Класс 10 → Понимание алгебры → Понимание квадратных уравнений → Методы решения квадратных уравнений ↓

Метод разложения на множители

Метод разложения на множители — это техника, используемая для решения квадратных уравнений. Квадратное уравнение имеет следующую форму:

ax^2 + bx + c = 0

где a, b и c — константы, а x — переменная, которую нужно решить. Цель факторизации - выразить квадратное уравнение как произведение двух двучленов.

Понимание квадратных уравнений

Чтобы полностью понять метод факторизации, сначала посмотрим, как выглядит квадратное уравнение. Рассмотрим уравнение:

x^2 + 5x + 6 = 0

Это простое квадратное уравнение. Здесь a = 1, b = 5, c = 6.

Шаги для решения методом факторизации

Решение квадратного уравнения методом факторизации включает в себя следующие основные шаги:

Шаг 1: Определите уравнение

Сначала убедитесь, что квадратное уравнение имеет стандартную форму ax^2 + bx + c = 0.

Шаг 2: Разложите квадрат

Чтобы разобрать квадратный фактор, нужны два числа, скажем m и n, такие что:

m * n = a * c
m + n = b

Шаг 3: Запишите как произведение двучленов

Выразите квадратное уравнение следующим образом:

(x + m)(x + n) = 0

Шаг 4: Решите уравнение для `x`

Приравняйте каждый множитель к нулю и решите уравнение для x:

x + m = 0

x + n = 0

Пример 1: Решение `x^2 + 5x + 6 = 0`

Применим метод факторизации для решения:

x^2 + 5x + 6 = 0

Определите a = 1, b = 5, c = 6.
Нам нужны два числа, которые перемножены дают a * c = 1 * 6 = 6 и в сумме дают b = 5.
- Возможные пары: (2, 3), поскольку 2 * 3 = 6 и 2 + 3 = 5.
Перепишите уравнение, используя эти множители:
```
x^2 + 2x + 3x + 6 = 0
```
Сгруппируйте члены и выделите общий множитель:
```
(x^2 + 2x) + (3x + 6) = 0
```
```
x(x + 2) + 3(x + 2) = 0
```
Найдите общий множитель (x + 2):
```
(x + 2)(x + 3) = 0
```
Приравняйте каждый множитель к нулю и решите уравнение для x:
```
x + 2 = 0 => x = -2
```
```
x + 3 = 0 => x = -3
```

Решения: x = -2 и x = -3.

Пример 2: Решение `2x^2 + 7x + 3 = 0`

Теперь рассмотрим другой пример:

2x^2 + 7x + 3 = 0

Здесь a = 2, b = 7, c = 3.
Нужны два числа, произведение которых равно a * c = 2 * 3 = 6, а сумма равна b = 7.
- Возможные пары: (6, 1), поскольку 6 * 1 = 6 и 6 + 1 = 7.
Перепишите уравнение, используя эти числа:
```
2x^2 + 6x + 1x + 3 = 0
```
Сгруппируйте члены и выделите множители:
```
(2x^2 + 6x) + (1x + 3) = 0
```
```
2x(x + 3) + 1(x + 3) = 0
```
Найдите общий множитель (x + 3):
```
(2x + 1)(x + 3) = 0
```
Приравняйте каждый множитель к нулю и решите уравнение для x:
```
2x + 1 = 0 => 2x = -1 => x = -1/2
```
```
x + 3 = 0 => x = -3
```

Решения: x = -1/2 и x = -3.

Пример 3: Решение `3x^2 - 12x + 12 = 0`

Наконец, рассмотрим квадратное уравнение:

3x^2 - 12x + 12 = 0

Здесь a = 3, b = -12, c = 12.
Необходимое произведение: a * c = 36 и необходимая сумма: -12.
- Возможные пары: (-6, -6), поскольку -6 * -6 = 36 и -6 + -6 = -12.
Перепишите уравнение:
```
3x^2 - 6x - 6x + 12 = 0
```
Сгруппируйте члены и выделите множители:
```
(3x^2 - 6x) - (6x - 12) = 0
```
```
3x(x - 2) - 6(x - 2) = 0
```
Найдите общий множитель (x - 2):
```
(3x - 6)(x - 2) = 0
```
Приравняйте каждый множитель к нулю и решите уравнение для x:
```
3x - 6 = 0 => 3x = 6 => x = 2
```
```
x - 2 = 0 => x = 2
```

Его решение: x = 2 (повторяющийся корень).

Визуальное представление

Визуализация может помочь в понимании разложения на множители. Ниже представлено разложение на множители x^2 + 5x + 6.

Разложите его на следующие множители:

Вы можете увидеть, как выражение x^2 + 5x + 6 (x + 2)(x + 3) разбивается на множители.

Особые случаи

Иногда разложение на множители включает в себя специальные шаблоны, такие как разность квадратов, идеальные квадратные триномы или невозможно с помощью действительных чисел.

Разность квадратов

Квадратное уравнение вида x^2 - y^2 может быть разложено как (x + y)(x - y).

Пример: x^2 - 49 = (x + 7)(x - 7)

Идеальный квадратный трином

Квадратное уравнение вида (x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2 является идеальным квадратным триномом.

Пример: x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2

Неразложимые квадраты

Иногда целые числа m и n могут не существовать для выполнения условий умножения-суммы, особенно если требуются комплексные числа. В таких случаях можно использовать альтернативные методы, такие как завершение квадрата или использование квадратной формулы. Они полезны.

Метод разложения на множители эффективен для решения многих квадратных уравнений, особенно когда возможно разложить их на целые множители.

Практика

Разложите на множители x^2 - 9x + 18 = 0 и решите.
Решите методом факторизации: 2x^2 + x - 1 = 0.
Разложите на множители 3x^2 - x - 2 = 0 и найдите x.
Определите решения для x^2 + 4x + 4 = 0, используя метод факторизации.
Используя метод факторизации, решите x^2 - 4 = 0.

Практика с этими примерами поможет укрепить понимание метода разложения на множители при решении квадратных уравнений.

Метод разложения на множители предлагает элегантный и простой подход к решению квадратных уравнений путем конвертации их в произведение линейных множителей и последующего нахождения их корней.

Отметить как прочтённое

Класс 10 → 2.3.2.1

username

завершено в Класс 10

← предыдущая (2.3.2)

Методы решения квадратных уравнений

следующая (2.3.2.2) →

Метод завершения квадрата