 5。
総和を計算します:
S 6 = 6/2 × (2 × 20 + (6 - 1) × (-3))
S 6 = 3 × (40 – 15)
S 6 = 3 × 25 = 75
したがって、最初の6項の和は75です。
一般化
式S n = n/2 × (2a + (n - 1) × d)は、共通差が正、負、またはゼロであるすべての等差数列に普遍的に適用可能です。
数学的な探求
等差数列の項を加えるこの方法は重要な概念を示しています。増加および減少する数をバランスして合計を得るということです。等差数列では、共通差の順次加算が数列の両端からの対称的な操作を作り出します。
実用的な応用
等差数列の和を理解することは、線形に進む状況、たとえば、等間隔の分割払いの合計を計算したり、一定期間の貯金額を見積もったりする際に役立ちます。
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