Метод завершения квадрата

Метод завершения квадрата - это техника, используемая для решения квадратных уравнений. Он преобразует квадратное уравнение в форму, которую можно легко решить, взяв квадратный корень из обеих сторон. Этот метод особенно полезен, когда вы не можете легко разложить квадратное уравнение на множители или когда уравнение сложное. Суть завершения квадрата состоит в создании из квадратного уравнения идеального квадратного трехчлена, после чего нахождении неизвестной переменной.

Понимание квадратных уравнений

Квадратное уравнение - это уравнение вида:

    ax^2 + bx + c = 0

где a, b и c - это постоянные, и a ≠ 0, график квадратного уравнения - парабола.

Метод завершения квадрата

Чтобы завершить квадрат, наша цель - выразить квадратную часть уравнения ax^2 + bx в виде идеального квадратного трехчлена, который можно записать в форме (x + p)^2.

Пошаговое руководство

Шаг 1: Переместите постоянный член вправо

Начните с переписывания уравнения, переместив постоянный член c на другую сторону уравнения:

    ax^2 + bx = -c

Шаг 2: Разделите каждый член на 'a'

Если a ≠ 1, разделите все уравнение на a, чтобы упростить коэффициент перед x^2 до 1:

    x^2 + (b/a)x = -c/a

Шаг 3: Завершите квадрат

Чтобы завершить квадрат, возьмите половину коэффициента перед x, который равен (b/a), и возведите его в квадрат. Добавьте и вычтите этот квадрат внутри уравнения:

    x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 = (b/2a)^2 - c/a

Выражение с левой стороны можно теперь записать как идеальный квадрат.

Шаг 4: Преобразуйте в идеальный квадратный трехчлен

Перепишите левую часть уравнения как квадрат двучлена:

    (x + b/2a)^2 = (b/2a)^2 - c/a

Шаг 5: Решите уравнение относительно 'x'

Возьмите квадратный корень из обеих сторон уравнения:

    x + b/2a = ±√((b/2a)^2 - c/a)

Наконец, решите относительно x:

    x = -b/2a ± √((b/2a)^2 - c/a)

Примеры завершения квадрата

Пример 1

Решите квадратное уравнение x^2 + 6x + 8 = 0 с помощью метода завершения квадрата.

Решение:

1. Переместите постоянный член на другую сторону:

               x^2 + 6x = -8
           

2. Разделите каждый член на коэффициент перед x^2 (в данном случае это 1, поэтому этот шаг можно пропустить).
3. Завершите квадрат:
   • Возьмите половину от 6, это 3, и возведите его в квадрат, получив 9.
   • Добавьте и вычтите 9 в уравнении:

                         x^2 + 6x + 9 = -8 + 9
                     

4. Выразите выражение как идеальный квадратный трехчлен:

               (x + 3)^2 = 1
           

5. Решите относительно x путем взятия квадратного корня:

               x + 3 = ±1
           

6. Вычтите 3 из обеих сторон, чтобы найти значение x:

               x = -3 ± 1
           

   Таким образом, x = -2 или x = -4.

Пример 2

Решите квадратное уравнение 2x^2 + 8x + 5 = 0 с помощью метода завершения квадрата.

Решение:

1. Переместите постоянный член на другую сторону:

               2x^2 + 8x = -5
           

2. Разделите каждый член на 2:

               x^2 + 4x = -5/2
           

3. Завершите квадрат:
   • Возьмите половину от 4, это 2, и возведите его в квадрат, получив 4.
   • Добавьте и вычтите 4 в уравнении:

                         x^2 + 4x + 4 = 4 - 5/2
                     

4. Выразите выражение как идеальный квадратный трехчлен:

               (x + 2)^2 = 8/2 - 5/2
           

5. Упростите правую часть:

               (x + 2)^2 = 3/2
           

6. Решите относительно x путем взятия квадратного корня:

               x + 2 = ±√(3/2)
           

7. Вычтите 2 из обеих сторон:

               x = -2 ± √(3/2)
           

   Таким образом, x = -2 + √(3/2) или x = -2 - √(3/2).

Визуальный пример

Ниже представлено завершение квадрата для уравнения x^2 + 4x + 4 = 0:

На изображении выше большой квадрат представляет x^2, прямоугольник представляет член 4x, а маленький квадрат - число 4, которое завершает квадрат. Идеальный квадратный трехчлен формирует идеальный квадрат визуально, что представляет собой преобразование.

Преимущества завершения квадрата

Завершение квадрата - это универсальный метод, полезный в различных математических задачах. Среди его преимуществ:

• Он позволяет решить любое квадратное уравнение, даже те, которые трудно разложить на множители.
• Он преобразует квадратные выражения в формат, который легче анализировать и использовать для графического построения.
• Эта техника помогает в выводе квадратной формулы.

Заключение

Понимание метода завершения квадрата заключается в том, чтобы научиться преобразовывать квадратное уравнение в идеальную квадратную форму. Это открывает путь к более глубокому пониманию алгебры и готовит студентов к высшему уровню математики. Хотя метод может показаться сложным в начале, практика с примерами и визуальными средствами делает его доступным и мощным инструментом для решения квадратных уравнений.

комментарии