क्वाड्रेटिक समीकरणों की समझ

क्वाड्रेटिक समीकरण एक प्रकार के बहुपद समीकरण होते हैं जिनका रूप होता है:

ax^2 + bx + c = 0

जहां a, b, और c स्थिरांक हैं, और x चर है। क्वाड्रेटिक समीकरण की सबसे विशिष्ट विशेषता x^2 पद की उपस्थिति है। क्वाड्रेटिक समीकरण कुछ वास्तविक दुनिया की घटनाओं, जैसे प्रक्षेप्य गति, क्षेत्र, और कई अनुकूलन समस्याओं का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं।

क्वाड्रेटिक समीकरण के घटक

आइए आम क्वाड्रेटिक समीकरण ax^2 + bx + c = 0 का विघटन करें:

• a x^2 का गुणांक है। यह परवलय (क्वाड्रेटिक समीकरण का ग्राफ) कितना "चौड़ा" या "संकीर्ण" होता है, यह निर्धारित करता है।
• b x का गुणांक है। यह परवलय के शीर्षक के क्षैतिज स्थिति को प्रभावित करता है।
• c स्थिरांक पद है। यह परवलय के y-अक्ष पर काटने के बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है।

क्वाड्रेटिक समीकरणों को हल करना

क्वाड्रेटिक समीकरणों को हल करने के कई तरीके हैं:

1. फैक्टरिंग
2. क्वाड्रेटिक सूत्र का उपयोग करना
3. वर्ग पूरा करना
4. ग्राफिंग

1. फैक्टरिंग द्वारा हल करना

फैक्टरिंग एक क्वाड्रेटिक समीकरण को गुणन के रूप में लिखने में शामिल होता है। यदि क्वाड्रेटिक समीकरण को उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है, तो इसे शून्य उत्पाद संपत्ति लागू करके हल किया जा सकता है, जो यह कहती है कि यदि दो अभिव्यक्तियों का उत्पाद शून्य है, तो उनमें से कम से कम एक अभिव्यक्ति शून्य होना चाहिए।

उदाहरण:

x^2 - 5x + 6 = 0

x^2 - 5x + 6 को फैक्टर करने पर हमें मिलता है:

(x - 2)(x - 3) = 0

शून्य उत्पाद संपत्ति लागू करने पर हमें मिलता है:

x - 2 = 0 या x - 3 = 0

x = 2 या x = 3

2. क्वाड्रेटिक सूत्र का उपयोग करना

क्वाड्रेटिक सूत्र किसी भी क्वाड्रेटिक समीकरण को हल कर सकता है। सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

यह विधि सभी प्रकार के क्वाड्रेटिक समीकरणों के लिए विश्वसनीय है। चलिए इस समीकरण के साथ यह प्रदर्शित करते हैं:

2x^2 + 3x - 2 = 0

यहां, a = 2, b = 3, और c = -2 हैं। क्वाड्रेटिक सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर मिलता है:

x = (-(3) ± √((3)^2 - 4(2)(-2))) / (2(2)) x = (-3 ± √(9 + 16)) / 4 x = (-3 ± √25) / 4 x = (-3 ± 5) / 4

यह निम्नलिखित हल प्रदान करता है:

x = (2) / 4 = 0.5 और x = (-8) / 4 = -2

3. वर्ग पूर्ण करना

यह विधि क्वाड्रेटिक समीकरण को ऐसे परिवर्तित करने में शामिल है जिससे बाईं ओर एक पूर्ण वर्ग त्रिनोमियल बन जाए। चलिए इस विधि का उपयोग करके समीकरण को हल करते हैं:

x^2 + 6x + 5 = 0

पहले सुनिश्चित करें कि x^2 का गुणांक 1 है। हम स्थिरांक पद को दूसरी ओर ले जाकर इस समीकरण को छोड़ देंगे:

x^2 + 6x = -5

दोनों ओर x के गुणांक के एक-आधे के वर्ग को जोड़ें, जो (6/2)^2 = 9 है:

x^2 + 6x + 9 = 4

यह एक पूर्ण वर्ग बनता है:

(x + 3)^2 = 4

दोनों ओर का वर्गमूल लेने पर मिलता है:

x + 3 = ±2

x के लिए हल करने पर मिलता है:

x = -1 x = -5

4. ग्राफिंग द्वारा हल करना

ग्राफिकल विधि में क्वाड्रेटिक समीकरण को समन्वय विमान पर प्लॉट करना शामिल है। जिन बिंदुओं पर परवलय x-अक्ष को काटता है, वे समीकरण के हल होते हैं। इस समीकरण पर विचार करें:

y = x^2 - 4x + 3

यह इस प्रकार की एक डायग्राम में देखा जा सकता है:

x = 1 और x = 3 पर काटने के बिंदु हल होते हैं।

मूलों का स्वभाव

क्वाड्रेटिक समीकरण के मूलों को भेदांक b^2 - 4ac के आधार पर वर्गीकृत किया जा सकता है:

• b^2 - 4ac > 0: दो भिन्न वास्तविक मूल
• b^2 - 4ac = 0: ठीक एक वास्तविक मूल (या एक दोहराया गया मूल)
• b^2 - 4ac < 0: दो जटिल मूल

मूलों के वर्गीकरण का उदाहरण

विचार करें:

3x^2 + 2x - 1 = 0

भेदांक की गणना करें:

b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(3)(-1) = 4 + 12 = 16

चूंकि भेदांक शून्य से अधिक है, इस क्वाड्रेटिक समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।

क्वाड्रेटिक के एक ग्राफ - परवलय

क्वाड्रेटिक फलन y = ax^2 + bx + c का ग्राफ एक परवलय है। प्रमुख विशेषताएँ शामिल हैं:

• शिखर: सबसे ऊंचा या सबसे निचला बिंदु। इसे (-b / 2a, y) के रूप में गणना की जाती है, जहां y -b / 2a पर फ़ंक्शन का मान होता है।
• समरूपता की धुरी: शीर्ष के माध्यम से गुजरने वाली लंबवत रेखा, जिसका दिया गया है x = -b / 2a।
• दिशाएं: यदि a > 0, परवलय ऊपर की ओर खुलता है; अगर a < 0, तो यह नीचे की ओर खुलता है।

ग्राफ विशेषता का उदाहरण

क्वाड्रेटिक फलन पर विचार करें:

y = 2x^2 - 4x + 1

शिखर का पता लगाएं:

x-निर्देशांक: -(-4)/(2*2) = 1 y-निर्देशांक: 2(1)^2 - 4(1) + 1 = -1

इस प्रकार, शिखर (1, -1) पर है और परवलय ऊपर की ओर खुलता है। शिखर की गणना से नीचे दिए गए ग्राफ को स्केच करने में मदद मिलती है:

क्वाड्रेटिक समीकरणों का अनुप्रयोग

क्वाड्रेटिक समीकरण विभिन्न क्षेत्रों में दिखाई देते हैं, जैसे भौतिकी, वित्त, और इंजीनियरिंग। इनके वास्तविक विश्व अनुप्रयोगों में शामिल हैं:

• किसी भूखंड की आयामों के आधार पर इसके क्षेत्रफल की गणना करना।
• गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में किसी वस्तु की प्रक्षेपवक्र का निर्धारण करना।
• कारोबार में लाभ को अनुकूलित करना, लागत और राजस्व फलनों के अधिकतम या न्यूनतम को खोजकर।

वास्तविक जीवन परिदृश्य में उदाहरण

मान लीजिए कि आप एक गेंद को ऊपर की तरफ फेंकते हैं, और इसका ऊंचाई h (मीटर में) किसी भी समय t (सेकंड में) के अनुसार क्वाड्रेटिक समीकरण का पालन करता है:

h = -4.9t^2 + 20t + 1.5

गेंद द्वारा पहुँची गई अधिकतम ऊंचाई का पता लगाएं:

अधिकतम ऊंचाई शिखर पर होती है। शिखर पर पहुंचने का समय निकालें:

t = -20 / (2 * -4.9) ≈ 2.04 सेकंड

अधिकतम ऊंचाई का पता लगाने के लिए वापस स्थानापन्न करें:

h = -4.9(2.04)^2 + 20(2.04) + 1.5 ≈ 21.4 मीटर

निष्कर्ष

क्वाड्रेटिक समीकरण बीजगणित में मौलिक हैं और उच्च गणित और वास्तविक दुनिया की समस्या-समाधान को समझने के लिए महत्वपूर्ण हैं। चाहे फैक्टरिंग द्वारा, वर्ग पूरा करके, या क्वाड्रेटिक सूत्र का उपयोग करते हुए, क्वाड्रेटिक समीकरणों को हल करने में मास्टरी एक मजबूत गणितीय आधार विकसित करती है।

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