10º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propriedades dos Números Reais  1.1.2. Números racionais e irracionais  1.1.3. Representação decimal de números reais  1.1.4. Operações com números reais  1.1.5. Números reais na reta numérica  1.2. O lema da divisão de Euclides  1.3. Fatoração de números primos  1.4. Compreendendo o MMC e o MDC em sistemas numéricos  1.5. Expoentes e Radicais  1.5.1. Leis dos expoentes  1.5.2. Simplificação de expressões básicas  1.5.3. Notação científica
  2. Compreendendo Algebra  2.1. Polinômios  2.1.1. Definição e tipos de polinômios  2.1.2. Grau de um polinômio  2.1.3. Zeros de um polinômio  2.1.4. Fatoração de polinômios  2.1.5. Identidades algébricas  2.2. Equações lineares em duas variáveis  2.2.1. Gráficos de equações lineares  2.2.2. Soluções de equações lineares  2.2.3. Aplicação de equações lineares em problemas de palavras  2.3. Entendendo Equações Quadráticas  2.3.1. Forma padrão de equação quadrática  2.3.2. Métodos para resolver equações quadráticas  2.3.2.1. Método de fatoração  2.3.2.2. Método de completar o quadrado  2.3.2.3. Fórmula quadrática  2.3.3. Compreendendo a natureza das raízes em equações quadráticas  2.4. Entendendo progressões aritméticas  2.4.1. Definição de progressão aritmética  2.4.2. Termo geral da Progressão Aritmética (PA)  2.4.3. A soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética  2.5. Introdução às funções  2.5.1. Definição e tipos de funções  2.5.2. Domínio e imagem  2.5.3. Estrutura dos trabalhos  2.5.4. Inverso de uma função
  3. Geometria coordenada  3.1. Introdução ao sistema cartesiano em geometria coordenada  3.2. Fórmula da distância  3.3. Fórmula da seção  3.4. Área de um triângulo  3.5. Inclinação da linha  3.6. Equação de uma linha em geometria coordenada  3.6.1. Forma de inclinação-interceptação  3.6.2. Introdução à forma ponto-inclinação  3.6.3. Forma de dois pontos  3.6.4. Forma de interceptação  3.6.5. Forma geral da linha
  4. Trigonometria  4.1. Razões trigonométricas  4.1.1. Sen, cosseno, tangente e seus inversos  4.1.2. Compreendendo os valores das razões trigonométricas em ângulos específicos  4.2. Identidades Trigonométricas  4.3. Relações trigonométricas de ângulos complementares  4.4. Alturas e distâncias  4.4.1. Compreendendo ângulos de elevação e depressão  4.4.2. Aplicações em problemas da vida real
  5. Geometria  5.1. Triângulo  5.1.1. Congruência de triângulos  5.1.2. Critérios de conformidade  5.1.3. Propriedades dos triângulos  5.2. Compreendendo similaridade na geometria  5.2.1. Compreendendo formas semelhantes na geometria  5.2.2. Critérios de semelhança  5.2.3. Similaridade de triângulos  5.2.4. Aplicações do paralelismo na vida real  5.3. Compreendendo círculos na geometria  5.3.1. Propriedades do círculo  5.3.2. Tangente a um círculo  5.3.3. Número de tangentes a partir de um ponto  5.3.4. Ângulo subtendido pelo arco  5.4. Construções em geometria  5.4.1. Construção de triângulos semelhantes  5.4.2. Tangente a um círculo  5.4.3. Construção de uma bissetriz de ângulo
  6. Mensuração  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de um Triângulo  6.1.2. Compreendendo a área de um paralelogramo  6.1.3. Área do trapézio  6.1.4. Compreendendo a área de um losango  6.2. Área de superfície e volume  6.2.1. Área de superfície de cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.2. Área de superfície do cone e esfera  6.2.3. Volume de um cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.4. Volume de cone e esfera  6.3. Conversão de unidades  6.4. Tronco de cone
  7. Figuras  7.1. Introdução à estatística  7.2. Coleta de dados  7.3. Apresentação de dados  7.3.1. Forma Tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: Uma ferramenta para representação gráfica em estatística  7.3.2.3. Polígono de frequência  7.3.2.4. Ogiva  7.4. Medidas de tendência central  7.4.1. Média, mediana e moda  7.4.2. Compreendendo Quartis e Percentis  7.5. Medidas de dispersão  7.5.1. Alcance e intervalo interquartil  7.5.2. Desvio Padrão e Variância
  8. Possibilidade  8.1. Introdução à Probabilidade  8.2. Probabilidade experimental  8.3. Probabilidade teórica  8.4. Probabilidade de eventos simples  8.5. Programas Complementares  8.6. Probabilidade de eventos mistos

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Métodos para resolver equações quadráticas


Equações quadráticas são uma parte essencial da álgebra, geralmente ensinadas na Matemática do Ensino Médio. Elas formam a base para tópicos mais avançados em matemática e também são aplicáveis em vários contextos do mundo real, como física, engenharia e finanças. Uma equação quadrática é geralmente expressa na forma:

ax^2 + bx + c = 0

onde a, b e c são constantes, e x representa a variável desconhecida que queremos resolver. Os principais métodos para resolver equações quadráticas são os seguintes:

  1. Fatoração
  2. Completar o quadrado
  3. Usar a fórmula quadrática
  4. Graficamente

1. Fatoração

A fatoração envolve reescrever a expressão quadrática em uma forma que possa ser igualada a zero, tornando mais fácil resolver para x. A forma fatorada de uma quadrática é geralmente:

(px + q)(rx + s) = 0

Vamos considerar um exemplo simples:

Exemplo:

Resolva a equação quadrática x^2 - 5x + 6 = 0 por fatoração.

Para fatorar, encontre dois números que multiplicam por 6 (o termo constante, c) e somam -5 (x, o coeficiente de b). Os números -2 e -3 cumprem essas condições:

x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0

Igualando cada fator a zero, temos:

x - 2 = 0 ou x - 3 = 0

Resolvendo estas, obtemos as soluções x = 2 e x = 3.

2. Completar o quadrado

Completar o quadrado transforma uma equação quadrática em um trinômio quadrado perfeito, tornando-a mais fácil de resolver. Este processo envolve criar um quadrado adicionando e subtraindo um valor específico. Vamos ver este processo passo a passo:

Exemplo:

Resolva a equação quadrática x^2 + 6x + 5 = 0 completando o quadrado.

  1. Transfira o termo constante para o outro lado: 
    x^2 + 6x = -5
  2. Pegue metade do coeficiente de x, eleve-o ao quadrado e adicione em ambos os lados: 
    (6/2)^2 = 3^2 = 9
    x^2 + 6x + 9 = -5 + 9
    A simplificação é a seguinte: 
    (x + 3)^2 = 4
  3. Tire a raiz quadrada de ambos os lados: 
    x + 3 = ±2
  4. Encontre x: 
    x = -3 ± 2
    5. Isso nos dá x = -1 e x = -5.

3. Fórmula quadrática

A fórmula quadrática é provavelmente o método mais robusto para resolver qualquer equação quadrática, mesmo quando fatorar ou completar o quadrado é difícil. A fórmula é dada como:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Exemplo:

Use a fórmula quadrática para resolver a equação 2x^2 + 4x - 6 = 0.

  1. Identifique os coeficientes: 
    a = 2, b = 4, c = -6
  2. Substitua na fórmula: 
    x = (-4 ± √(4^2 - 4(2)(-6))) / (2 * 2)
  3. Simplifique dentro da raiz quadrada: 
    x = (-4 ± √(16 + 48)) / 4
    x = (-4 ± √64) / 4
  4. Calcule as raízes: 
    x = (-4 ± 8) / 4
    5. Isso leva às seguintes soluções: 
    x = 1 e x = -3

4. Graficamente

Ao traçar graficamente uma equação quadrática, suas soluções ou raízes podem ser claramente demonstradas onde a parábola intersecta o eixo x. Uma equação quadrática é geralmente plotada como y = ax^2 + bx + c. Vamos considerar a equação y = x^2 - x - 6.

(-2,0) (3,0)

O gráfico acima mostra a parábola intersectando o eixo x em x = -2 e x = 3, que são soluções da equação x^2 - x - 6 = 0.

Conclusão

Em conclusão, existem vários métodos que se pode usar para resolver equações quadráticas: fatoração, completar o quadrado, usar a fórmula quadrática e graficamente. Cada técnica tem seus próprios méritos e cenários onde é mais aplicável. Enquanto a fatoração é eficiente para equações quadráticas simples, completar o quadrado e a fórmula quadrática fornecem abordagens sistemáticas que funcionam para quadráticas mais complexas. O gráfico fornece uma visão visual das soluções e da natureza das parábolas. Dominar esses métodos é importante para resolver problemas do mundo real e avançar nos estudos matemáticos.


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