कारक विधि

कारक विधि एक तकनीक है जिसका उपयोग द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है। एक द्विघात समीकरण इस रूप का समीकरण होता है:

ax^2 + bx + c = 0

जहाँ a, b, और c स्थिरांक हैं, और x वह चर है जिसे हल करना है। कारक बनाने का उद्देश्य द्विघात समीकरण को दो द्विपदों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करना है।

द्विघात समीकरणों को समझना

कारक विधि को पूरी तरह से समझने के लिए, पहले यह देखना महत्वपूर्ण है कि द्विघात समीकरण कैसा दिखता है। इस समीकरण पर विचार करें:

x^2 + 5x + 6 = 0

यह एक साधारण द्विघात समीकरण है। यहाँ, a = 1, b = 5, और c = 6 हैं।

कारक विधि से हल करने के चरण

कारक विधि का उपयोग करके द्विघात समीकरण को हल करने के ये मुख्य चरण होते हैं:

चरण 1: समीकरण की पहचान करें

सबसे पहले, सुनिश्चित करें कि द्विघात समीकरण मानक रूप ax^2 + bx + c = 0 में है।

चरण 2: द्विघात का कारक बनाएं

द्विघात कारक निकालने के लिए, हमें दो संख्याएं चाहिए, जिन्हें m और n कहा जा सकता है, ताकि:

• m * n = a * c
• m + n = b

चरण 3: द्विपदों के गुणनफल के रूप में लिखें

द्विघात समीकरण को इस प्रकार व्यक्त करें:

(x + m)(x + n) = 0

चरण 4: x के लिए हल करें

प्रत्येक कारक को शून्य के बराबर करके x के लिए हल करें:

x + m = 0

x + n = 0

उदाहरण 1: x^2 + 5x + 6 = 0 को हल करना

आइए कारक विधि का उपयोग करके हल करें:

x^2 + 5x + 6 = 0

1. पहचानें a = 1, b = 5, c = 6।

2. हमें दो संख्याओं की आवश्यकता है जो a * c = 1 * 6 = 6 के गुणनफल और b = 5 का योग दें।

   • संभावित जोड़े: (2, 3) क्योंकि 2 * 3 = 6 और 2 + 3 = 5।

3. इन कारकों का उपयोग करके समीकरण को पुनः लिखें:

   x^2 + 2x + 3x + 6 = 0

4. पदों को समूहित करके कारक बनाएं:

   (x^2 + 2x) + (3x + 6) = 0

   x(x + 2) + 3(x + 2) = 0

5. सामान्य कारक (x + 2) निकालें:

   (x + 2)(x + 3) = 0

6. प्रत्येक कारक को शून्य के बराबर करके x के लिए हल करें:

   x + 2 = 0 => x = -2

   x + 3 = 0 => x = -3

समाधान हैं x = -2 और x = -3।

उदाहरण 2: 2x^2 + 7x + 3 = 0 को हल करना

अब, एक अन्य उदाहरण पर विचार करें:

2x^2 + 7x + 3 = 0

1. यहाँ, a = 2, b = 7, c = 3।

2. हमें दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल a * c = 2 * 3 = 6 और योग b = 7 हो।

   • संभावित जोड़े: (6, 1) क्योंकि 6 * 1 = 6 और 6 + 1 = 7।

3. इन संख्याओं का उपयोग करके समीकरण को पुनः लिखें:

   2x^2 + 6x + 1x + 3 = 0

4. पदों को समूहित करके कारक बनाएं:

   (2x^2 + 6x) + (1x + 3) = 0

   2x(x + 3) + 1(x + 3) = 0

5. सामान्य कारक (x + 3) निकालें:

   (2x + 1)(x + 3) = 0

6. प्रत्येक कारक को शून्य के बराबर करके x के लिए हल करें:

   2x + 1 = 0 => 2x = -1 => x = -1/2

   x + 3 = 0 => x = -3

समाधान हैं x = -1/2 और x = -3।

उदाहरण 3: 3x^2 - 12x + 12 = 0 को हल करना

अंततः, इस द्विघात समीकरण पर विचार करें:

3x^2 - 12x + 12 = 0

1. यहाँ, a = 3, b = -12, c = 12।

2. आवश्यक गुणनफल: a * c = 36 और आवश्यक योग: -12।

   • संभावित जोड़े: (-6, -6) क्योंकि -6 * -6 = 36 और -6 + -6 = -12।

3. समीकरण को पुनः लिखें:

   3x^2 - 6x - 6x + 12 = 0

4. पदों को समूहित करके कारक बनाएं:

   (3x^2 - 6x) - (6x - 12) = 0

   3x(x - 2) - 6(x - 2) = 0

5. सामान्य कारक (x - 2) निकालें:

   (3x - 6)(x - 2) = 0

6. प्रत्येक कारक को शून्य के बराबर करके x के लिए हल करें:

   3x - 6 = 0 => 3x = 6 => x = 2

   x - 2 = 0 => x = 2

इसका समाधान x = 2 है (एक पुनरावृत्ति वाली जड़)।

दृश्य प्रस्तुति

कारक को समझने में दृश्य प्रस्तुति मददगार हो सकती है। नीचे x^2 + 5x + 6 के कारक के रूप में प्रस्तुति है।

इसे निम्नलिखित कारकों में विभाजित करें:

आप देख सकते हैं कि कैसे x^2 + 5x + 6 (x + 2)(x + 3) कारकों में विभाजित किया गया है।

विशेष मामले

कभी-कभी, कारक बनाना विशेष प्रकार के पैटर्न शामिल करता है जैसे कि वर्गों का अंतर, पूर्ण वर्ग त्रिनोमियाल, या वास्तविक संख्याओं के साथ कारक बनाना संभव नहीं होता है।

वर्गों का अंतर

एक द्विघात जिसे x^2 - y^2 के रूप में लिखा जा सकता है, को (x + y)(x - y) के रूप में कारक बनाया जा सकता है।

उदाहरण: x^2 - 49 = (x + 7)(x - 7)

पूर्ण वर्ग त्रिनोमियाल

एक द्विघात जिसे (x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2 के रूप में लिखा जा सकता है, पूर्ण वर्ग त्रिनोमियाल होता है।

उदाहरण: x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2

गैर-कारकिय द्विघात

कभी-कभी, m और n पूरी संख्या में गुणन-योग की स्थितियों को संतुष्ट करने के लिए मौजूद नहीं होते हैं, विशेष रूप से जब जटिल संख्याओं की आवश्यकता होती है। ऐसे मामलों में, वर्ग पूरा करने या द्विघात सूत्र का उपयोग करने जैसे वैकल्पिक तरीकों का उपयोग किया जा सकता है। ये तरीकों सहायक होते हैं।

कारक विधि कई द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए प्रभावी विधि है, विशेष रूप से जब इसे पूर्णांक कारकों में विभाजित किया जा सके।

अभ्यास

1. x^2 - 9x + 18 = 0 का कारक बनाएं और हल करें।
2. कारक विधि से हल करें: 2x^2 + x - 1 = 0।
3. 3x^2 - x - 2 = 0 का कारक बनाएं और x निकालें।
4. कारक विधि का उपयोग करके x^2 + 4x + 4 = 0 के लिए समाधान ढूंढें।
5. कारक विधि का उपयोग करके x^2 - 4 = 0 हल करें।

इन उदाहरणों का अभ्यास करने से द्विघात समीकरणों को हल करने में कारक विधि को समझने की संभावना बढ़ेगी।

कारक विधि द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एक सुरुचिपूर्ण और सरल दृष्टिकोण प्रदान करती है जो इन्हें रेखीय कारकों के उत्पाद में बदलती है और फिर उनके मूल ढूंढती है।

टिप्पणियाँ