10º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propriedades dos Números Reais  1.1.2. Números racionais e irracionais  1.1.3. Representação decimal de números reais  1.1.4. Operações com números reais  1.1.5. Números reais na reta numérica  1.2. O lema da divisão de Euclides  1.3. Fatoração de números primos  1.4. Compreendendo o MMC e o MDC em sistemas numéricos  1.5. Expoentes e Radicais  1.5.1. Leis dos expoentes  1.5.2. Simplificação de expressões básicas  1.5.3. Notação científica
  2. Compreendendo Algebra  2.1. Polinômios  2.1.1. Definição e tipos de polinômios  2.1.2. Grau de um polinômio  2.1.3. Zeros de um polinômio  2.1.4. Fatoração de polinômios  2.1.5. Identidades algébricas  2.2. Equações lineares em duas variáveis  2.2.1. Gráficos de equações lineares  2.2.2. Soluções de equações lineares  2.2.3. Aplicação de equações lineares em problemas de palavras  2.3. Entendendo Equações Quadráticas  2.3.1. Forma padrão de equação quadrática  2.3.2. Métodos para resolver equações quadráticas  2.3.2.1. Método de fatoração  2.3.2.2. Método de completar o quadrado  2.3.2.3. Fórmula quadrática  2.3.3. Compreendendo a natureza das raízes em equações quadráticas  2.4. Entendendo progressões aritméticas  2.4.1. Definição de progressão aritmética  2.4.2. Termo geral da Progressão Aritmética (PA)  2.4.3. A soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética  2.5. Introdução às funções  2.5.1. Definição e tipos de funções  2.5.2. Domínio e imagem  2.5.3. Estrutura dos trabalhos  2.5.4. Inverso de uma função
  3. Geometria coordenada  3.1. Introdução ao sistema cartesiano em geometria coordenada  3.2. Fórmula da distância  3.3. Fórmula da seção  3.4. Área de um triângulo  3.5. Inclinação da linha  3.6. Equação de uma linha em geometria coordenada  3.6.1. Forma de inclinação-interceptação  3.6.2. Introdução à forma ponto-inclinação  3.6.3. Forma de dois pontos  3.6.4. Forma de interceptação  3.6.5. Forma geral da linha
  4. Trigonometria  4.1. Razões trigonométricas  4.1.1. Sen, cosseno, tangente e seus inversos  4.1.2. Compreendendo os valores das razões trigonométricas em ângulos específicos  4.2. Identidades Trigonométricas  4.3. Relações trigonométricas de ângulos complementares  4.4. Alturas e distâncias  4.4.1. Compreendendo ângulos de elevação e depressão  4.4.2. Aplicações em problemas da vida real
  5. Geometria  5.1. Triângulo  5.1.1. Congruência de triângulos  5.1.2. Critérios de conformidade  5.1.3. Propriedades dos triângulos  5.2. Compreendendo similaridade na geometria  5.2.1. Compreendendo formas semelhantes na geometria  5.2.2. Critérios de semelhança  5.2.3. Similaridade de triângulos  5.2.4. Aplicações do paralelismo na vida real  5.3. Compreendendo círculos na geometria  5.3.1. Propriedades do círculo  5.3.2. Tangente a um círculo  5.3.3. Número de tangentes a partir de um ponto  5.3.4. Ângulo subtendido pelo arco  5.4. Construções em geometria  5.4.1. Construção de triângulos semelhantes  5.4.2. Tangente a um círculo  5.4.3. Construção de uma bissetriz de ângulo
  6. Mensuração  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de um Triângulo  6.1.2. Compreendendo a área de um paralelogramo  6.1.3. Área do trapézio  6.1.4. Compreendendo a área de um losango  6.2. Área de superfície e volume  6.2.1. Área de superfície de cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.2. Área de superfície do cone e esfera  6.2.3. Volume de um cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.4. Volume de cone e esfera  6.3. Conversão de unidades  6.4. Tronco de cone
  7. Figuras  7.1. Introdução à estatística  7.2. Coleta de dados  7.3. Apresentação de dados  7.3.1. Forma Tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: Uma ferramenta para representação gráfica em estatística  7.3.2.3. Polígono de frequência  7.3.2.4. Ogiva  7.4. Medidas de tendência central  7.4.1. Média, mediana e moda  7.4.2. Compreendendo Quartis e Percentis  7.5. Medidas de dispersão  7.5.1. Alcance e intervalo interquartil  7.5.2. Desvio Padrão e Variância
  8. Possibilidade  8.1. Introdução à Probabilidade  8.2. Probabilidade experimental  8.3. Probabilidade teórica  8.4. Probabilidade de eventos simples  8.5. Programas Complementares  8.6. Probabilidade de eventos mistos

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Equações lineares em duas variáveis


Equações lineares em duas variáveis são um conceito fundamental em matemática. Elas são equações que envolvem duas variáveis diferentes, geralmente denotadas como x e y. A forma geral de uma equação linear em duas variáveis é:

ax + by = c

Nesta equação, a, b e c são constantes, e x e y são variáveis. Os coeficientes a e b são números multiplicados por x e y, respectivamente, e c é um termo constante.

Vamos analisar isso:

  • Linear: Isso significa que a equação representa uma linha reta quando plotada no plano de coordenadas.
  • Equação: Uma equação é uma afirmação matemática que afirma a igualdade de duas expressões.
  • Duas variáveis: A equação envolve duas incógnitas ou variáveis.

Em uma equação linear em duas variáveis, cada ponto na linha é uma solução para a equação. Em outras palavras, se você tiver um par ordenado (x, y) que satisfaz a equação, então ele estará na linha representada pela equação.

Representação gráfica

O aspecto mais importante das equações lineares é a sua representação gráfica. Em duas dimensões, uma equação linear representa uma linha reta no plano cartesiano.

X Y

No exemplo acima, a linha azul representa o gráfico de uma equação linear. Os eixos pretos são o sistema de coordenadas cartesianas, onde a linha horizontal é o eixo x e a linha vertical é o eixo y. Qualquer ponto (x, y) na linha azul é uma solução para a equação linear que ela representa.

Encontrando uma solução

Para encontrar uma solução para uma equação linear em duas variáveis, você escolhe um valor para uma variável e resolve para a outra. Por exemplo, dada a equação:

2x + 3y = 6

Se você escolher x = 0, pode resolver para y:

2(0) + 3y = 6 3y = 6 y = 2

Portanto, uma solução é (0, 2). Da mesma forma, você pode escolher y = 0 e resolver para x:

2x + 3(0) = 6 2x = 6 x = 3

A segunda solução é (3, 0). Você pode encontrar muitos pares de pontos que satisfazem a equação, e esses pontos formarão uma linha que representa a equação no gráfico.

Obstruções

A interseção no eixo x é o ponto onde o gráfico cruza o eixo x. Nesse ponto, o valor de y é zero. A interseção no eixo y é o ponto onde o gráfico cruza o eixo y, onde o valor de x é zero.

Para a equação ax + by = c, as interseções podem ser encontradas da seguinte forma:

  • Para encontrar a interseção no eixo y, defina x = 0 e resolva para y.
  • Substitua y = 0 e resolva para x para encontrar a interseção no eixo x.

Por exemplo, considere a equação 4x + 5y = 20:

Encontrando a Interseção no eixo Y:

4(0) + 5y = 20 5y = 20 y = 4

A interseção no eixo y é (0, 4).

Encontrando a interseção no eixo x:

4x + 5(0) = 20 4x = 20 x = 5

A interseção no eixo x é (5, 0).

Inclinação da linha

A inclinação de uma linha mede sua inclinação e direção. É calculada como a razão da variação em y (mudança vertical) para a variação em x (mudança horizontal) entre quaisquer dois pontos na linha. Matematicamente, a inclinação m é dada como:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Por exemplo, encontre a inclinação da linha que passa pelos pontos (1, 2) e (3, 6):

m = (6 - 2) / (3 - 1) = 4 / 2 = 2

Portanto, a inclinação da linha é 2. Uma inclinação positiva indica que a linha está subindo à medida que nos movemos da esquerda para a direita, enquanto uma inclinação negativa indica que a linha está descendo.

Forma padrão e forma de interseção com inclinação

Equações lineares podem ser expressas em diferentes formas. Duas formas comuns são a forma padrão e a forma de interseção com inclinação.

  • Forma Padrão: Ax + By = C, onde A, B e C são inteiros, e A deve ser não negativo.
  • Forma de interseção com inclinação: y = mx + b, onde m é a inclinação e b é a interseção no eixo y.

Você pode converter entre essas formas usando manipulação algébrica. Por exemplo, para converter uma equação em forma padrão para a forma de interseção com inclinação, resolva para y:

4x + 3y = 12 3y = -4x + 12 y = -4/3x + 4

Resolvendo sistemas de equações lineares

Às vezes, você precisa resolver um sistema de equações lineares, que consiste em duas ou mais equações lineares. Existem várias maneiras de resolver sistemas de equações, tais como:

  • Método Gráfico: Represente graficamente cada equação e encontre os pontos de interseção.
  • Método de Substituição: Resolva uma equação para uma variável e, em seguida, substitua na outra equação.
  • Método de Eliminação: Adicione ou subtraia equações para eliminar uma variável e, em seguida, resolva para a outra.

Considere um sistema de equações:

2x + y = 5 x - y = 1

Usos do método de substituição:

Da segunda equação: x = y + 1 Substitua na primeira equação: 2(y + 1) + y = 5 2y + 2 + y = 5 3y = 3 y = 1 x = 2

A solução do sistema é (2, 1).

Aplicações das equações lineares

Equações lineares em duas variáveis aparecem em uma variedade de situações do mundo real. Algumas aplicações incluem:

  • Negócios: Encontrar o ponto de equilíbrio calculando custos e receitas.
  • Física: Análise de movimento constante ou movimento uniforme.
  • Economia: Previsão de demanda e oferta usando modelos lineares.

Compreender equações lineares ajuda a resolver problemas práticos onde a relação entre duas quantidades é linear ou diretamente proporcional.

Conclusão

Equações lineares em duas variáveis formam a base para entender conceitos algébricos e geométricos mais complexos. Compreender como essas equações representam linhas em um gráfico, encontrar soluções e aplicá-las a situações da vida real é importante para os estudantes. Ao dominar este tópico, os alunos podem avançar com confiança para explorações matemáticas mais sofisticadas.


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