Grado 10
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propiedades de los Números Reales  1.1.2. Números racionales e irracionales  1.1.3. Representación decimal de números reales  1.1.4. Operaciones con números reales  1.1.5. Números reales en la recta numérica  1.2. El lema de la división de Euclides  1.3. Factorización Prima  1.4. Comprender el MCM y el MCD en los sistemas numéricos  1.5. Exponentes y Radicales  1.5.1. Leyes de los exponentes  1.5.2. Simplificación de expresiones básicas  1.5.3. Notación científica
  2. Entendiendo el álgebra  2.1. Polinomios  2.1.1. Definición y tipos de polinomios  2.1.2. Grado de un polinomio  2.1.3. Ceros de un polinomio  2.1.4. Factorización de polinomios  2.1.5. Identidades algebraicas  2.2. Ecuaciones lineales en dos variables  2.2.1. Gráficas de ecuaciones lineales  2.2.2. Soluciones de ecuaciones lineales  2.2.3. Aplicación de ecuaciones lineales en problemas de palabras  2.3. Comprendiendo las ecuaciones cuadráticas  2.3.1. Forma estándar de la ecuación cuadrática  2.3.2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas  2.3.2.1. Método de factorización  2.3.2.2. Método de completar el cuadrado  2.3.2.3. Fórmula cuadrática  2.3.3. Comprendiendo la naturaleza de las raíces en las ecuaciones cuadráticas  2.4. Comprendiendo las progresiones aritméticas  2.4.1. Definición de progresión aritmética  2.4.2. Término general de la progresión aritmética (PA)  2.4.3. La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética  2.5. Introducción a las funciones  2.5.1. Definición y tipos de funciones  2.5.2. Dominio y rango  2.5.3. Estructura de los trabajos  2.5.4. Inverso de una función
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Introducción al sistema cartesiano en geometría de coordenadas  3.2. Fórmula de distancia  3.3. Fórmula de la sección  3.4. Área de un triángulo  3.5. Pendiente de la línea  3.6. Ecuación de una línea en geometría coordinada  3.6.1. Forma de pendiente-intersección  3.6.2. Introducción a la forma punto-pendiente  3.6.3. Forma de dos puntos  3.6.4. Forma de intersección  3.6.5. Forma general de la línea
  4. Trigonometría  4.1. Relaciones trigonométricas  4.1.1. Seno, coseno, tangente y sus inversos  4.1.2. Comprender los valores de las razones trigonométricas en ángulos específicos  4.2. Identidades trigonométricas  4.3. Relaciones trigonométricas de ángulos complementarios  4.4. Alturas y distancias  4.4.1. Comprender los ángulos de elevación y depresión  4.4.2. Aplicaciones en problemas de la vida real
  5. Geometría  5.1. Triángulo  5.1.1. Congruencia de triángulos  5.1.2. Criterios de conformidad  5.1.3. Propiedades de los triángulos  5.2. Entendiendo la similitud en geometría  5.2.1. Entendiendo formas similares en geometría  5.2.2. Criterios de similitud  5.2.3. Similitud de triángulos  5.2.4. Aplicaciones del paralelismo en la vida real  5.3. Comprensión de los círculos en geometría  5.3.1. Propiedades del círculo  5.3.2. Tangente a un círculo  5.3.3. Número de tangentes desde un punto  5.3.4. Ángulo subtendido por el arco  5.4. Construcciones en geometría  5.4.1. Construcción de triángulos similares  5.4.2. Tangente a un círculo  5.4.3. Construcción de una bisectriz de ángulo
  6. Mensuración  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de un Triángulo  6.1.2. Comprendiendo el área de un paralelogramo  6.1.3. Área del trapecio  6.1.4. Comprendiendo el área de un rombo  6.2. Área de superficie y volumen  6.2.1. Área superficial de cubo, cuboide y cilindro  6.2.2. Área de superficie de cono y esfera  6.2.3. Volumen de un cubo, un cuboide y un cilindro  6.2.4. Volumen de cono y esfera  6.3. Conversión de unidades  6.4. Tronco de un cono
  7. Figuras  7.1. Introducción a la estadística  7.2. Colección de datos  7.3. Presentación de datos  7.3.1. Forma tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: una herramienta para la representación gráfica en estadísticas  7.3.2.3. Polígono de frecuencias  7.3.2.4. Ojiva  7.4. Medidas de tendencia central  7.4.1. Media, mediana y moda  7.4.2. Comprendiendo cuartiles y percentiles  7.5. Medidas de dispersión  7.5.1. Rango y rango intercuartil  7.5.2. Desviación estándar y varianza
  8. Posibilidad  8.1. Introducción a la Probabilidad  8.2. Probabilidad experimental  8.3. Probabilidad teórica  8.4. Probabilidad de eventos simples  8.5. Programas complementarios  8.6. Probabilidad de eventos mixtos

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Definición de progresión aritmética


Una progresión aritmética (AP) es una secuencia de números en la que la diferencia entre dos números consecutivos (términos) es constante. Esta diferencia fija se conoce como la "diferencia común". Comprenderla nos permite explorar varias propiedades y características de este tipo de secuencia en matemáticas.

Comprendiendo los términos

Desglosaremos los componentes de una progresión aritmética. Primero, tenemos:

  • Primer término (a): Es el número inicial desde el cual comienza la secuencia.
  • Diferencia común (d): Es la diferencia que se suma a cada término para llegar al siguiente término en la secuencia.
  • n-ésimo término (Tn): El n-ésimo término de una secuencia aritmética se puede encontrar usando la siguiente fórmula:
tn = a + (n - 1) * d

Ejemplo de progresión aritmética

Para entender mejor la progresión aritmética, consideremos un ejemplo simple:

Imagina que tenemos esta secuencia: 3, 6, 9, 12, 15,...

  • Aquí, el primer término es (a) 3.
  • La diferencia común (d) es 3, ya que cada número es 3 unidades más que el número anterior (6 - 3 = 3, 9 - 6 = 3, y así sucesivamente).

Así, la secuencia se puede definir como:

tn = 3 + (n - 1) * 3

Ahora, si queremos encontrar el 5º término en la secuencia, sustituimos 5 por n:

T5 = 3 + (5 - 1) * 3
   = 3 + 4 * 3
   = 3 + 12
   = 15

Por lo tanto, el 5º término es 15, lo que confirma la secuencia que escribimos al principio.

Comprensión visual

Para visualizar esto, considere lo siguiente:

3 6 9 12 15

Estas líneas representan el espacio común entre los números, ayudándonos a ver el crecimiento uniforme de la secuencia.

Más ejemplos

Miremos algunos ejemplos adicionales para profundizar nuestra comprensión:

Ejemplo 1

Considere la secuencia: 10, 15, 20, 25, ...

  • El primer término, a, es 10.
  • Cada término aumenta en 5, por lo que d es 5.

Entonces, la fórmula para el n-ésimo término es:

TN = 10 + (N - 1) * 5

Si queremos encontrar el 7º término:

T7 = 10 + (7 - 1) * 5
   = 10 + 30
   = 40

Por lo tanto, el 7º término es 40.

Ejemplo 2

¿Qué pasa si la secuencia está disminuyendo, como: 20, 17, 14, 11, ...?

  • Aquí, el primer término es a 20.
  • Los términos disminuyen en 3, por lo que d es -3.

La fórmula para el n-ésimo término es:

TN = 20 + (N - 1) * (-3)

Vamos a encontrar el cuarto término:

T4 = 20 + (4 - 1) * (-3)
   = 20 - 9
   = 11

Entonces, como era de esperar, el cuarto término es 11.

Suma de una progresión aritmética

La suma de todos los términos en una progresión aritmética también se puede calcular fácilmente. Esta suma es especialmente útil cuando se quiere sumar un gran número de términos sin tener que hacerlo manualmente.

La fórmula para encontrar la suma de los primeros n términos (Sn) es:

Sn = n/2 * (2a + (n - 1) * d)

Tomemos una secuencia y encontremos su suma:

Considere la secuencia: 5, 10, 15, ..., donde queremos encontrar la suma de los primeros 6 términos.

Usar la fórmula dada:

a = 5
d = 5
N = 6

SN = 6/2 * (2 * 5 + (6 - 1) * 5)
   = 3 * (10 + 25)
   = 3 * 35
   = 105

Por lo tanto, la suma de los primeros 6 términos es 105.

Progresión aritmética en la vida real

Las progresiones aritméticas no son solo constructos teóricos; a menudo ocurren en la vida real. Cualquier situación en la que la tasa de aumento o disminución sea constante puede modelarse utilizando una progresión aritmética.

Un gran ejemplo de esto es el crecimiento de los ahorros. Si una persona ahorra una cierta cantidad cada mes, el total de los ahorros forma una secuencia aritmética, con la suma mensual siendo la diferencia común.

Conclusión

Las progresiones aritméticas sirven como conceptos fundamentales en álgebra y forman la base de aplicaciones más sofisticadas tanto en matemáticas como en sus aplicaciones del mundo real. Al dominar este concepto, obtenemos información sobre diversas progresiones naturales y financieras que abarcan muchos campos de estudio.

La facilidad con que se pueden calcular las progresiones aritméticas las convierte en una herramienta poderosa tanto para estudiantes como para matemáticos, fomentando la exploración adicional de secuencias matemáticas y categorías.


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Definición de progresión aritmética

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