वर्ग पूर्ण करने की विधि

वर्ग पूर्ण करने की विधि एक तकनीक है जिसका उपयोग द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है। यह द्विघात समीकरण को एक रूप में बदल देती है जिसे दोनों पक्षों का वर्गमूल लेकर आसानी से हल किया जा सकता है। जब आप द्विघात समीकरण को आसानी से गुणाखंडित नहीं कर सकते या जब समीकरण जटिल हो तब यह विधि विशेष रूप से उपयोगी होती है। वर्ग पूर्ण करने का सार यह है कि द्विघात समीकरण से एक पूर्ण वर्ग त्रैणिक बनाना और फिर अज्ञात चर के लिए हल करना।

द्विघात समीकरण को समझना

एक द्विघात समीकरण इस प्रकार का समीकरण होता है:

    ax^2 + bx + c = 0

जहाँ a, b, और c स्थिरांक होते हैं, और a ≠ 0 होता है। द्विघात समीकरण का ग्राफ एक परवलय होता है।

वर्ग पूर्ण करने की विधि

वर्ग पूर्ण करने के लिए, हमारा लक्ष्य समीकरण के द्विघात भाग ax^2 + bx को एक पूर्ण वर्ग त्रैणिक के रूप में व्यक्त करना है, जो एक बीजगणितीय व्यंजक होता है जिसे (x + p)^2 के रूप में लिखा जा सकता है।

स्टेप-बाय-स्टेप गाइड

चरण 1: स्थिरांक पद को दाईं ओर ले जाएँ

समीकरण को फिर से लिखकर शुरू करें, स्थिरांक पद c को समीकरण के दूसरी ओर ले जाएँ:

    ax^2 + bx = -c

चरण 2: प्रत्येक पद को 'a' से भाग दें

यदि a ≠ 1, तो द्विघात गुणांक को 1 में सरल बनाने के लिए पूरे समीकरण को a से भाग दें:

    x^2 + (b/a)x = -c/a

चरण 3: वर्ग पूर्ण करें

वर्ग पूर्ण करने के लिए, x के गुणांक का आधा लें, जो (b/a) है, और इसे वर्ग करें। इस वर्ग को समीकरण के अंदर जोड़ें और घटाएँ:

    x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 = (b/2a)^2 - c/a

अब बाएँ हाथ का व्यंजक एक पूर्ण वर्ग के रूप में लिखा जा सकता है।

चरण 4: पूर्ण वर्ग त्रैणिक में बदलें

समीकरण के बाएँ भाग को एक द्विपद के वर्ग के रूप में पुनः लिखें:

    (x + b/2a)^2 = (b/2a)^2 - c/a

चरण 5: 'x' के लिए हल करें

समीकरण के दोनों पक्षों का वर्गमूल लें:

    x + b/2a = ±√((b/2a)^2 - c/a)

अंत में, x के लिए हल करें:

    x = -b/2a ± √((b/2a)^2 - c/a)

वर्ग पूर्ण करने के उदाहरण

उदाहरण 1

द्विघात समीकरण x^2 + 6x + 8 = 0 को वर्ग पूर्ण करके हल करें।

समाधान:

1. स्थिरांक पद को दूसरी तरफ ले जाएँ:

               x^2 + 6x = -8
           

2. प्रत्येक पद को x^2 के गुणांक से भाग दें (इस मामले में यह 1 है, इसलिए हम इसे छोड़ सकते हैं)।
3. वर्ग को पूरा करें:
   • 6 का आधा लें जो 3 है, और इसे वर्ग करके 9 प्राप्त करें।
   • समीकरण के अंदर 9 जोड़ें और घटाएँ:

                         x^2 + 6x + 9 = -8 + 9
                     

4. इसे पूर्ण वर्ग त्रैणिक के रूप में व्यक्त करें:

               (x + 3)^2 = 1
           

5. वर्गमूल लेकर x के लिए हल करें:

               x + 3 = ±1
           

6. दोनों पक्षों से 3 घटाएँ ताकि x का मान ज्ञात किया जा सके:

               x = -3 ± 1
           

   इस प्रकार, x = -2 या x = -4।

उदाहरण 2

द्विघात समीकरण 2x^2 + 8x + 5 = 0 को वर्ग पूर्ण करके हल करें।

समाधान:

1. स्थिरांक पद को दूसरी तरफ ले जाएँ:

               2x^2 + 8x = -5
           

2. प्रत्येक पद को 2 से भाग दें:

               x^2 + 4x = -5/2
           

3. वर्ग को पूरा करें:
   • 4 का आधा लें जो 2 है, और इसे वर्ग करके 4 प्राप्त करें।
   • समीकरण के अंदर 4 जोड़ें और घटाएँ:

                         x^2 + 4x + 4 = 4 - 5/2
                     

4. इसे पूर्ण वर्ग त्रैणिक के रूप में व्यक्त करें:

               (x + 2)^2 = 8/2 - 5/2
           

5. दाएँ की सादगी करें:

               (x + 2)^2 = 3/2
           

6. वर्गमूल लेकर x के लिए हल करें:

               x + 2 = ±√(3/2)
           

7. दोनों पक्षों से 2 घटाएँ:

               x = -2 ± √(3/2)
           

   इस प्रकार, x = -2 + √(3/2) या x = -2 - √(3/2)।

दृश्य उदाहरण

नीचे दिए गए चित्र में समीकरण x^2 + 4x + 4 = 0 के लिए वर्ग पूर्ण करने का चित्रण है:

ऊपर दिए गए दृश्य में, बड़ा वर्ग x^2 का प्रतिनिधित्व करता है, आयत 4x पद का प्रतिनिधित्व करता है, और छोटा वर्ग संख्या 4 का प्रतिनिधित्व करता है, जो वर्ग को पूर्ण करता है। पूर्ण वर्ग त्रैणिक एक पूर्ण वर्ग दृश्य का निर्माण करता है, जो रूपांतरण का प्रतिनिधित्व करता है।

वर्ग पूर्ण करने के लाभ

वर्ग पूर्ण करना एक बहुप्रयोजन विधि है जो कई गणितीय परिदृश्यों में लाभदायक है। इसके कुछ लाभ हैं:

• यह किसी भी द्विघात समीकरण को हल कर सकता है, यहां तक कि जिसे आसानी से गुणाखंडित नहीं किया जा सकता।
• यह द्विघात व्यंजनों को एक ऐसे प्रारूप में परिवर्तित करता है जो विश्लेषण और ग्राफ बनाने के लिए आसान होता है।
• यह तकनीक द्विघात सूत्र को निकालने में मदद करती है।

निष्कर्ष

वर्ग पूर्ण करने की विधि को समझना, एक द्विघात समीकरण को पूर्ण वर्ग रूप में पुन: संरचना करने की क्षमता को पहचानना शामिल है। यह समझ बीजगणित में गहरे अंतर्दृष्टि के रास्ते खोलती है और छात्रों को उच्च स्तर के गणित के लिए तैयार करती है। यद्यपि शुरू में यह विधि जटिल लग सकती है, उदाहरणों और दृश्य सहायताओं के साथ अभ्यास इसे द्विघात समीकरणों को हल करने में एक सुलभ और शक्तिशाली उपकरण बनाती है।

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