Класс 10
  1. Системы чисел  1.1. Действительные числа  1.1.1. Свойства вещественных чисел  1.1.2. Рациональные и иррациональные числа  1.1.3. Десятичное представление вещественных чисел  1.1.4. Операции с действительными числами  1.1.5. Действительные числа на числовой прямой  1.2. Лемма Евклида о делении  1.3. Разложение на простые множители  1.4. Понимание НОК и НОД в числовых системах  1.5. Показатели степени и корни  1.5.1. Законы степеней  1.5.2. Упрощение базовых выражений  1.5.3. Научная нотация
  2. Понимание алгебры  2.1. Многочлены  2.1.1. Определение и виды многочленов  2.1.2. Степень многочлена  2.1.3. Нули многочлена  2.1.4. Факторизация многочленов  2.1.5. Алгебраические тождества  2.2. Линейные уравнения с двумя переменными  2.2.1. Графики линейных уравнений  2.2.2. Решения линейных уравнений  2.2.3. Применение линейных уравнений в текстовых задачах  2.3. Понимание квадратных уравнений  2.3.1. Стандартная форма квадратного уравнения  2.3.2. Методы решения квадратных уравнений  2.3.2.1. Метод разложения на множители  2.3.2.2. Метод завершения квадрата  2.3.2.3. Квадратная формула  2.3.3. Понимание природы корней в квадратных уравнениях  2.4. Понимание арифметических прогрессий  2.4.1. Определение арифметической прогрессии  2.4.2. Общий член арифметической прогрессии (АП)  2.4.3. Сумма первых n членов арифметической прогрессии  2.5. Введение в функции  2.5.1. Определение и виды функций  2.5.2. Область определения и область значений  2.5.3. Структура работ  2.5.4. Обратная функция
  3. Координатная геометрия  3.1. Введение в декартову систему в координатной геометрии  3.2. Формула расстояния  3.3. Формула отрезка  3.4. Площадь треугольника  3.5. Наклон линии  3.6. Уравнение прямой в координатной геометрии  3.6.1. Форма уравнения прямой с угловым коэффициентом  3.6.2. Введение в уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту  3.6.3. Форма с двумя точками  3.6.4. Перехватная форма  3.6.5. Общая форма линии
  4. Тригонометрия  4.1. Тригонометрические отношения  4.1.1. Синус, косинус, тангенс и их обратные функции  4.1.2. Понимание значений тригонометрических отношений при определенных углах  4.2. Тригонометрические тождества  4.3. Тригонометрические отношения дополнительного угла  4.4. Высоты и расстояния  4.4.1. Понимание углов возвышения и снижения  4.4.2. Применение в реальных задачах
  5. Геометрия  5.1. Треугольник  5.1.1. Соответствие треугольников  5.1.2. Критерии соответствия  5.1.3. Свойства треугольников  5.2. Понимание подобия в геометрии  5.2.1. Понимание подобных фигур в геометрии  5.2.2. Критерии подобия  5.2.3. Сходство треугольников  5.2.4. Применение параллелизма в реальной жизни  5.3. Понимание окружностей в геометрии  5.3.1. Свойства окружности  5.3.2. Касательная к окружности  5.3.3. Количество касательных из точки  5.3.4. Угол, подстилаемый дугой  5.4. Построения в геометрии  5.4.1. Построение подобных треугольников  5.4.2. Касательная к окружности  5.4.3. Построение биссектрисы угла
  6. Измерение  6.1. Площадь плоских фигур  6.1.1. Площадь треугольника  6.1.2. Понимание площади параллелограмма  6.1.3. Площадь трапеции  6.1.4. Понимание площади ромба  6.2. Площадь поверхности и объем  6.2.1. Площадь поверхности куба, параллелепипеда и цилиндра  6.2.2. Площадь поверхности конуса и сферы  6.2.3. Объем куба, параллелепипеда и цилиндра  6.2.4. Объем конуса и сферы  6.3. Преобразование единиц  6.4. Усеченный конус
  7. Фигуры  7.1. Введение в статистику  7.2. Сбор данных  7.3. Представление данных  7.3.1. Табличная форма  7.3.2. Графическая форма  7.3.2.1. Столбчатая диаграмма  7.3.2.2. Гистограмма: инструмент для графического представления в статистике  7.3.2.3. Полигон частот  7.3.2.4. Огива  7.4. Меры центральной тенденции  7.4.1. Среднее, медиана и мода  7.4.2. Понимание квартилей и процентилей  7.5. Меры изменения  7.5.1. Диапазон и межквартильный размах  7.5.2. Стандартное отклонение и дисперсия
  8. Возможность  8.1. Введение в теорию вероятностей  8.2. Экспериментальная вероятность  8.3. Теоретическая вероятность  8.4. Вероятность простых событий  8.5. Дополнительные программы  8.6. Вероятность смешанных событий

Класс 10 → Понимание алгебры → Понимание квадратных уравнений ↓


Методы решения квадратных уравнений


Квадратные уравнения являются неотъемлемой частью алгебры, обычно преподаваемой в 10 классе математики. Они образуют основу для более продвинутых тем в математике и применяются в различных реальных контекстах, таких как физика, инженерия и финансы. Квадратное уравнение обычно выражается в форме:

ax^2 + bx + c = 0

где a, b и c являются константами, а x представляет собой неизвестную переменную, которую мы хотим решить. Основные методы решения квадратных уравнений следующие:

  1. Факторизация
  2. Завершение квадрата
  3. Использование квадратной формулы
  4. Графический метод

1. Факторизация

Факторизация включает переписывание квадратного выражения в форме, которую можно привести к нулю, что упрощает решение для x. Факторизованная форма квадратичного уравнения выглядит обычно так:

(px + q)(rx + s) = 0

Рассмотрим простой пример:

Пример:

Решите квадратное уравнение x^2 - 5x + 6 = 0 путем факторизации.

Чтобы факторизовать, найдите два числа, которые при умножении дают 6 (постоянный термин, c) и при сложении дают -5 (b, коэффициент x). Числа -2 и -3 удовлетворяют этим условиям:

x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0

Приравнивая каждый множитель к нулю, мы получаем:

x - 2 = 0 или x - 3 = 0

Решая их, получаем решения x = 2 и x = 3.

2. Завершение квадрата

Завершение квадрата превращает квадратное уравнение в идеальный квадратный трехчлен, что упрощает его решение. Этот процесс включает создание квадрата путем добавления и вычитания определенного значения. Давайте рассмотрим этот процесс шаг за шагом:

Пример:

Решите квадратное уравнение x^2 + 6x + 5 = 0 методом завершения квадрата.

  1. Переместите постоянный член на другую сторону: 
    x^2 + 6x = -5
  2. Возьмите половину коэффициента x, возведите в квадрат и добавьте к обеим сторонам: 
    (6/2)^2 = 3^2 = 9
    x^2 + 6x + 9 = -5 + 9
    Упрощение выглядит так: 
    (x + 3)^2 = 4
  3. Возьмите квадратный корень из обеих сторон: 
    x + 3 = ±2
  4. Найдите x: 
    x = -3 ± 2
    5. Это дает нам x = -1 и x = -5.

3. Квадратная формула

Квадратная формула, пожалуй, самый надежный метод для решения любого квадратного уравнения, даже когда факторизация или завершение квадрата затруднены. Формула дана как:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Пример:

Используйте квадратную формулу, чтобы решить уравнение 2x^2 + 4x - 6 = 0.

  1. Определите коэффициенты: 
    a = 2, b = 4, c = -6
  2. Подставьте в формулу: 
    x = (-4 ± √(4^2 - 4(2)(-6))) / (2 * 2)
  3. Упростите внутри квадратного корня: 
    x = (-4 ± √(16 + 48)) / 4
    x = (-4 ± √64) / 4
  4. Вычислите корни: 
    x = (-4 ± 8) / 4
    5. Это приводит к следующим решениям: 
    x = 1 и x = -3

4. Графический метод

Путем построения квадратного уравнения его решения или корни могут быть четко демонстрированы там, где парабола пересекает ось x. Квадратное уравнение обычно построено как y = ax^2 + bx + c. Рассмотрим уравнение y = x^2 - x - 6.

(-2,0) (3,0)

На графике выше показано пересечение параболы с осью x в точках x = -2 и x = 3, которые являются решениями уравнения x^2 - x - 6 = 0.

Заключение

В заключение, существует несколько методов для решения квадратных уравнений: факторизация, завершение квадрата, использование квадратной формулы и графический метод. Каждый метод имеет свои достоинства и ситуации, в которых он наиболее применим. В то время как факторизация эффективна для простых квадратных уравнений, завершение квадрата и квадратная формула предоставляют систематические подходы, которые подходят для более сложных квадратиков. Графический метод дает наглядное представление о решениях и природе парабол. Освоение этих методов важно для решения реальных задач и продвижения в изучении математики.


Класс 10 → 2.3.2


U
username
0%
завершено в Класс 10

← предыдущая (2.3.1)
Стандартная форма квадратного уравнения
следующая (2.3.2.1) →
Метод разложения на множители

комментарии 



Методы решения квадратных уравнений

https://www.buddymath.com/g10/2.3.2?bmal=ru