पहली n पदों के योग का अंकगणितीय प्रगति

एक अंकगणितीय प्रगति (AP) संख्याओं का एक अनुक्रम है जिसमें किसी दो उत्तरवर्ती पदों के बीच का अंतर एक स्थिर होता है। इस स्थिर अंतर, जिसे आमतौर पर अक्षर d द्वारा दर्शाया जाता है, को सामान्य अंतर कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, अनुक्रम 2, 4, 6, 8, 10 एक अंकगणितीय प्रगति है क्योंकि उत्तरवर्ती पदों के बीच का अंतर हमेशा 2 होता है। एक अन्य अनुक्रम है 5, 10, 15, 20, जहाँ सामान्य अंतर 5 है।

अंकगणितीय प्रगति के तत्व

अंकगणितीय प्रगति को निम्नलिखित रूप से दर्शाया गया है:

A, A+D, A+2D, A+3D, ..., A+(n-1)D

• a पहला पद है।
• d सामान्य अंतर है।
• n पदों की संख्या है।

अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों का योग

AP के पहले n पदों का योग प्राप्त करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का प्रयोग करते हैं:

S n = n/2 × (2a + (n − 1) × d)

या समान रूप से

S n = n/2 × (a + l)

जहां:

• S n पहले n पदों का योग है।
• l अनुक्रम का अंतिम पद है। अत: l = a + (n-1) × d।

सूत्र का व्युत्पादन

आइए एक सरल तार्किक व्याख्या के साथ इस सूत्र का व्युत्पादन करें। एक n पदों का अनुक्रम मानें:

a, (a + d), (a + 2d), ..., [a + (n - 1)d]

अब, यदि हम अनुक्रम को उल्टे क्रम में लिखते हैं:

[a + (n - 1)d], [a + (n - 2)d], ..., (a + d), a

इन अनुक्रमों को पद दर पद जोड़ने पर, हमें जोड़े मिलते हैं:

(a + [a + (n - 1)d]), ((a + d) + [a + (n - 2)d]), ..., ([a + (n - 1)d] + a)

प्रत्येक जोड़े का योग एक जैसा होता है:

2a + (n - 1)d

इस प्रकार के n जोड़े होते हैं, इसलिए कुल योग बनता है:

n × [(2a + (n – 1)d) / 2] = n/2 × (2a + (n – 1)d)

उदाहरण 1

अनुक्रम 2, 5, 8, 11, 14 के पहले 5 पदों का योग प्राप्त करें।

यहां, a = 2, d = 3, और n = 5।

S 5 = 5/2 × (2 × 2 + (5 - 1) × 3)

S 5 = 5/2 × (4 + 12)

S 5 = 5/2 × 16 = 5 × 8 = 40

इस प्रकार, पहले 5 पदों का योग 40 है।

दृश्य उदाहरण

उदाहरण 2

आइए अंकगणितीय सीरीज 3, 7, 11, 15... के पहले 10 पदों का योग प्राप्त करें।

यहां, a = 3 और d = 4।

पहले, 10वां पद ज्ञात करें:

L = a + (n − 1) × d = 3 + (10 − 1) × 4 = 3 + 36 = 39

अब, योग सूत्र का प्रयोग करें:

S 10 = 10/2 × (3 + 39)

S 10 = 5 × 42 = 210

अतः, पहले 10 पदों का योग 210 है।

उदाहरण 3: नकारात्मक अंतर के साथ AP

एक अंकगणितीय प्रगति मानें जहां a = 20, d = -3, और n = 6।

अनुक्रम: 20, 17, 14, 11, 8, 5।

कुल योग निकालें:

S 6 = 6/2 × (2 × 20 + (6 - 1) × (-3))

S 6 = 3 × (40 – 15)

S 6 = 3 × 25 = 75

इस प्रकार, पहले 6 पदों का योग 75 है।

सामान्यीकरण

सूत्र S n = n/2 × (2a + (n - 1) × d) सभी अंकगणितीय प्रगति पर समान रूप से लागू होता है - चाहे सामान्य अंतर सकारात्मक हो, नकारात्मक हो, या शून्य हो।

गणितीय अन्वेषण

अंकगणितीय प्रगति में पदों को जोड़ने की यह विधि एक महत्वपूर्ण अवधारणा को दर्शाती है: एक संतुलन जिसकी वजह से प्रगति के दोनों अंको पर समान कदमों से अधिनियम बनता है।

व्यावहारिक उपयोग

अंकगणितीय प्रगति के योग को समझना वास्तविक जीवन में उपयोगी होता है जहाँ स्थितियाँ सीधी रेखीय रूप में बढ़ती हैं, जैसे समान अंतराल में किस्तों की कुल राशि की गणना करना, या समय अवधि में बचत की राशि का अनुमान लगाना।

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