Grado 10
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propiedades de los Números Reales  1.1.2. Números racionales e irracionales  1.1.3. Representación decimal de números reales  1.1.4. Operaciones con números reales  1.1.5. Números reales en la recta numérica  1.2. El lema de la división de Euclides  1.3. Factorización Prima  1.4. Comprender el MCM y el MCD en los sistemas numéricos  1.5. Exponentes y Radicales  1.5.1. Leyes de los exponentes  1.5.2. Simplificación de expresiones básicas  1.5.3. Notación científica
  2. Entendiendo el álgebra  2.1. Polinomios  2.1.1. Definición y tipos de polinomios  2.1.2. Grado de un polinomio  2.1.3. Ceros de un polinomio  2.1.4. Factorización de polinomios  2.1.5. Identidades algebraicas  2.2. Ecuaciones lineales en dos variables  2.2.1. Gráficas de ecuaciones lineales  2.2.2. Soluciones de ecuaciones lineales  2.2.3. Aplicación de ecuaciones lineales en problemas de palabras  2.3. Comprendiendo las ecuaciones cuadráticas  2.3.1. Forma estándar de la ecuación cuadrática  2.3.2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas  2.3.2.1. Método de factorización  2.3.2.2. Método de completar el cuadrado  2.3.2.3. Fórmula cuadrática  2.3.3. Comprendiendo la naturaleza de las raíces en las ecuaciones cuadráticas  2.4. Comprendiendo las progresiones aritméticas  2.4.1. Definición de progresión aritmética  2.4.2. Término general de la progresión aritmética (PA)  2.4.3. La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética  2.5. Introducción a las funciones  2.5.1. Definición y tipos de funciones  2.5.2. Dominio y rango  2.5.3. Estructura de los trabajos  2.5.4. Inverso de una función
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Introducción al sistema cartesiano en geometría de coordenadas  3.2. Fórmula de distancia  3.3. Fórmula de la sección  3.4. Área de un triángulo  3.5. Pendiente de la línea  3.6. Ecuación de una línea en geometría coordinada  3.6.1. Forma de pendiente-intersección  3.6.2. Introducción a la forma punto-pendiente  3.6.3. Forma de dos puntos  3.6.4. Forma de intersección  3.6.5. Forma general de la línea
  4. Trigonometría  4.1. Relaciones trigonométricas  4.1.1. Seno, coseno, tangente y sus inversos  4.1.2. Comprender los valores de las razones trigonométricas en ángulos específicos  4.2. Identidades trigonométricas  4.3. Relaciones trigonométricas de ángulos complementarios  4.4. Alturas y distancias  4.4.1. Comprender los ángulos de elevación y depresión  4.4.2. Aplicaciones en problemas de la vida real
  5. Geometría  5.1. Triángulo  5.1.1. Congruencia de triángulos  5.1.2. Criterios de conformidad  5.1.3. Propiedades de los triángulos  5.2. Entendiendo la similitud en geometría  5.2.1. Entendiendo formas similares en geometría  5.2.2. Criterios de similitud  5.2.3. Similitud de triángulos  5.2.4. Aplicaciones del paralelismo en la vida real  5.3. Comprensión de los círculos en geometría  5.3.1. Propiedades del círculo  5.3.2. Tangente a un círculo  5.3.3. Número de tangentes desde un punto  5.3.4. Ángulo subtendido por el arco  5.4. Construcciones en geometría  5.4.1. Construcción de triángulos similares  5.4.2. Tangente a un círculo  5.4.3. Construcción de una bisectriz de ángulo
  6. Mensuración  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de un Triángulo  6.1.2. Comprendiendo el área de un paralelogramo  6.1.3. Área del trapecio  6.1.4. Comprendiendo el área de un rombo  6.2. Área de superficie y volumen  6.2.1. Área superficial de cubo, cuboide y cilindro  6.2.2. Área de superficie de cono y esfera  6.2.3. Volumen de un cubo, un cuboide y un cilindro  6.2.4. Volumen de cono y esfera  6.3. Conversión de unidades  6.4. Tronco de un cono
  7. Figuras  7.1. Introducción a la estadística  7.2. Colección de datos  7.3. Presentación de datos  7.3.1. Forma tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: una herramienta para la representación gráfica en estadísticas  7.3.2.3. Polígono de frecuencias  7.3.2.4. Ojiva  7.4. Medidas de tendencia central  7.4.1. Media, mediana y moda  7.4.2. Comprendiendo cuartiles y percentiles  7.5. Medidas de dispersión  7.5.1. Rango y rango intercuartil  7.5.2. Desviación estándar y varianza
  8. Posibilidad  8.1. Introducción a la Probabilidad  8.2. Probabilidad experimental  8.3. Probabilidad teórica  8.4. Probabilidad de eventos simples  8.5. Programas complementarios  8.6. Probabilidad de eventos mixtos

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Término general de la progresión aritmética (PA)


La progresión aritmética, comúnmente abreviada como PA, es una secuencia de números en la que la diferencia entre dos términos consecutivos permanece constante. Esta diferencia se llama "diferencia común". Es un concepto fundamental en álgebra.

Primero veamos cómo se ve una progresión aritmética:

Considere la serie: 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...

Aquí, la diferencia entre dos términos consecutivos es 2, y por lo tanto, 2 es la diferencia común. Esta serie puede continuar hasta el infinito.

Comprendiendo el término general

En una progresión aritmética, el n-ésimo término de la secuencia se puede definir mediante una fórmula específica. Esto se llama el "término general" de la secuencia, y nos ayuda a encontrar cualquier término de la serie sin listar todos los términos. El término general de una PA se expresa matemáticamente de la siguiente manera:

    T n = a + (n - 1) * d

Aquí:

  • T n es el enésimo término.
  • a es el primer término de la secuencia.
  • n es el número de términos.
  • d es la diferencia común.

Esta fórmula proporciona un método simple para determinar cualquier término de una progresión aritmética sin calcular todos los términos anteriores.

Ejemplo 1: Encontrar el término común

Examinemos la serie 3, 7, 11, 15, 19, ….

  • El primer término es a 3.
  • La diferencia común d es 4.

Podemos sustituir estos valores en nuestra fórmula para obtener el término general:

    T n = 3 + (n - 1) * 4

Al sustituir diferentes valores de n obtendremos diferentes términos en esta secuencia.

Ejemplo 2: Usando la fórmula del término común

Suponga que le piden encontrar el décimo término de la secuencia 5, 8, 11, 14, 17, ...

  • Aquí, a = 5
  • Diferencia común d = 3

Usando la fórmula del término común, podemos calcular el décimo término:

    T 10 = 5 + (10 - 1) * 3
    T 10 = 5 + 9 * 3
    T 10 = 5 + 27
    T 10 = 32

Por lo tanto, el décimo término es 32.

Ejemplo visual

Considere la PA: 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...

    1, 3, 5, 7, 9, 11, ..., t n

Para esta PA:

    a = 1, d = 2

Insertando en la fórmula del término general:

    t n = 1 + (n - 1) * 2

Esto ayuda a calcular cualquier número de términos fácilmente.

Ejemplo 3: Encontrar términos específicos

Suponga que hay una PA: 10, 15, 20, ...

Desea encontrar el decimoquinto término:

  • El primer término es a 10.
  • La diferencia común d es 5.

Use la fórmula del término general:

    T 15 = 10 + (15 - 1) * 5
    T 15 = 10 + 14 * 5
    T 15 = 10 + 70
    T 15 = 80

Por lo tanto, el decimoquinto término es 80.

Ejemplo 4: Comprendiendo series negativas

La progresión aritmética también puede incluir números negativos:

Para la serie: 20, 15, 10, 5, 0, ...

  • El primer término es a 20.
  • Aquí, la diferencia común es d -5.

Queremos encontrar el séptimo término:

    T 7 = 20 + (7 - 1) * (-5)
    T 7 = 20 + 6 * (-5)
    T 7 = 20 – 30
    t 7 = -10

Por lo tanto, el séptimo término es -10.

Aplicaciones comunes en la vida real

Las progresiones aritméticas tienen muchas aplicaciones, desde la arquitectura hasta la economía. Los urbanistas pueden usar las PA al calcular edificios o postes de lámparas espaciados de manera uniforme. Los economistas pueden usarlas para predecir las tasas de crecimiento económico a lo largo de los años sucesivos.

La importancia de comprender la PA

Dominar las progresiones aritméticas le ofrece una herramienta fundamental en matemáticas. Comprender la terminología general permite a estudiantes, profesionales y entusiastas manejar secuencias de manera eficiente sin cálculos repetitivos.

Ejemplo 5: Grandes números de término

Trabajemos con valores más grandes de n. Para la PA, 6, 12, 18, 24, ..., vamos a encontrar el quincuagésimo término.

  • a = 6
  • d = 6

Uso de la fórmula:

    T 50 = 6 + (50 - 1) * 6
    T 50 = 6 + 49 * 6
    T 50 = 6 + 294
    T 50 = 300

Por lo tanto, el quincuagésimo término es 300.

Desventajas del cálculo práctico

Si bien puede calcular en papel borrador para números pequeños, los números grandes en una PA se vuelven rápidamente engorrosos. Los cálculos automatizados o las fórmulas pueden facilitar mucho la tarea.

Conclusión

Los términos comunes en las progresiones aritméticas son una herramienta matemática versátil y eficiente utilizada para predecir futuros términos de la secuencia sin la derivación paso a paso de cada término. Educativamente, forma un puente hacia teorías matemáticas más amplias, mejorando las habilidades lógicas de resolución de problemas y análisis.

A medida que continúe practicando y explorando, la aplicación y simplicidad de encontrar términos en progresiones aritméticas se convertirá en algo natural para usted y será útil en una variedad de temas matemáticos y más allá.


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