Método de completar o quadrado

O método de completar o quadrado é uma técnica utilizada para resolver equações quadráticas. Ele transforma a equação quadrática em uma forma que pode ser facilmente resolvida ao tirar a raiz quadrada de ambos os lados. Este método é especialmente útil quando não se pode facilmente fatorar a equação quadrática ou quando a equação é complexa. A essência de completar o quadrado é criar um trinômio quadrado perfeito a partir da equação quadrática e, em seguida, resolver para a variável desconhecida.

Entendendo equações quadráticas

Uma equação quadrática é uma equação da forma:

    ax^2 + bx + c = 0

onde a, b e c são constantes, e a ≠ 0 o gráfico de uma equação quadrática é uma parábola.

Método de completar o quadrado

Para completar o quadrado, nosso objetivo é expressar a parte quadrática da equação, ax^2 + bx, como um trinômio quadrado perfeito, que é uma expressão algébrica que pode ser escrita na forma (x + p)^2.

Guia passo a passo

Passo 1: Mover o termo constante para a direita

Comece reescrevendo a equação, movendo o termo constante c para o outro lado da equação:

    ax^2 + bx = -c

Passo 2: Divida cada termo por 'a'

Se a ≠ 1, divida toda a equação por a para simplificar o coeficiente quadrático para 1:

    x^2 + (b/a)x = -c/a

Passo 3: Completar o quadrado

Para completar o quadrado, tome a metade do coeficiente de x, que é (b/a), e o eleve ao quadrado. Adicione e subtraia esse quadrado dentro da equação:

    x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 = (b/2a)^2 - c/a

A expressão no lado esquerdo agora pode ser escrita como um quadrado perfeito.

Passo 4: Converter para um trinômio quadrado perfeito

Reescreva o lado esquerdo da equação como o quadrado de um binômio:

    (x + b/2a)^2 = (b/2a)^2 - c/a

Passo 5: Resolver para 'x'

Extraia a raiz quadrada de ambos os lados da equação:

    x + b/2a = ±√((b/2a)^2 - c/a)

Finalmente, resolva para x:

    x = -b/2a ± √((b/2a)^2 - c/a)

Exemplos de completar o quadrado

Exemplo 1

Resolva a equação quadrática x^2 + 6x + 8 = 0 completando o quadrado.

Solução:

1. Mova o termo constante para o outro lado:

               x^2 + 6x = -8
           

2. Divida cada termo pelo coeficiente de x^2 (neste caso é 1, então podemos pular esta etapa).
3. Complete o quadrado:
   • Calcule a metade de 6, que é 3, e depois eleve ao quadrado para obter 9.
   • Adicione e subtraia 9 dentro da equação:

                         x^2 + 6x + 9 = -8 + 9
                     

4. Expresse como um trinômio quadrado perfeito:

               (x + 3)^2 = 1
           

5. Resolva para x extraindo a raiz quadrada:

               x + 3 = ±1
           

6. Subtraia 3 de ambos os lados para encontrar o valor de x:

               x = -3 ± 1
           

   Assim, x = -2 ou x = -4.

Exemplo 2

Resolva a equação quadrática 2x^2 + 8x + 5 = 0 completando o quadrado.

Solução:

1. Mova o termo constante para o outro lado:

               2x^2 + 8x = -5
           

2. Divida cada termo por 2:

               x^2 + 4x = -5/2
           

3. Complete o quadrado:
   • Calcule a metade de 4, que é 2, e depois eleve ao quadrado para obter 4.
   • Adicione e subtraia 4 dentro da equação:

                         x^2 + 4x + 4 = 4 - 5/2
                     

4. Expresse como um trinômio quadrado perfeito:

               (x + 2)^2 = 8/2 - 5/2
           

5. Simplifique o lado direito:

               (x + 2)^2 = 3/2
           

6. Resolva para x extraindo a raiz quadrada:

               x + 2 = ±√(3/2)
           

7. Subtraia 2 de ambos os lados:

               x = -2 ± √(3/2)
           

   Portanto, x = -2 + √(3/2) ou x = -2 - √(3/2).

Exemplo visual

Abaixo está a representação de completar o quadrado para a equação x^2 + 4x + 4 = 0:

No visual acima, o grande quadrado representa x^2, o retângulo representa o termo 4x, e o pequeno quadrado representa o número 4, que completa o quadrado. O trinômio quadrado perfeito forma um visual quadrado perfeito, que representa a transformação.

Benefícios de completar o quadrado

Completar o quadrado é um método versátil que é benéfico em muitos cenários matemáticos. Algumas de suas vantagens são:

• Pode resolver qualquer equação quadrática, mesmo aquelas que não podem ser facilmente fatoradas.
• Converte expressões quadráticas em um formato que é mais fácil de analisar e usar para graficar.
• Esta técnica ajuda na derivação da fórmula quadrática.

Conclusão

Compreender o método de completar o quadrado envolve reconhecer a habilidade de reformular uma equação quadrática em uma forma de quadrado perfeito. Este entendimento abre caminho para insights mais profundos em álgebra e prepara os alunos para matemáticas de nível superior. Embora o método possa parecer complicado inicialmente, a prática com exemplos e auxílios visuais o torna uma ferramenta acessível e poderosa na resolução de equações quadráticas.

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