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平方完成法
平方完成法は、二次方程式を解くために使用される手法です。この方法は、二次方程式を両辺の平方根を取ることで簡単に解くことができる形に変換します。この方法は、二次方程式を簡単に因数分解できない場合や、方程式が複雑な場合に特に有効です。平方完成の本質は、二次方程式から完全平方三項式を作成し、未知数を解くことです。
二次方程式の理解
二次方程式は次の形式の方程式です:
ax^2 + bx + c = 0
ここで、a、b、cは定数であり、a ≠ 0の場合、二次方程式のグラフは放物線になります。
平方完成法
平方完成をするためには、方程式の二次項であるax^2 + bxを、(x + p)^2の形式で記述できる完全平方三項式として表現することを目標とします。
ステップバイステップガイド
ステップ1: 定数項を右辺に移動
最初に方程式を書き直し、定数項cを方程式の反対側に移動します:
ax^2 + bx = -c
ステップ2: 各項を'a'で割る
もしa ≠ 1であれば、方程式全体をaで割って、二次係数を1に簡略化します:
x^2 + (b/a)x = -c/a
ステップ3: 平方を完成する
平方を完成するために、xの係数（つまり(b/a)）の半分を取り、それを二乗します。この二乗を方程式内に加え、引きます:
x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 = (b/2a)^2 - c/a
左辺の式は完全平方として書き直せます。
ステップ4: 完全平方三項式に変換する
方程式の左側を二項式の平方として書き直します:
(x + b/2a)^2 = (b/2a)^2 - c/a
ステップ5: 'x'を解く
方程式の両辺の平方根を取ります:
x + b/2a = ±√((b/2a)^2 - c/a)
最後にxを解きます:
x = -b/2a ± √((b/2a)^2 - c/a)
平方完成の例
例1
平方完成を用いて二次方程式x^2 + 6x + 8 = 0を解きます。
解法:
- 定数項を他方に移動します:
x^2 + 6x = -8 x^2の係数である項で各項を割ります（この場合は1なので、このステップは省略できます）。- 平方を完成します:
6の半分を取り、3になり、それを二乗して9にします。- この
9を方程式内に加え、引きます:x^2 + 6x + 9 = -8 + 9
- 完全平方三項式として表現します:
(x + 3)^2 = 1 - 平方根を取って
xを解きます:x + 3 = ±1 - 両辺から
3を引いてxの値を見つけます:x = -3 ± 1x = -2またはx = -4となります。
例2
平方完成を用いて二次方程式2x^2 + 8x + 5 = 0を解きます。
解法:
- 定数項を他方に移動します:
2x^2 + 8x = -5 - 各項を
2で割ります:x^2 + 4x = -5/2 - 平方を完成します:
4の半分を取り、2になり、それを二乗して4にします。- この
4を方程式内に加え、引きます:x^2 + 4x + 4 = 4 - 5/2
- 完全平方三項式として表現します:
(x + 2)^2 = 8/2 - 5/2 - 右辺を簡略化します:
(x + 2)^2 = 3/2 - 平方根を取って
xを解きます:x + 2 = ±√(3/2) - 両辺から
2を引きます:x = -2 ± √(3/2)x = -2 + √(3/2)またはx = -2 - √(3/2)となります。
視覚的な例
以下は、方程式x^2 + 4x + 4 = 0の平方完成の表現です:
上の視覚的表現では、大きな四角形がx^2を表し、長方形が4xの項を表し、小さな四角形が平方を完成する数4を表しています。完全平方三項式は、平方形を形成し、それが変換を表現します。
平方完成の利点
平方完成は多くの数学的シナリオで有用な多用途の方法です。この方法の利点のいくつかは以下の通りです:
- 平方完成は、容易に因数分解できない二次方程式であっても解くことができます。
- 二次式を分析しやすく、グラフに使用しやすい形式に変換します。
- この技法は二次方程式の解の公式を導出するのに役立ちます。
結論
平方完成法を理解することは、二次方程式を完全平方の形に再構成する能力を認識することです。この理解は代数学への深い洞察への道を開き、学生がより高次の数学に備える手助けとなります。最初はこの方法が複雑に思えるかもしれませんが、例や視覚的なツールを使って練習すれば、二次方程式を解く際の身近で強力な道具となります。
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