10º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propriedades dos Números Reais  1.1.2. Números racionais e irracionais  1.1.3. Representação decimal de números reais  1.1.4. Operações com números reais  1.1.5. Números reais na reta numérica  1.2. O lema da divisão de Euclides  1.3. Fatoração de números primos  1.4. Compreendendo o MMC e o MDC em sistemas numéricos  1.5. Expoentes e Radicais  1.5.1. Leis dos expoentes  1.5.2. Simplificação de expressões básicas  1.5.3. Notação científica
  2. Compreendendo Algebra  2.1. Polinômios  2.1.1. Definição e tipos de polinômios  2.1.2. Grau de um polinômio  2.1.3. Zeros de um polinômio  2.1.4. Fatoração de polinômios  2.1.5. Identidades algébricas  2.2. Equações lineares em duas variáveis  2.2.1. Gráficos de equações lineares  2.2.2. Soluções de equações lineares  2.2.3. Aplicação de equações lineares em problemas de palavras  2.3. Entendendo Equações Quadráticas  2.3.1. Forma padrão de equação quadrática  2.3.2. Métodos para resolver equações quadráticas  2.3.2.1. Método de fatoração  2.3.2.2. Método de completar o quadrado  2.3.2.3. Fórmula quadrática  2.3.3. Compreendendo a natureza das raízes em equações quadráticas  2.4. Entendendo progressões aritméticas  2.4.1. Definição de progressão aritmética  2.4.2. Termo geral da Progressão Aritmética (PA)  2.4.3. A soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética  2.5. Introdução às funções  2.5.1. Definição e tipos de funções  2.5.2. Domínio e imagem  2.5.3. Estrutura dos trabalhos  2.5.4. Inverso de uma função
  3. Geometria coordenada  3.1. Introdução ao sistema cartesiano em geometria coordenada  3.2. Fórmula da distância  3.3. Fórmula da seção  3.4. Área de um triângulo  3.5. Inclinação da linha  3.6. Equação de uma linha em geometria coordenada  3.6.1. Forma de inclinação-interceptação  3.6.2. Introdução à forma ponto-inclinação  3.6.3. Forma de dois pontos  3.6.4. Forma de interceptação  3.6.5. Forma geral da linha
  4. Trigonometria  4.1. Razões trigonométricas  4.1.1. Sen, cosseno, tangente e seus inversos  4.1.2. Compreendendo os valores das razões trigonométricas em ângulos específicos  4.2. Identidades Trigonométricas  4.3. Relações trigonométricas de ângulos complementares  4.4. Alturas e distâncias  4.4.1. Compreendendo ângulos de elevação e depressão  4.4.2. Aplicações em problemas da vida real
  5. Geometria  5.1. Triângulo  5.1.1. Congruência de triângulos  5.1.2. Critérios de conformidade  5.1.3. Propriedades dos triângulos  5.2. Compreendendo similaridade na geometria  5.2.1. Compreendendo formas semelhantes na geometria  5.2.2. Critérios de semelhança  5.2.3. Similaridade de triângulos  5.2.4. Aplicações do paralelismo na vida real  5.3. Compreendendo círculos na geometria  5.3.1. Propriedades do círculo  5.3.2. Tangente a um círculo  5.3.3. Número de tangentes a partir de um ponto  5.3.4. Ângulo subtendido pelo arco  5.4. Construções em geometria  5.4.1. Construção de triângulos semelhantes  5.4.2. Tangente a um círculo  5.4.3. Construção de uma bissetriz de ângulo
  6. Mensuração  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de um Triângulo  6.1.2. Compreendendo a área de um paralelogramo  6.1.3. Área do trapézio  6.1.4. Compreendendo a área de um losango  6.2. Área de superfície e volume  6.2.1. Área de superfície de cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.2. Área de superfície do cone e esfera  6.2.3. Volume de um cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.4. Volume de cone e esfera  6.3. Conversão de unidades  6.4. Tronco de cone
  7. Figuras  7.1. Introdução à estatística  7.2. Coleta de dados  7.3. Apresentação de dados  7.3.1. Forma Tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: Uma ferramenta para representação gráfica em estatística  7.3.2.3. Polígono de frequência  7.3.2.4. Ogiva  7.4. Medidas de tendência central  7.4.1. Média, mediana e moda  7.4.2. Compreendendo Quartis e Percentis  7.5. Medidas de dispersão  7.5.1. Alcance e intervalo interquartil  7.5.2. Desvio Padrão e Variância
  8. Possibilidade  8.1. Introdução à Probabilidade  8.2. Probabilidade experimental  8.3. Probabilidade teórica  8.4. Probabilidade de eventos simples  8.5. Programas Complementares  8.6. Probabilidade de eventos mistos

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Método de fatoração


O método de fatoração é uma técnica usada para resolver equações quadráticas. Uma equação quadrática é uma equação desta forma:

ax^2 + bx + c = 0

onde a, b e c são constantes, e x é a variável a ser resolvida. O objetivo da fatoração é expressar a equação quadrática como o produto de dois binômios.

Entendendo equações quadráticas

Para entender completamente o método de fatoração, vamos primeiro ver como se parece uma equação quadrática. Considere a equação:

x^2 + 5x + 6 = 0

Esta é uma equação quadrática simples. Aqui, a = 1, b = 5, e c = 6.

Passos para resolver por fatoração

Resolver uma equação quadrática por fatoração envolve os seguintes passos principais:

Passo 1: Identifique a equação

Primeiro, certifique-se de que a equação quadrática está na forma padrão ax^2 + bx + c = 0.

Passo 2: Fatorar a quadrática

Para fatorar o fator quadrático, precisamos de dois números, digamos m e n, tais que:

  • m * n = a * c
  • m + n = b

Passo 3: Escrever como produto de binômios

Expressar a equação quadrática da seguinte forma:

(x + m)(x + n) = 0

Passo 4: Resolver para x

Coloque cada fator igual a zero e resolva para x:

x + m = 0
x + n = 0

Exemplo 1: Resolvendo x^2 + 5x + 6 = 0

Vamos aplicar o método de fatoração para resolver:

x^2 + 5x + 6 = 0

  1. Identifique a = 1, b = 5, c = 6.

  2. Precisamos de dois números que multipliquem por a * c = 1 * 6 = 6 e somem para b = 5.

    • Pares possíveis: (2, 3) porque 2 * 3 = 6 e 2 + 3 = 5.

  3. Reescreva a equação usando esses fatores:

    x^2 + 2x + 3x + 6 = 0

  4. Agrupe os termos e fatorize:

    (x^2 + 2x) + (3x + 6) = 0
    x(x + 2) + 3(x + 2) = 0

  5. Encontre o fator comum (x + 2):

    (x + 2)(x + 3) = 0

  6. Coloque cada fator igual a zero e resolva para x:

    x + 2 = 0 => x = -2
    x + 3 = 0 => x = -3

As soluções são x = -2 e x = -3.

Exemplo 2: Resolvendo 2x^2 + 7x + 3 = 0

Agora, vamos considerar outro exemplo:

2x^2 + 7x + 3 = 0

  1. Aqui, a = 2, b = 7, c = 3.

  2. Precisamos de dois números cujo produto seja a * c = 2 * 3 = 6 e a soma seja b = 7.

    • Pares possíveis: (6, 1) porque 6 * 1 = 6 e 6 + 1 = 7.

  3. Reescreva a equação usando esses números:

    2x^2 + 6x + 1x + 3 = 0

  4. Agrupe os termos e fatores:

    (2x^2 + 6x) + (1x + 3) = 0
    2x(x + 3) + 1(x + 3) = 0

  5. Encontre o fator comum (x + 3):

    (2x + 1)(x + 3) = 0

  6. Coloque cada fator igual a zero e resolva para x:

    2x + 1 = 0 => 2x = -1 => x = -1/2
    x + 3 = 0 => x = -3

As soluções são x = -1/2 e x = -3.

Exemplo 3: Resolvendo 3x^2 - 12x + 12 = 0

Finalmente, vamos pegar a equação quadrática:

3x^2 - 12x + 12 = 0

  1. Aqui, a = 3, b = -12, c = 12.

  2. Produto necessário: a * c = 36 e soma necessária: -12.

    • Pares possíveis: (-6, -6) porque -6 * -6 = 36 e -6 + -6 = -12.

  3. Reescreva a equação:

    3x^2 - 6x - 6x + 12 = 0

  4. Agrupe os termos e fatores:

    (3x^2 - 6x) - (6x - 12) = 0
    3x(x - 2) - 6(x - 2) = 0

  5. Encontre o fator comum (x - 2):

    (3x - 6)(x - 2) = 0

  6. Coloque cada fator igual a zero e resolva para x:

    3x - 6 = 0 => 3x = 6 => x = 2
    x - 2 = 0 => x = 2

Sua solução é x = 2 (uma raiz repetida).

Representação visual

A visualização pode ajudar na compreensão da fatoração. Abaixo está uma representação da fatoração de x^2 + 5x + 6.

x^2 + 5x + 6 , 0

Divida em fatores da seguinte forma:

(x + 2) (x + 3)

Você pode ver como a expressão x^2 + 5x + 6 (x + 2)(x + 3) é decomposta em fatores.

Casos especiais

Às vezes, a fatoração envolve padrões especiais, como diferença de quadrados, trinômios quadrados perfeitos, ou não é possível com números reais.

Diferença de quadrados

Uma quadrática na forma x^2 - y^2 pode ser fatorada como (x + y)(x - y).

Exemplo: x^2 - 49 = (x + 7)(x - 7)

Trinômio quadrado perfeito

Uma quadrática na forma (x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2 é um trinômio quadrado perfeito.

Exemplo: x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2

Quadriláteros não fatoráveis

Às vezes, os inteiros m e n podem não existir para satisfazer as condições de multiplicação-soma, especialmente se números complexos forem necessários. Nesses casos, métodos alternativos como completar o quadrado ou usar a fórmula quadrática podem ser usados. Eles são úteis.

O método de fatoração é eficaz para resolver muitas equações quadráticas, especialmente quando é possível decompô-las em fatores inteiros.

Prática

  1. Fatore x^2 - 9x + 18 = 0 e resolva.
  2. Resolva por fatoração: 2x^2 + x - 1 = 0.
  3. Fatore 3x^2 - x - 2 = 0 e encontre x.
  4. Determine as soluções para x^2 + 4x + 4 = 0 usando fatoração.
  5. Usando fatoração, resolva x^2 - 4 = 0.

Praticar esses exemplos ajudará a fortalecer a compreensão do método de fatoração na resolução de equações quadráticas.

O método de fatoração oferece uma abordagem elegante e simples para resolver equações quadráticas, convertendo-as em produto de fatores lineares e depois encontrando suas raízes.


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Método de fatoração

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