Класс 10
  1. Системы чисел  1.1. Действительные числа  1.1.1. Свойства вещественных чисел  1.1.2. Рациональные и иррациональные числа  1.1.3. Десятичное представление вещественных чисел  1.1.4. Операции с действительными числами  1.1.5. Действительные числа на числовой прямой  1.2. Лемма Евклида о делении  1.3. Разложение на простые множители  1.4. Понимание НОК и НОД в числовых системах  1.5. Показатели степени и корни  1.5.1. Законы степеней  1.5.2. Упрощение базовых выражений  1.5.3. Научная нотация
  2. Понимание алгебры  2.1. Многочлены  2.1.1. Определение и виды многочленов  2.1.2. Степень многочлена  2.1.3. Нули многочлена  2.1.4. Факторизация многочленов  2.1.5. Алгебраические тождества  2.2. Линейные уравнения с двумя переменными  2.2.1. Графики линейных уравнений  2.2.2. Решения линейных уравнений  2.2.3. Применение линейных уравнений в текстовых задачах  2.3. Понимание квадратных уравнений  2.3.1. Стандартная форма квадратного уравнения  2.3.2. Методы решения квадратных уравнений  2.3.2.1. Метод разложения на множители  2.3.2.2. Метод завершения квадрата  2.3.2.3. Квадратная формула  2.3.3. Понимание природы корней в квадратных уравнениях  2.4. Понимание арифметических прогрессий  2.4.1. Определение арифметической прогрессии  2.4.2. Общий член арифметической прогрессии (АП)  2.4.3. Сумма первых n членов арифметической прогрессии  2.5. Введение в функции  2.5.1. Определение и виды функций  2.5.2. Область определения и область значений  2.5.3. Структура работ  2.5.4. Обратная функция
  3. Координатная геометрия  3.1. Введение в декартову систему в координатной геометрии  3.2. Формула расстояния  3.3. Формула отрезка  3.4. Площадь треугольника  3.5. Наклон линии  3.6. Уравнение прямой в координатной геометрии  3.6.1. Форма уравнения прямой с угловым коэффициентом  3.6.2. Введение в уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту  3.6.3. Форма с двумя точками  3.6.4. Перехватная форма  3.6.5. Общая форма линии
  4. Тригонометрия  4.1. Тригонометрические отношения  4.1.1. Синус, косинус, тангенс и их обратные функции  4.1.2. Понимание значений тригонометрических отношений при определенных углах  4.2. Тригонометрические тождества  4.3. Тригонометрические отношения дополнительного угла  4.4. Высоты и расстояния  4.4.1. Понимание углов возвышения и снижения  4.4.2. Применение в реальных задачах
  5. Геометрия  5.1. Треугольник  5.1.1. Соответствие треугольников  5.1.2. Критерии соответствия  5.1.3. Свойства треугольников  5.2. Понимание подобия в геометрии  5.2.1. Понимание подобных фигур в геометрии  5.2.2. Критерии подобия  5.2.3. Сходство треугольников  5.2.4. Применение параллелизма в реальной жизни  5.3. Понимание окружностей в геометрии  5.3.1. Свойства окружности  5.3.2. Касательная к окружности  5.3.3. Количество касательных из точки  5.3.4. Угол, подстилаемый дугой  5.4. Построения в геометрии  5.4.1. Построение подобных треугольников  5.4.2. Касательная к окружности  5.4.3. Построение биссектрисы угла
  6. Измерение  6.1. Площадь плоских фигур  6.1.1. Площадь треугольника  6.1.2. Понимание площади параллелограмма  6.1.3. Площадь трапеции  6.1.4. Понимание площади ромба  6.2. Площадь поверхности и объем  6.2.1. Площадь поверхности куба, параллелепипеда и цилиндра  6.2.2. Площадь поверхности конуса и сферы  6.2.3. Объем куба, параллелепипеда и цилиндра  6.2.4. Объем конуса и сферы  6.3. Преобразование единиц  6.4. Усеченный конус
  7. Фигуры  7.1. Введение в статистику  7.2. Сбор данных  7.3. Представление данных  7.3.1. Табличная форма  7.3.2. Графическая форма  7.3.2.1. Столбчатая диаграмма  7.3.2.2. Гистограмма: инструмент для графического представления в статистике  7.3.2.3. Полигон частот  7.3.2.4. Огива  7.4. Меры центральной тенденции  7.4.1. Среднее, медиана и мода  7.4.2. Понимание квартилей и процентилей  7.5. Меры изменения  7.5.1. Диапазон и межквартильный размах  7.5.2. Стандартное отклонение и дисперсия
  8. Возможность  8.1. Введение в теорию вероятностей  8.2. Экспериментальная вероятность  8.3. Теоретическая вероятность  8.4. Вероятность простых событий  8.5. Дополнительные программы  8.6. Вероятность смешанных событий

Класс 10 → Понимание алгебры ↓


Многочлены


Алгебра — это основная ветвь математики, и в 10 классе одной из важных тем, с которой вы столкнетесь, являются многочлены. Это всестороннее руководство направлено на формирование прочного понимания многочленов, их свойств и операций. К концу вы будете уверенно работать с многочленами как академически, так и практически.

Что такое многочлен?

Многочлен — это математическое выражение, состоящее из переменных, коэффициентов и операций сложения, вычитания и умножения. Многочлен можно рассматривать как сумму нескольких членов, где каждый член состоит из переменной, возведенной в степень, и коэффициента, умноженного на эту переменную.

Структура многочлена

Общая структура многочлена выражается следующим образом:

a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0

Здесь:

  • a n , a n-1 , ..., a 0 называются коэффициентами.
  • x обозначает переменную.
  • Каждый показатель степени x является неотрицательным целым числом.

Примеры многочленов

  • 3x 2 + 2x + 1 — это многочлен степени 2.
  • x 3 - 4x + 7 — это многочлен степени 3.
  • 5 — это многочлен степени 0.

Степень многочлена

Степень многочлена — это наивысшая степень переменной в многочлене. Она сообщает нам о наиболее значительном влиянии на значение многочлена при увеличении или уменьшении переменной.

Определение степени

Чтобы определить степень, просто найдите наибольшую степень в многочлене. Вот несколько примеров:

  • Степень 7x 5 - 3x 3 + x равна 5, потому что самая высокая степень — 5.
  • Степень 2x 4 + x 3 - 5 равна 4.
  • Степень 9x 2 + x + 6 равна 2.

Типы многочленов

Многочлены названы на основе их степени. Вот несколько распространенных типов:

  1. Константный многочлен: многочлен степени 0, как, например, 5 или -2.
  2. Линейный многочлен: многочлен степени 1, например, 2x + 1.
  3. Квадратный многочлен: многочлен степени 2, как, например, x 2 - 4x + 4.
  4. Кубический многочлен: многочлен степени 3, как, например, x 3 + 2x + 1.
  5. Четвертый многочлен: многочлен степени 4, как, например, x 4 - 2x 2 + x.

Операции с многочленами

Многочлены можно складывать, вычитать, умножать и делить, и каждая операция имеет свои правила.

Сложение

Чтобы сложить многочлены, складывайте подобные члены. Подобные члены — это те, в которых одна и та же переменная возведена в одну и ту же степень.

Пример:

(2x 2 + 3x + 5) + (x 2 + 4x + 2)
  • Сложить члены: 2x 2 + x 2 = 3x 2
  • Сложить члены: 3x + 4x = 7x
  • Сложить члены: 5 + 2 = 7

Результат: 3x 2 + 7x + 7

2x² , x² 3x , 4 x 5 , 2 = 3x² + 7x + 7

Вычитание

Чтобы вычесть многочлены, распределите отрицательные знаки по членам вычитаемого многочлена, а затем сложите подобные члены.

Пример:

(3x 3 + 2x - 5) - (x 3 - 4x + 3)
  • Распределите отрицательный знак: - (x 3 - 4x + 3) = -x 3 + 4x - 3
  • Сложите члены: 3x 3 - x 3 = 2x 3
  • Сложите члены: 2x + 4x = 6x
  • Сложите члены: -5 - 3 = -8

Результат: 2x 3 + 6x - 8

Умножение

При умножении многочленов используйте дистрибутивное свойство, часто называемое методом FOIL для биномиалов.

Пример:

(x + 2)(x + 3)

Примените дистрибутивное свойство:

  • x * (x + 3) = x 2 + 3x
  • 2 * (x + 3) = 2x + 6

Скомбинируйте все части: x 2 + 3x + 2x + 6

Сложите подобные члены: x 2 + 5x + 6

x(x + 3) = x² + 3x 2(x + 3) = 2x + 6 = x² + 5x + 6

Деление многочленов

Деление многочленов может быть сложнее, чем сложение, вычитание или умножение. Обычным способом деления является деление многочлена столбиком.

Пример деления многочленов

Попробуем разделить x 2 + 2x + 3 на x + 1:

  1. Разделите первый член делимого на первый член делителя: x 2 /x = x.
  2. Умножьте весь знаменатель на этот результат: x(x + 1) = x 2 + x.
  3. Вычтите результат из исходного многочлена: x 2 + 2x + 3 - (x 2 + x) = x + 3.
  4. Повторите процесс для оставшихся x + 3 используя x + 1.

Этот процесс будет продолжаться до тех пор, пока невозможно будет выполнить дальнейшее деление, и остаток, который вы получите, будет меньше порядка делителя.

Графики многочленов

Графически многочлены изображаются гладкими, непрерывными кривыми на координатной плоскости. Степень и коэффициенты многочлена влияют на форму и ориентацию графика.

Пример: График квадратного многочлена

График y = x 2 - 4 — это парабола, открытая вверх.

y = x² – 4

Корни многочленов

Корни (или нули) многочлена — это такие значения переменной, при которых многочлен равен нулю. Графически это точки, где многочлен пересекает или касается оси x.

Факторизация многочленов

Факторизация — это процесс разложения многочлена на более простые члены (произведения других многочленов), которые при умножении дают исходный многочлен.

Пример: Факторизация квадратного многочлена

Рассмотрите x 2 - 5x + 6. Факторы — это два числа, которые в сумме дают -5 и в произведении 6, которые равны -3 и -2. Следовательно:

x 2 - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2)

Использование многочленов

Многочлены широко используются в науке, технике и других математических сферах. Они используются в вычислениях, связанных с кривыми и условиями, такими как траектории и предсказательные модели.

Заключение

Многочлены — это основополагающее понятие в алгебре, которое предоставляет огромные возможности для решения математических задач. Понимание их структуры, операций (таких как сложение, вычитание, умножение и деление), факторизации и графического представления является важным для овладения алгеброй и ее применением в различных реальных ситуациях. С практикой вы сможете с легкостью справляться с многочленами.


Класс 10 → 2.1


U
username
0%
завершено в Класс 10

← предыдущая (2)
Понимание алгебры
следующая (2.1.1) →
Определение и виды многочленов

комментарии 



Многочлены

https://www.buddymath.com/g10/2.1?bmal=ru