Grado 10
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propiedades de los Números Reales  1.1.2. Números racionales e irracionales  1.1.3. Representación decimal de números reales  1.1.4. Operaciones con números reales  1.1.5. Números reales en la recta numérica  1.2. El lema de la división de Euclides  1.3. Factorización Prima  1.4. Comprender el MCM y el MCD en los sistemas numéricos  1.5. Exponentes y Radicales  1.5.1. Leyes de los exponentes  1.5.2. Simplificación de expresiones básicas  1.5.3. Notación científica
  2. Entendiendo el álgebra  2.1. Polinomios  2.1.1. Definición y tipos de polinomios  2.1.2. Grado de un polinomio  2.1.3. Ceros de un polinomio  2.1.4. Factorización de polinomios  2.1.5. Identidades algebraicas  2.2. Ecuaciones lineales en dos variables  2.2.1. Gráficas de ecuaciones lineales  2.2.2. Soluciones de ecuaciones lineales  2.2.3. Aplicación de ecuaciones lineales en problemas de palabras  2.3. Comprendiendo las ecuaciones cuadráticas  2.3.1. Forma estándar de la ecuación cuadrática  2.3.2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas  2.3.2.1. Método de factorización  2.3.2.2. Método de completar el cuadrado  2.3.2.3. Fórmula cuadrática  2.3.3. Comprendiendo la naturaleza de las raíces en las ecuaciones cuadráticas  2.4. Comprendiendo las progresiones aritméticas  2.4.1. Definición de progresión aritmética  2.4.2. Término general de la progresión aritmética (PA)  2.4.3. La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética  2.5. Introducción a las funciones  2.5.1. Definición y tipos de funciones  2.5.2. Dominio y rango  2.5.3. Estructura de los trabajos  2.5.4. Inverso de una función
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Introducción al sistema cartesiano en geometría de coordenadas  3.2. Fórmula de distancia  3.3. Fórmula de la sección  3.4. Área de un triángulo  3.5. Pendiente de la línea  3.6. Ecuación de una línea en geometría coordinada  3.6.1. Forma de pendiente-intersección  3.6.2. Introducción a la forma punto-pendiente  3.6.3. Forma de dos puntos  3.6.4. Forma de intersección  3.6.5. Forma general de la línea
  4. Trigonometría  4.1. Relaciones trigonométricas  4.1.1. Seno, coseno, tangente y sus inversos  4.1.2. Comprender los valores de las razones trigonométricas en ángulos específicos  4.2. Identidades trigonométricas  4.3. Relaciones trigonométricas de ángulos complementarios  4.4. Alturas y distancias  4.4.1. Comprender los ángulos de elevación y depresión  4.4.2. Aplicaciones en problemas de la vida real
  5. Geometría  5.1. Triángulo  5.1.1. Congruencia de triángulos  5.1.2. Criterios de conformidad  5.1.3. Propiedades de los triángulos  5.2. Entendiendo la similitud en geometría  5.2.1. Entendiendo formas similares en geometría  5.2.2. Criterios de similitud  5.2.3. Similitud de triángulos  5.2.4. Aplicaciones del paralelismo en la vida real  5.3. Comprensión de los círculos en geometría  5.3.1. Propiedades del círculo  5.3.2. Tangente a un círculo  5.3.3. Número de tangentes desde un punto  5.3.4. Ángulo subtendido por el arco  5.4. Construcciones en geometría  5.4.1. Construcción de triángulos similares  5.4.2. Tangente a un círculo  5.4.3. Construcción de una bisectriz de ángulo
  6. Mensuración  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de un Triángulo  6.1.2. Comprendiendo el área de un paralelogramo  6.1.3. Área del trapecio  6.1.4. Comprendiendo el área de un rombo  6.2. Área de superficie y volumen  6.2.1. Área superficial de cubo, cuboide y cilindro  6.2.2. Área de superficie de cono y esfera  6.2.3. Volumen de un cubo, un cuboide y un cilindro  6.2.4. Volumen de cono y esfera  6.3. Conversión de unidades  6.4. Tronco de un cono
  7. Figuras  7.1. Introducción a la estadística  7.2. Colección de datos  7.3. Presentación de datos  7.3.1. Forma tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: una herramienta para la representación gráfica en estadísticas  7.3.2.3. Polígono de frecuencias  7.3.2.4. Ojiva  7.4. Medidas de tendencia central  7.4.1. Media, mediana y moda  7.4.2. Comprendiendo cuartiles y percentiles  7.5. Medidas de dispersión  7.5.1. Rango y rango intercuartil  7.5.2. Desviación estándar y varianza
  8. Posibilidad  8.1. Introducción a la Probabilidad  8.2. Probabilidad experimental  8.3. Probabilidad teórica  8.4. Probabilidad de eventos simples  8.5. Programas complementarios  8.6. Probabilidad de eventos mixtos

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La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética


Una Progresión Aritmética (PA) es una secuencia de números donde la diferencia entre dos miembros sucesivos es constante. Esta diferencia constante, usualmente representada por la letra d, se llama diferencia común.

Por ejemplo, la secuencia 2, 4, 6, 8, 10 es una progresión aritmética porque la diferencia entre términos sucesivos es siempre 2. Otra secuencia es 5, 10, 15, 20, donde la diferencia común es 5.

Elementos de la progresión aritmética

La progresión aritmética se representa como:

A, A+D, A+2D, A+3D, ..., A+(n-1)D
  • a es el primer término.
  • d es la diferencia común.
  • n es el número de términos.

La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética

Para encontrar la suma de los primeros n términos de una PA, usamos la siguiente fórmula:

S n = n/2 × (2a + (n − 1) × d)

o equivalente

S n = n/2 × (a + l)

Dónde:

  • S n es la suma de los primeros n términos.
  • l es el último término de la secuencia. Así, l = a + (n-1) × d.

Derivación de la fórmula

Vamos a derivar esta fórmula con una simple interpretación lógica. Consideremos una secuencia de n términos:

a, (a + d), (a + 2d), ..., [a + (n - 1)d]

Ahora, si escribimos la secuencia en orden inverso:

[a + (n - 1)d], [a + (n - 2)d], ..., (a + d), a

Sumando estas secuencias término a término, obtenemos los pares:

(a + [a + (n - 1)d]), ((a + d) + [a + (n - 2)d]), ..., ([a + (n - 1)d] + a)

Cada par tiene la misma suma:

2a + (n - 1)d

Hay n de estos pares, entonces el total se convierte en:

n × [(2a + (n – 1)d) / 2] = n/2 × (2a + (n – 1)d)

Ejemplo 1

Consideremos la secuencia 2, 5, 8, 11, 14. Encuentra la suma de estos primeros 5 términos.

Aquí, a = 2, d = 3, y n = 5.

S 5 = 5/2 × (2 × 2 + (5 - 1) × 3)
S 5 = 5/2 × (4 + 12)
S 5 = 5/2 × 16 = 5 × 8 = 40

Por lo tanto, la suma de los primeros 5 términos es 40.

Ejemplo visual

2 5 8 11 14

Ejemplo 2

Vamos a encontrar la suma de los primeros 10 términos de la serie aritmética 3, 7, 11, 15...

Aquí, a = 3 y d = 4.

Primero, encuentra el 10mo término:

L = a + (n − 1) × d = 3 + (10 − 1) × 4 = 3 + 36 = 39

Ahora usa la fórmula de la suma:

S 10 = 10/2 × (3 + 39)
S 10 = 5 × 42 = 210

Por lo tanto, la suma de los primeros 10 términos es 210.

Ejemplo 3: PA con diferencia negativa

Considera una progresión aritmética donde a = 20, d = -3, y n = 6.

Secuencia: 20, 17, 14, 11, 8, 5.

Calcula los totales:

S 6 = 6/2 × (2 × 20 + (6 - 1) × (-3))
S 6 = 3 × (40 – 15)
S 6 = 3 × 25 = 75

Por lo tanto, la suma de los primeros 6 términos es 75.

Generalización

La fórmula S n = n/2 × (2a + (n - 1) × d) es universalmente aplicable a todas las progresiones aritméticas, ya sea que la diferencia común sea positiva, negativa o cero.

Exploraciones matemáticas

Este método de sumar términos en una progresión aritmética ilustra un concepto importante: el equilibrio de números crecientes y decrecientes para obtener un total. En las progresiones aritméticas, esto ocurre porque la adición progresiva de la diferencia común crea una operación simétrica desde ambos extremos de la progresión.

Aplicaciones prácticas

Entender la suma de una progresión aritmética es útil en la vida real donde las situaciones proceden de manera lineal, como calcular la cantidad total de cuotas equiespaciadas, o estimar la cantidad de ahorros a lo largo de un período de tiempo.


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La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética

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