Grado 10
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propiedades de los Números Reales  1.1.2. Números racionales e irracionales  1.1.3. Representación decimal de números reales  1.1.4. Operaciones con números reales  1.1.5. Números reales en la recta numérica  1.2. El lema de la división de Euclides  1.3. Factorización Prima  1.4. Comprender el MCM y el MCD en los sistemas numéricos  1.5. Exponentes y Radicales  1.5.1. Leyes de los exponentes  1.5.2. Simplificación de expresiones básicas  1.5.3. Notación científica
  2. Entendiendo el álgebra  2.1. Polinomios  2.1.1. Definición y tipos de polinomios  2.1.2. Grado de un polinomio  2.1.3. Ceros de un polinomio  2.1.4. Factorización de polinomios  2.1.5. Identidades algebraicas  2.2. Ecuaciones lineales en dos variables  2.2.1. Gráficas de ecuaciones lineales  2.2.2. Soluciones de ecuaciones lineales  2.2.3. Aplicación de ecuaciones lineales en problemas de palabras  2.3. Comprendiendo las ecuaciones cuadráticas  2.3.1. Forma estándar de la ecuación cuadrática  2.3.2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas  2.3.2.1. Método de factorización  2.3.2.2. Método de completar el cuadrado  2.3.2.3. Fórmula cuadrática  2.3.3. Comprendiendo la naturaleza de las raíces en las ecuaciones cuadráticas  2.4. Comprendiendo las progresiones aritméticas  2.4.1. Definición de progresión aritmética  2.4.2. Término general de la progresión aritmética (PA)  2.4.3. La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética  2.5. Introducción a las funciones  2.5.1. Definición y tipos de funciones  2.5.2. Dominio y rango  2.5.3. Estructura de los trabajos  2.5.4. Inverso de una función
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Introducción al sistema cartesiano en geometría de coordenadas  3.2. Fórmula de distancia  3.3. Fórmula de la sección  3.4. Área de un triángulo  3.5. Pendiente de la línea  3.6. Ecuación de una línea en geometría coordinada  3.6.1. Forma de pendiente-intersección  3.6.2. Introducción a la forma punto-pendiente  3.6.3. Forma de dos puntos  3.6.4. Forma de intersección  3.6.5. Forma general de la línea
  4. Trigonometría  4.1. Relaciones trigonométricas  4.1.1. Seno, coseno, tangente y sus inversos  4.1.2. Comprender los valores de las razones trigonométricas en ángulos específicos  4.2. Identidades trigonométricas  4.3. Relaciones trigonométricas de ángulos complementarios  4.4. Alturas y distancias  4.4.1. Comprender los ángulos de elevación y depresión  4.4.2. Aplicaciones en problemas de la vida real
  5. Geometría  5.1. Triángulo  5.1.1. Congruencia de triángulos  5.1.2. Criterios de conformidad  5.1.3. Propiedades de los triángulos  5.2. Entendiendo la similitud en geometría  5.2.1. Entendiendo formas similares en geometría  5.2.2. Criterios de similitud  5.2.3. Similitud de triángulos  5.2.4. Aplicaciones del paralelismo en la vida real  5.3. Comprensión de los círculos en geometría  5.3.1. Propiedades del círculo  5.3.2. Tangente a un círculo  5.3.3. Número de tangentes desde un punto  5.3.4. Ángulo subtendido por el arco  5.4. Construcciones en geometría  5.4.1. Construcción de triángulos similares  5.4.2. Tangente a un círculo  5.4.3. Construcción de una bisectriz de ángulo
  6. Mensuración  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de un Triángulo  6.1.2. Comprendiendo el área de un paralelogramo  6.1.3. Área del trapecio  6.1.4. Comprendiendo el área de un rombo  6.2. Área de superficie y volumen  6.2.1. Área superficial de cubo, cuboide y cilindro  6.2.2. Área de superficie de cono y esfera  6.2.3. Volumen de un cubo, un cuboide y un cilindro  6.2.4. Volumen de cono y esfera  6.3. Conversión de unidades  6.4. Tronco de un cono
  7. Figuras  7.1. Introducción a la estadística  7.2. Colección de datos  7.3. Presentación de datos  7.3.1. Forma tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: una herramienta para la representación gráfica en estadísticas  7.3.2.3. Polígono de frecuencias  7.3.2.4. Ojiva  7.4. Medidas de tendencia central  7.4.1. Media, mediana y moda  7.4.2. Comprendiendo cuartiles y percentiles  7.5. Medidas de dispersión  7.5.1. Rango y rango intercuartil  7.5.2. Desviación estándar y varianza
  8. Posibilidad  8.1. Introducción a la Probabilidad  8.2. Probabilidad experimental  8.3. Probabilidad teórica  8.4. Probabilidad de eventos simples  8.5. Programas complementarios  8.6. Probabilidad de eventos mixtos

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Método de factorización


El método de factorización es una técnica utilizada para resolver ecuaciones cuadráticas. Una ecuación cuadrática es una ecuación de la siguiente forma:

ax^2 + bx + c = 0

donde a, b, y c son constantes, y x es la variable que se debe resolver. El objetivo de la factorización es expresar la ecuación cuadrática como el producto de dos binomios.

Entender las ecuaciones cuadráticas

Para entender completamente el método de factorización, primero veamos cómo es una ecuación cuadrática. Considere la ecuación:

x^2 + 5x + 6 = 0

Esta es una ecuación cuadrática simple. Aquí, a = 1, b = 5, y c = 6.

Pasos para resolver mediante factorización

Resolver una ecuación cuadrática mediante factorización implica estos pasos principales:

Paso 1: Identificar la ecuación

Primero, asegúrese de que la ecuación cuadrática esté en la forma estándar ax^2 + bx + c = 0.

Paso 2: Factorizar la cuadrática

Para factorizar la cuadrática, necesitamos dos números, digamos m y n, tales que:

  • m * n = a * c
  • m + n = b

Paso 3: Escribir como un producto de binomios

Exprese la ecuación cuadrática de la siguiente manera:

(x + m)(x + n) = 0

Paso 4: Resolver para x

Establezca cada factor igual a cero y resuelva para x:

x + m = 0
x + n = 0

Ejemplo 1: Resolver x^2 + 5x + 6 = 0

Apliquemos el método de factorización para resolver:

x^2 + 5x + 6 = 0

  1. Identificar a = 1, b = 5, c = 6.

  2. Necesitamos dos números que se multipliquen por a * c = 1 * 6 = 6 y sumen b = 5.

    • Pares posibles: (2, 3) porque 2 * 3 = 6 y 2 + 3 = 5.

  3. Vuelva a escribir la ecuación usando estos factores:

    x^2 + 2x + 3x + 6 = 0

  4. Agrupe los términos y factorice:

    (x^2 + 2x) + (3x + 6) = 0
    x(x + 2) + 3(x + 2) = 0

  5. Encuentre el factor común (x + 2):

    (x + 2)(x + 3) = 0

  6. Establezca cada factor igual a cero y resuelva para x:

    x + 2 = 0 => x = -2
    x + 3 = 0 => x = -3

Las soluciones son x = -2 y x = -3.

Ejemplo 2: Resolver 2x^2 + 7x + 3 = 0

A continuación, consideremos otro ejemplo:

2x^2 + 7x + 3 = 0

  1. Aquí, a = 2, b = 7, c = 3.

  2. Necesitamos dos números cuyo producto sea a * c = 2 * 3 = 6 y la suma sea b = 7.

    • Pares posibles: (6, 1) porque 6 * 1 = 6 y 6 + 1 = 7.

  3. Vuelva a escribir la ecuación usando estos números:

    2x^2 + 6x + 1x + 3 = 0

  4. Agrupe términos y factorice:

    (2x^2 + 6x) + (1x + 3) = 0
    2x(x + 3) + 1(x + 3) = 0

  5. Encuentre el factor común (x + 3):

    (2x + 1)(x + 3) = 0

  6. Establezca cada factor igual a cero y resuelva para x:

    2x + 1 = 0 => 2x = -1 => x = -1/2
    x + 3 = 0 => x = -3

Las soluciones son x = -1/2 y x = -3.

Ejemplo 3: Resolver 3x^2 - 12x + 12 = 0

Finalmente, tomemos la ecuación cuadrática:

3x^2 - 12x + 12 = 0

  1. Aquí, a = 3, b = -12, c = 12.

  2. Producto requerido: a * c = 36 y suma requerida: -12.

    • Pares posibles: (-6, -6) porque -6 * -6 = 36 y -6 + -6 = -12.

  3. Vuelva a escribir la ecuación:

    3x^2 - 6x - 6x + 12 = 0

  4. Agrupe términos y factorice:

    (3x^2 - 6x) - (6x - 12) = 0
    3x(x - 2) - 6(x - 2) = 0

  5. Encuentre el factor común (x - 2):

    (3x - 6)(x - 2) = 0

  6. Establezca cada factor igual a cero y resuelva para x:

    3x - 6 = 0 => 3x = 6 => x = 2
    x - 2 = 0 => x = 2

Su solución es x = 2 (una raíz repetida).

Representación visual

La visualización puede ayudar a entender la factorización. A continuación se muestra una representación de la factorización de x^2 + 5x + 6.

x^2 + 5x + 6 , 0

Divídalo en los siguientes factores:

(x + 2) (x + 3)

Puede ver cómo la expresión x^2 + 5x + 6 (x + 2)(x + 3) se descompone en factores.

Casos especiales

A veces, factorizar implica patrones especiales, como diferencia de cuadrados, trinomios cuadrados perfectos, o no es posible con números reales.

Diferencia de cuadrados

Un cuadrático de la forma x^2 - y^2 se puede factorizar como (x + y)(x - y).

Ejemplo: x^2 - 49 = (x + 7)(x - 7)

Trinomio cuadrado perfecto

Un cuadrático de la forma (x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2 es un trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplo: x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2

Cuadriláteros no factorizables

A veces, los enteros m y n pueden no existir para satisfacer las condiciones de multiplicación y suma, especialmente si se requieren números complejos. En tales casos, se pueden utilizar métodos alternativos como completar el cuadrado o usar la fórmula cuadrática. Ellos son útiles.

El método de factorización es eficaz para resolver muchas ecuaciones cuadráticas, especialmente cuando es posible descomponer en factores enteros.

Práctica

  1. Factorice x^2 - 9x + 18 = 0 y resuelva.
  2. Resuelva por factorización: 2x^2 + x - 1 = 0.
  3. Factorice 3x^2 - x - 2 = 0 y encuentre x.
  4. Determine las soluciones para x^2 + 4x + 4 = 0 utilizando factorización.
  5. Usando factorización, resuelva x^2 - 4 = 0.

Practicar estos ejemplos ayudará a fortalecer la comprensión del método de factorización para resolver ecuaciones cuadráticas.

El método de factorización proporciona un enfoque elegante y simple para resolver ecuaciones cuadráticas convirtiéndolas en el producto de factores lineales y luego encontrando sus raíces.


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