Entendendo Equações Quadráticas

Equações quadráticas são um tipo de equações polinomiais que têm a forma:

ax^2 + bx + c = 0

onde a, b e c são constantes, e x é a variável. A característica mais distintiva de uma equação quadrática é a presença do termo x^2. Equações quadráticas podem representar uma ampla gama de fenômenos do mundo real, incluindo movimento de projéteis, campos e vários problemas de otimização.

Componentes de uma equação quadrática

Vamos dividir a forma geral da equação quadrática ax^2 + bx + c = 0 :

• a é o coeficiente de x^2. Ele determina quão "larga" ou "estreita" é a parábola (o gráfico da equação quadrática).
• b é o coeficiente de x. Ele afeta a posição horizontal do vértice da parábola.
• c é o termo constante. Ele representa o intercepto y da parábola, onde a parábola intercepta o eixo y.

Resolvendo equações quadráticas

Existem várias maneiras de resolver equações quadráticas:

1. Fatoração
2. Usando a fórmula quadrática
3. Completando o quadrado
4. Gráfico

1. Resolvendo por fatoração

A fatoração envolve escrever uma equação quadrática como um produto. Se a equação quadrática pode ser fatorada, ela pode ser resolvida aplicando a propriedade do produto nulo, que afirma que se o produto de duas expressões é zero, então pelo menos uma das expressões deve ser zero.

Exemplo:

x^2 - 5x + 6 = 0

Ao fatorar x^2 - 5x + 6 obtemos:

(x - 2)(x - 3) = 0

Aplicando a propriedade do produto nulo, obtemos:

x - 2 = 0 ou x - 3 = 0

x = 2 ou x = 3

2. Usando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática pode resolver qualquer equação quadrática. A fórmula é dada como:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Este método é confiável para todos os tipos de equações quadráticas. Vamos demonstrar isso com a equação:

2x^2 + 3x - 2 = 0

Aqui, a = 2, b = 3, e c = -2. Substituindo esses valores na fórmula quadrática, obtemos:

x = (-(3) ± √((3)^2 - 4(2)(-2))) / (2(2)) x = (-3 ± √(9 + 16)) / 4 x = (-3 ± √25) / 4 x = (-3 ± 5) / 4

Isso leva às seguintes soluções:

x = (2) / 4 = 0.5 e x = (-8) / 4 = -2

3. Completando o quadrado

Este método envolve transformar a equação quadrática de tal maneira que o lado esquerdo se torne um trinômio quadrado perfeito. Vamos resolver a equação usando este método:

x^2 + 6x + 5 = 0

Primeiro, certifique-se de que o coeficiente de x^2 seja 1. Vamos deixar esta equação de lado por enquanto após movermos o termo constante para o outro lado:

x^2 + 6x = -5

Adicione o quadrado da metade do coeficiente de x em ambos os lados, que é (6/2)^2 = 9 :

x^2 + 6x + 9 = 4

Isso torna um quadrado perfeito:

(x + 3)^2 = 4

Tomando a raiz quadrada de ambos os lados obtemos:

x + 3 = ±2

Resolvendo para x obtemos:

x = -1 x = -5

4. Resolvendo por gráfico

O método gráfico envolve plotar a equação quadrática no plano coordenado. Os pontos onde a parábola intercepta o eixo x são as soluções da equação. Considere a equação:

y = x^2 - 4x + 3

Isto pode ser visto em um diagrama como este:

Os pontos de interseção em x = 1 e x = 3 são as soluções.

Natureza das raízes

As raízes de uma equação quadrática podem ser classificadas com base no discriminante b^2 - 4ac :

• b^2 - 4ac > 0: duas raízes reais distintas
• b^2 - 4ac = 0: exatamente uma raiz real (ou uma raiz repetida)
• b^2 - 4ac < 0: duas raízes complexas

Exemplo de classificação de raízes

Considere:

3x^2 + 2x - 1 = 0

Calcule o discriminante:

b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(3)(-1) = 4 + 12 = 16

Como o discriminante é maior que zero, essa equação quadrática tem duas raízes reais distintas.

Gráfico de uma quadrática - parábola

O gráfico da função quadrática y = ax^2 + bx + c é uma parábola. Características principais incluem:

• Vértice: O ponto mais alto ou mais baixo. Calculado como (-b / 2a, y), onde y é o valor da função em -b / 2a.
• Eixo de simetria: Uma linha vertical passando pelo vértice, dada por x = -b / 2a.
• Direções: Se a > 0, a parábola se abre para cima; se a < 0, ela se abre para baixo.

Exemplo de uma característica de gráfico

Considere a função quadrática:

y = 2x^2 - 4x + 1

Encontre o vértice:

x-coordenada: -(-4)/(2*2) = 1 y-coordenada: 2(1)^2 - 4(1) + 1 = -1

Assim, o vértice está em (1, -1) e a parábola abre para cima. Calcular o vértice ajuda a esboçar o gráfico exato conforme mostrado abaixo:

Aplicações de equações quadráticas

Equações quadráticas aparecem em vários campos, como física, finanças e engenharia. Suas aplicações no mundo real incluem:

• Calcular a área de um terreno com base em suas dimensões.
• Determinar a trajetória de um objeto sob a influência da gravidade.
• Otimizar lucros em negócios encontrando o máximo ou mínimo de funções de custo e receita.

Exemplo em cenário da vida real

Suponha que você lança uma bola para cima, e sua altura h (em metros) a qualquer tempo t (em segundos) segue a equação quadrática:

h = -4.9t^2 + 20t + 1.5

Encontre a altura máxima alcançada pela bola:

A altura máxima ocorre no vértice. Calcule o tempo necessário para atingir o vértice:

t = -20 / (2 * -4.9) ≈ 2.04 sec

Substitua de volta para encontrar a altura máxima:

h = -4.9(2.04)^2 + 20(2.04) + 1.5 ≈ 21.4 m

Conclusão

Equações quadráticas são fundamentais na álgebra e são cruciais para compreender matemática avançada e resolução de problemas do mundo real. Dominar a resolução de equações quadráticas, seja por fatoração, completando o quadrado ou usando a fórmula quadrática, desenvolve uma base matemática sólida.

Comentários