Grado 10
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propiedades de los Números Reales  1.1.2. Números racionales e irracionales  1.1.3. Representación decimal de números reales  1.1.4. Operaciones con números reales  1.1.5. Números reales en la recta numérica  1.2. El lema de la división de Euclides  1.3. Factorización Prima  1.4. Comprender el MCM y el MCD en los sistemas numéricos  1.5. Exponentes y Radicales  1.5.1. Leyes de los exponentes  1.5.2. Simplificación de expresiones básicas  1.5.3. Notación científica
  2. Entendiendo el álgebra  2.1. Polinomios  2.1.1. Definición y tipos de polinomios  2.1.2. Grado de un polinomio  2.1.3. Ceros de un polinomio  2.1.4. Factorización de polinomios  2.1.5. Identidades algebraicas  2.2. Ecuaciones lineales en dos variables  2.2.1. Gráficas de ecuaciones lineales  2.2.2. Soluciones de ecuaciones lineales  2.2.3. Aplicación de ecuaciones lineales en problemas de palabras  2.3. Comprendiendo las ecuaciones cuadráticas  2.3.1. Forma estándar de la ecuación cuadrática  2.3.2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas  2.3.2.1. Método de factorización  2.3.2.2. Método de completar el cuadrado  2.3.2.3. Fórmula cuadrática  2.3.3. Comprendiendo la naturaleza de las raíces en las ecuaciones cuadráticas  2.4. Comprendiendo las progresiones aritméticas  2.4.1. Definición de progresión aritmética  2.4.2. Término general de la progresión aritmética (PA)  2.4.3. La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética  2.5. Introducción a las funciones  2.5.1. Definición y tipos de funciones  2.5.2. Dominio y rango  2.5.3. Estructura de los trabajos  2.5.4. Inverso de una función
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Introducción al sistema cartesiano en geometría de coordenadas  3.2. Fórmula de distancia  3.3. Fórmula de la sección  3.4. Área de un triángulo  3.5. Pendiente de la línea  3.6. Ecuación de una línea en geometría coordinada  3.6.1. Forma de pendiente-intersección  3.6.2. Introducción a la forma punto-pendiente  3.6.3. Forma de dos puntos  3.6.4. Forma de intersección  3.6.5. Forma general de la línea
  4. Trigonometría  4.1. Relaciones trigonométricas  4.1.1. Seno, coseno, tangente y sus inversos  4.1.2. Comprender los valores de las razones trigonométricas en ángulos específicos  4.2. Identidades trigonométricas  4.3. Relaciones trigonométricas de ángulos complementarios  4.4. Alturas y distancias  4.4.1. Comprender los ángulos de elevación y depresión  4.4.2. Aplicaciones en problemas de la vida real
  5. Geometría  5.1. Triángulo  5.1.1. Congruencia de triángulos  5.1.2. Criterios de conformidad  5.1.3. Propiedades de los triángulos  5.2. Entendiendo la similitud en geometría  5.2.1. Entendiendo formas similares en geometría  5.2.2. Criterios de similitud  5.2.3. Similitud de triángulos  5.2.4. Aplicaciones del paralelismo en la vida real  5.3. Comprensión de los círculos en geometría  5.3.1. Propiedades del círculo  5.3.2. Tangente a un círculo  5.3.3. Número de tangentes desde un punto  5.3.4. Ángulo subtendido por el arco  5.4. Construcciones en geometría  5.4.1. Construcción de triángulos similares  5.4.2. Tangente a un círculo  5.4.3. Construcción de una bisectriz de ángulo
  6. Mensuración  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de un Triángulo  6.1.2. Comprendiendo el área de un paralelogramo  6.1.3. Área del trapecio  6.1.4. Comprendiendo el área de un rombo  6.2. Área de superficie y volumen  6.2.1. Área superficial de cubo, cuboide y cilindro  6.2.2. Área de superficie de cono y esfera  6.2.3. Volumen de un cubo, un cuboide y un cilindro  6.2.4. Volumen de cono y esfera  6.3. Conversión de unidades  6.4. Tronco de un cono
  7. Figuras  7.1. Introducción a la estadística  7.2. Colección de datos  7.3. Presentación de datos  7.3.1. Forma tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: una herramienta para la representación gráfica en estadísticas  7.3.2.3. Polígono de frecuencias  7.3.2.4. Ojiva  7.4. Medidas de tendencia central  7.4.1. Media, mediana y moda  7.4.2. Comprendiendo cuartiles y percentiles  7.5. Medidas de dispersión  7.5.1. Rango y rango intercuartil  7.5.2. Desviación estándar y varianza
  8. Posibilidad  8.1. Introducción a la Probabilidad  8.2. Probabilidad experimental  8.3. Probabilidad teórica  8.4. Probabilidad de eventos simples  8.5. Programas complementarios  8.6. Probabilidad de eventos mixtos

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Método de completar el cuadrado


El método de completar el cuadrado es una técnica utilizada para resolver ecuaciones cuadráticas. Transforma la ecuación cuadrática en una forma que puede ser fácilmente resuelta tomando la raíz cuadrada de ambos lados. Este método es especialmente útil cuando no puedes factorizar fácilmente la ecuación cuadrática o cuando la ecuación es compleja. La esencia de completar el cuadrado es crear un trinomio cuadrado perfecto a partir de la ecuación cuadrática y luego resolver para la variable desconocida.

Comprendiendo las ecuaciones cuadráticas

Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma:

    ax^2 + bx + c = 0

donde a, b y c son constantes, y a ≠ 0; el gráfico de una ecuación cuadrática es una parábola.

Método de completar el cuadrado

Para completar el cuadrado, nuestro objetivo es expresar la parte cuadrática de la ecuación, ax^2 + bx, como un trinomio cuadrado perfecto, que es una expresión algebraica que se puede escribir en la forma (x + p)^2.

Guía paso a paso

Paso 1: Mueve el término constante hacia la derecha

Comienza reescribiendo la ecuación, moviendo el término constante c al otro lado de la ecuación:

    ax^2 + bx = -c

Paso 2: Divide cada término por 'a'

Si a ≠ 1, divide toda la ecuación por a para simplificar el coeficiente cuadrático a 1:

    x^2 + (b/a)x = -c/a

Paso 3: Completa el cuadrado

Para completar el cuadrado, toma la mitad del coeficiente de x, que es (b/a), y elévalo al cuadrado. Suma y resta este cuadrado dentro de la ecuación:

    x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 = (b/2a)^2 - c/a

La expresión en el lado izquierdo ahora se puede escribir como un cuadrado perfecto.

Paso 4: Convierte a un trinomio cuadrado perfecto

Reescribe el lado izquierdo de la ecuación como el cuadrado de un binomio:

    (x + b/2a)^2 = (b/2a)^2 - c/a

Paso 5: Resuelve para 'x'

Toma la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación:

    x + b/2a = ±√((b/2a)^2 - c/a)

Finalmente, resuelve para x:

    x = -b/2a ± √((b/2a)^2 - c/a)

Ejemplos de completar el cuadrado

Ejemplo 1

Resuelve la ecuación cuadrática x^2 + 6x + 8 = 0 completando el cuadrado.

Solución:

  1. Mueve el término constante hacia el otro lado: 
                x^2 + 6x = -8
  2. Divide cada término por el coeficiente de x^2 (en este caso es 1, así que podemos omitir este paso).
  3. Completa el cuadrado:
    • Toma la mitad de 6, que es 3, y luego elévalo al cuadrado para obtener 9.
    • Suma y resta 9 dentro de la ecuación: 
                          x^2 + 6x + 9 = -8 + 9
  4. Expresa como un trinomio cuadrado perfecto: 
                (x + 3)^2 = 1
  5. Resuelve para x tomando la raíz cuadrada: 
                x + 3 = ±1
  6. Resta 3 en ambos lados para encontrar el valor de x: 
                x = -3 ± 1
    Por lo tanto, x = -2 o x = -4.

Ejemplo 2

Resuelve la ecuación cuadrática 2x^2 + 8x + 5 = 0 completando el cuadrado.

Solución:

  1. Mueve el término constante hacia el otro lado: 
                2x^2 + 8x = -5
  2. Divide cada término por 2: 
                x^2 + 4x = -5/2
  3. Completa el cuadrado:
    • Toma la mitad de 4, que es 2, y luego elévalo al cuadrado para obtener 4.
    • Suma y resta 4 dentro de la ecuación: 
                          x^2 + 4x + 4 = 4 - 5/2
  4. Expresa como un trinomio cuadrado perfecto: 
                (x + 2)^2 = 8/2 - 5/2
  5. Simplifica a la derecha: 
                (x + 2)^2 = 3/2
  6. Resuelve para x tomando la raíz cuadrada: 
                x + 2 = ±√(3/2)
  7. Resta 2 en ambos lados: 
                x = -2 ± √(3/2)
    Por lo tanto, x = -2 + √(3/2) o x = -2 - √(3/2).

Ejemplo visual

A continuación se muestra la representación de completar el cuadrado para la ecuación x^2 + 4x + 4 = 0:

x^2 4x 4 = (x + 2)^2

En el visual anterior, el cuadrado grande representa x^2, el rectángulo representa el término 4x, y el cuadrado pequeño representa el número 4, que completa el cuadrado. El trinomio cuadrado perfecto forma un visual cuadrado perfecto, que representa la transformación.

Beneficios de completar el cuadrado

Completar el cuadrado es un método versátil que es beneficioso en muchos escenarios matemáticos. Algunas de sus ventajas son:

  • Puede resolver cualquier ecuación cuadrática, incluso aquellas que no se pueden factorizar fácilmente.
  • Convierte las expresiones cuadráticas en un formato que es más fácil de analizar y usar para graficar.
  • Esta técnica ayuda a derivar la fórmula cuadrática.

Conclusión

Comprender el método de completar el cuadrado implica reconocer la capacidad de reformular una ecuación cuadrática en una forma cuadrada perfecta. Este entendimiento allana el camino para obtener ideas más profundas sobre el álgebra y prepara a los estudiantes para matemáticas de nivel superior. Aunque el método puede parecer complicado al principio, la práctica con ejemplos y ayudas visuales lo convierte en una herramienta accesible y poderosa para resolver ecuaciones cuadráticas.


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