Comprendiendo las ecuaciones cuadráticas

Las ecuaciones cuadráticas son un tipo de ecuaciones polinómicas que tienen la forma:

ax^2 + bx + c = 0

donde a, b, y c son constantes, y x es la variable. La característica más distintiva de una ecuación cuadrática es la presencia del término x^2. Las ecuaciones cuadráticas pueden representar una amplia gama de fenómenos del mundo real, incluyendo el movimiento de proyectiles, campos, y varios problemas de optimización.

Componentes de una ecuación cuadrática

Desglosemos la forma general de la ecuación cuadrática ax^2 + bx + c = 0 :

• a es el coeficiente de x^2. Determina qué tan "ancha" o "estrecha" es la parábola (el gráfico de la ecuación cuadrática).
• b es el coeficiente de x. Afecta la posición horizontal del vértice de la parábola.
• c es el término constante. Representa la intersección con el eje y de la parábola, donde la parábola intersecta el eje y.

Resolución de ecuaciones cuadráticas

Hay varias formas de resolver ecuaciones cuadráticas:

1. Factorización
2. Usando la fórmula cuadrática
3. Completación del cuadrado
4. Graficación

1. Resolución por factorización

La factorización implica escribir una ecuación cuadrática como un producto. Si la ecuación cuadrática se puede factorizar, se puede resolver aplicando la propiedad del producto cero, que establece que si el producto de dos expresiones es cero, entonces al menos una de las expresiones debe ser cero.

Ejemplo:

x^2 - 5x + 6 = 0

Al factorizar x^2 - 5x + 6 obtenemos:

(x - 2)(x - 3) = 0

Aplicando la propiedad del producto cero, obtenemos:

x - 2 = 0 o x - 3 = 0

x = 2 o x = 3

2. Usando la fórmula cuadrática

La fórmula cuadrática puede resolver cualquier ecuación cuadrática. La fórmula es:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Este método es confiable para todo tipo de ecuaciones cuadráticas. Vamos a demostrar esto con la ecuación:

2x^2 + 3x - 2 = 0

Aquí, a = 2, b = 3, y c = -2. Sustituyendo estos valores en la fórmula cuadrática se obtiene:

x = (-(3) ± √((3)^2 - 4(2)(-2))) / (2(2)) x = (-3 ± √(9 + 16)) / 4 x = (-3 ± √25) / 4 x = (-3 ± 5) / 4

Esto lleva a las siguientes soluciones:

x = (2) / 4 = 0.5 y x = (-8) / 4 = -2

3. Completación del cuadrado

Este método consiste en transformar la ecuación cuadrática de tal manera que el lado izquierdo se convierta en un trinomio cuadrado perfecto. Resolvamos la ecuación utilizando este método:

x^2 + 6x + 5 = 0

Primero, asegúrese de que el coeficiente de x^2 sea 1. Dejaremos esta ecuación a un lado por ahora después de mover el término constante al otro lado:

x^2 + 6x = -5

Agregue el cuadrado de la mitad del coeficiente de x a ambos lados, que es (6/2)^2 = 9 :

x^2 + 6x + 9 = 4

Esto hace un cuadrado perfecto:

(x + 3)^2 = 4

Tomar la raíz cuadrada de ambos lados da:

x + 3 = ±2

Resolviendo para x da:

x = -1 x = -5

4. Resolución por graficación

El método gráfico consiste en trazar la ecuación cuadrática en el plano de coordenadas. Los puntos donde la parábola intersecta el eje x son las soluciones de la ecuación. Considere la ecuación:

y = x^2 - 4x + 3

Esto se puede ver en un diagrama como este:

Los puntos de intersección en x = 1 y x = 3 son las soluciones.

Naturaleza de las raíces

Las raíces de una ecuación cuadrática se pueden clasificar en función del discriminante b^2 - 4ac :

• b^2 - 4ac > 0: dos raíces reales distintas
• b^2 - 4ac = 0: exactamente una raíz real (o una raíz repetida)
• b^2 - 4ac < 0: dos raíces complejas

Ejemplo de clasificación de raíces

Considere:

3x^2 + 2x - 1 = 0

Calcule el discriminante:

b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(3)(-1) = 4 + 12 = 16

Dado que el discriminante es mayor que cero, esta ecuación cuadrática tiene dos raíces reales distintas.

Graficación de una cuadrática - parábola

El gráfico de la función cuadrática y = ax^2 + bx + c es una parábola. Las características clave incluyen:

• Vértice: El punto más alto o más bajo. Calculado como (-b / 2a, y), donde y es el valor de la función en -b / 2a.
• Eje de simetría: Una línea vertical que pasa por el vértice, dada por x = -b / 2a.
• Direcciones: Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba; si a < 0, se abre hacia abajo.

Ejemplo de una característica del gráfico

Considere la función cuadrática:

y = 2x^2 - 4x + 1

Encuentre el vértice:

coordenada x: -(-4)/(2*2) = 1 coordenada y: 2(1)^2 - 4(1) + 1 = -1

Por lo tanto, el vértice está en (1, -1) y la parábola se abre hacia arriba. Calcular el vértice ayuda a esbozar el gráfico exacto como se muestra a continuación:

Aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas

Las ecuaciones cuadráticas aparecen en una variedad de campos, como física, finanzas e ingeniería. Sus aplicaciones en el mundo real incluyen:

• Calcular el área de una parcela de tierra basándose en sus dimensiones.
• Determinar la trayectoria de un objeto bajo la influencia de la gravedad.
• Optimizar ganancias en negocios encontrando el máximo o mínimo de funciones de costo e ingresos.

Ejemplo en un escenario de la vida real

Suponga que lanza una pelota hacia arriba, y su altura h (en metros) en cualquier momento t (en segundos) sigue la ecuación cuadrática:

h = -4.9t^2 + 20t + 1.5

Encuentre la altura máxima alcanzada por la pelota:

La altura máxima ocurre en el vértice. Calcule el tiempo que toma alcanzar el vértice:

t = -20 / (2 * -4.9) ≈ 2.04 seg

Sustituya de nuevo para encontrar la altura máxima:

h = -4.9(2.04)^2 + 20(2.04) + 1.5 ≈ 21.4 m

Conclusión

Las ecuaciones cuadráticas son fundamentales en álgebra y son cruciales para comprender matemáticas superiores y la resolución de problemas del mundo real. Dominar la resolución de ecuaciones cuadráticas, ya sea por factorización, completación del cuadrado o usando la fórmula cuadrática, desarrolla una base matemática sólida.

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