Grado 10
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propiedades de los Números Reales  1.1.2. Números racionales e irracionales  1.1.3. Representación decimal de números reales  1.1.4. Operaciones con números reales  1.1.5. Números reales en la recta numérica  1.2. El lema de la división de Euclides  1.3. Factorización Prima  1.4. Comprender el MCM y el MCD en los sistemas numéricos  1.5. Exponentes y Radicales  1.5.1. Leyes de los exponentes  1.5.2. Simplificación de expresiones básicas  1.5.3. Notación científica
  2. Entendiendo el álgebra  2.1. Polinomios  2.1.1. Definición y tipos de polinomios  2.1.2. Grado de un polinomio  2.1.3. Ceros de un polinomio  2.1.4. Factorización de polinomios  2.1.5. Identidades algebraicas  2.2. Ecuaciones lineales en dos variables  2.2.1. Gráficas de ecuaciones lineales  2.2.2. Soluciones de ecuaciones lineales  2.2.3. Aplicación de ecuaciones lineales en problemas de palabras  2.3. Comprendiendo las ecuaciones cuadráticas  2.3.1. Forma estándar de la ecuación cuadrática  2.3.2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas  2.3.2.1. Método de factorización  2.3.2.2. Método de completar el cuadrado  2.3.2.3. Fórmula cuadrática  2.3.3. Comprendiendo la naturaleza de las raíces en las ecuaciones cuadráticas  2.4. Comprendiendo las progresiones aritméticas  2.4.1. Definición de progresión aritmética  2.4.2. Término general de la progresión aritmética (PA)  2.4.3. La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética  2.5. Introducción a las funciones  2.5.1. Definición y tipos de funciones  2.5.2. Dominio y rango  2.5.3. Estructura de los trabajos  2.5.4. Inverso de una función
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Introducción al sistema cartesiano en geometría de coordenadas  3.2. Fórmula de distancia  3.3. Fórmula de la sección  3.4. Área de un triángulo  3.5. Pendiente de la línea  3.6. Ecuación de una línea en geometría coordinada  3.6.1. Forma de pendiente-intersección  3.6.2. Introducción a la forma punto-pendiente  3.6.3. Forma de dos puntos  3.6.4. Forma de intersección  3.6.5. Forma general de la línea
  4. Trigonometría  4.1. Relaciones trigonométricas  4.1.1. Seno, coseno, tangente y sus inversos  4.1.2. Comprender los valores de las razones trigonométricas en ángulos específicos  4.2. Identidades trigonométricas  4.3. Relaciones trigonométricas de ángulos complementarios  4.4. Alturas y distancias  4.4.1. Comprender los ángulos de elevación y depresión  4.4.2. Aplicaciones en problemas de la vida real
  5. Geometría  5.1. Triángulo  5.1.1. Congruencia de triángulos  5.1.2. Criterios de conformidad  5.1.3. Propiedades de los triángulos  5.2. Entendiendo la similitud en geometría  5.2.1. Entendiendo formas similares en geometría  5.2.2. Criterios de similitud  5.2.3. Similitud de triángulos  5.2.4. Aplicaciones del paralelismo en la vida real  5.3. Comprensión de los círculos en geometría  5.3.1. Propiedades del círculo  5.3.2. Tangente a un círculo  5.3.3. Número de tangentes desde un punto  5.3.4. Ángulo subtendido por el arco  5.4. Construcciones en geometría  5.4.1. Construcción de triángulos similares  5.4.2. Tangente a un círculo  5.4.3. Construcción de una bisectriz de ángulo
  6. Mensuración  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de un Triángulo  6.1.2. Comprendiendo el área de un paralelogramo  6.1.3. Área del trapecio  6.1.4. Comprendiendo el área de un rombo  6.2. Área de superficie y volumen  6.2.1. Área superficial de cubo, cuboide y cilindro  6.2.2. Área de superficie de cono y esfera  6.2.3. Volumen de un cubo, un cuboide y un cilindro  6.2.4. Volumen de cono y esfera  6.3. Conversión de unidades  6.4. Tronco de un cono
  7. Figuras  7.1. Introducción a la estadística  7.2. Colección de datos  7.3. Presentación de datos  7.3.1. Forma tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: una herramienta para la representación gráfica en estadísticas  7.3.2.3. Polígono de frecuencias  7.3.2.4. Ojiva  7.4. Medidas de tendencia central  7.4.1. Media, mediana y moda  7.4.2. Comprendiendo cuartiles y percentiles  7.5. Medidas de dispersión  7.5.1. Rango y rango intercuartil  7.5.2. Desviación estándar y varianza
  8. Posibilidad  8.1. Introducción a la Probabilidad  8.2. Probabilidad experimental  8.3. Probabilidad teórica  8.4. Probabilidad de eventos simples  8.5. Programas complementarios  8.6. Probabilidad de eventos mixtos

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Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas


Las ecuaciones cuadráticas son una parte esencial del álgebra, generalmente enseñadas en Matemáticas de Clase 10. Forman la base para temas más avanzados en matemáticas y también son aplicables en varios contextos del mundo real, como la física, la ingeniería y las finanzas. Una ecuación cuadrática se expresa generalmente en la forma:

ax^2 + bx + c = 0

donde a, b, y c son constantes, y x representa la variable desconocida que queremos resolver. Los métodos principales para resolver ecuaciones cuadráticas son los siguientes:

  1. Factorización
  2. Completación del cuadrado
  3. Usar la fórmula cuadrática
  4. Graficación

1. Factorización

La factorización implica reescribir la expresión cuadrática en una forma que pueda establecerse en cero, haciéndola más fácil de resolver para x. La forma factorizada de un cuadrático es generalmente:

(px + q)(rx + s) = 0

Consideremos un ejemplo simple:

Ejemplo:

Resuelve la ecuación cuadrática x^2 - 5x + 6 = 0 por factorización.

Para factorizar, encuentra dos números que se multipliquen por 6 (el término constante, c) y sumen -5 (x, el coeficiente de b). Los números -2 y -3 cumplen con estas condiciones:

x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0

Estableciendo cada factor en cero, obtenemos:

x - 2 = 0 o x - 3 = 0

Resolviendo estos nos da las soluciones x = 2 y x = 3.

2. Completación del cuadrado

La completación del cuadrado convierte una ecuación cuadrática en un trinomio cuadrado perfecto, lo que facilita su resolución. Este proceso implica crear un cuadrado añadiendo y restando un valor específico. Veamos este proceso paso a paso:

Ejemplo:

Resuelve la ecuación cuadrática x^2 + 6x + 5 = 0 completando el cuadrado.

  1. Mueve el término constante al otro lado: 
    x^2 + 6x = -5
  2. Toma la mitad del coeficiente de x, cuadrarlo, y añadirlo a ambos lados: 
    (6/2)^2 = 3^2 = 9
    x^2 + 6x + 9 = -5 + 9
    La simplificación de la cual es la siguiente: 
    (x + 3)^2 = 4
  3. Tome la raíz cuadrada de ambos lados: 
    x + 3 = ±2
  4. Encuentra x: 
    x = -3 ± 2
    5. Esto nos da x = -1 y x = -5.

3. Fórmula cuadrática

La fórmula cuadrática es probablemente el método más robusto para resolver cualquier ecuación cuadrática, incluso cuando factorizar o completar el cuadrado es difícil. La fórmula se da como:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Ejemplo:

Usa la fórmula cuadrática para resolver la ecuación 2x^2 + 4x - 6 = 0.

  1. Identifica los coeficientes: 
    a = 2, b = 4, c = -6
  2. Sustituye en la fórmula: 
    x = (-4 ± √(4^2 - 4(2)(-6))) / (2 * 2)
  3. Simplifica dentro de la raíz cuadrada: 
    x = (-4 ± √(16 + 48)) / 4
    x = (-4 ± √64) / 4
  4. Calcula las raíces: 
    x = (-4 ± 8) / 4
    5. Esto conduce a las siguientes soluciones: 
    x = 1 y x = -3

4. Graficación

Al graficar una ecuación cuadrática, sus soluciones o raíces pueden demostrarse claramente donde la parábola interseca el eje x. Una ecuación cuadrática se representa generalmente como y = ax^2 + bx + c. Consideremos la ecuación y = x^2 - x - 6.

(-2,0) (3,0)

El gráfico anterior muestra la parábola intersectando el eje x en x = -2 y x = 3, que son soluciones de la ecuación x^2 - x - 6 = 0.

Conclusión

En conclusión, hay varios métodos que se pueden utilizar para resolver ecuaciones cuadráticas: factorización, completación del cuadrado, uso de la fórmula cuadrática y graficación. Cada técnica tiene sus propios méritos y escenarios donde es más aplicable. Mientras que la factorización es eficiente para ecuaciones cuadráticas simples, la completación del cuadrado y la fórmula cuadrática proporcionan enfoques sistemáticos que funcionan para cuadráticas más complejas. La graficación proporciona una visión visual de las soluciones y la naturaleza de las parábolas. Dominar estos métodos es importante para resolver problemas del mundo real y avanzar en los estudios matemáticos.


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