10º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propriedades dos Números Reais  1.1.2. Números racionais e irracionais  1.1.3. Representação decimal de números reais  1.1.4. Operações com números reais  1.1.5. Números reais na reta numérica  1.2. O lema da divisão de Euclides  1.3. Fatoração de números primos  1.4. Compreendendo o MMC e o MDC em sistemas numéricos  1.5. Expoentes e Radicais  1.5.1. Leis dos expoentes  1.5.2. Simplificação de expressões básicas  1.5.3. Notação científica
  2. Compreendendo Algebra  2.1. Polinômios  2.1.1. Definição e tipos de polinômios  2.1.2. Grau de um polinômio  2.1.3. Zeros de um polinômio  2.1.4. Fatoração de polinômios  2.1.5. Identidades algébricas  2.2. Equações lineares em duas variáveis  2.2.1. Gráficos de equações lineares  2.2.2. Soluções de equações lineares  2.2.3. Aplicação de equações lineares em problemas de palavras  2.3. Entendendo Equações Quadráticas  2.3.1. Forma padrão de equação quadrática  2.3.2. Métodos para resolver equações quadráticas  2.3.2.1. Método de fatoração  2.3.2.2. Método de completar o quadrado  2.3.2.3. Fórmula quadrática  2.3.3. Compreendendo a natureza das raízes em equações quadráticas  2.4. Entendendo progressões aritméticas  2.4.1. Definição de progressão aritmética  2.4.2. Termo geral da Progressão Aritmética (PA)  2.4.3. A soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética  2.5. Introdução às funções  2.5.1. Definição e tipos de funções  2.5.2. Domínio e imagem  2.5.3. Estrutura dos trabalhos  2.5.4. Inverso de uma função
  3. Geometria coordenada  3.1. Introdução ao sistema cartesiano em geometria coordenada  3.2. Fórmula da distância  3.3. Fórmula da seção  3.4. Área de um triângulo  3.5. Inclinação da linha  3.6. Equação de uma linha em geometria coordenada  3.6.1. Forma de inclinação-interceptação  3.6.2. Introdução à forma ponto-inclinação  3.6.3. Forma de dois pontos  3.6.4. Forma de interceptação  3.6.5. Forma geral da linha
  4. Trigonometria  4.1. Razões trigonométricas  4.1.1. Sen, cosseno, tangente e seus inversos  4.1.2. Compreendendo os valores das razões trigonométricas em ângulos específicos  4.2. Identidades Trigonométricas  4.3. Relações trigonométricas de ângulos complementares  4.4. Alturas e distâncias  4.4.1. Compreendendo ângulos de elevação e depressão  4.4.2. Aplicações em problemas da vida real
  5. Geometria  5.1. Triângulo  5.1.1. Congruência de triângulos  5.1.2. Critérios de conformidade  5.1.3. Propriedades dos triângulos  5.2. Compreendendo similaridade na geometria  5.2.1. Compreendendo formas semelhantes na geometria  5.2.2. Critérios de semelhança  5.2.3. Similaridade de triângulos  5.2.4. Aplicações do paralelismo na vida real  5.3. Compreendendo círculos na geometria  5.3.1. Propriedades do círculo  5.3.2. Tangente a um círculo  5.3.3. Número de tangentes a partir de um ponto  5.3.4. Ângulo subtendido pelo arco  5.4. Construções em geometria  5.4.1. Construção de triângulos semelhantes  5.4.2. Tangente a um círculo  5.4.3. Construção de uma bissetriz de ângulo
  6. Mensuração  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de um Triângulo  6.1.2. Compreendendo a área de um paralelogramo  6.1.3. Área do trapézio  6.1.4. Compreendendo a área de um losango  6.2. Área de superfície e volume  6.2.1. Área de superfície de cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.2. Área de superfície do cone e esfera  6.2.3. Volume de um cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.4. Volume de cone e esfera  6.3. Conversão de unidades  6.4. Tronco de cone
  7. Figuras  7.1. Introdução à estatística  7.2. Coleta de dados  7.3. Apresentação de dados  7.3.1. Forma Tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: Uma ferramenta para representação gráfica em estatística  7.3.2.3. Polígono de frequência  7.3.2.4. Ogiva  7.4. Medidas de tendência central  7.4.1. Média, mediana e moda  7.4.2. Compreendendo Quartis e Percentis  7.5. Medidas de dispersão  7.5.1. Alcance e intervalo interquartil  7.5.2. Desvio Padrão e Variância
  8. Possibilidade  8.1. Introdução à Probabilidade  8.2. Probabilidade experimental  8.3. Probabilidade teórica  8.4. Probabilidade de eventos simples  8.5. Programas Complementares  8.6. Probabilidade de eventos mistos

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Polinômios


Álgebra é um ramo fundamental da matemática, e na classe 10, um dos tópicos importantes que você encontrará são os polinômios. Este guia abrangente visa construir uma forte compreensão dos polinômios, suas propriedades e operações. Ao final, você se sentirá confortável trabalhando com polinômios tanto academicamente quanto praticamente.

O que é um polinômio?

Um polinômio é uma expressão matemática composta por variáveis, coeficientes e as operações de adição, subtração e multiplicação. Um polinômio pode ser pensado como a soma de vários termos, onde cada termo consiste em uma variável elevada a uma potência e um coeficiente multiplicado por essa variável.

Estrutura do polinômio

A estrutura geral de um polinômio é expressa da seguinte forma:

a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0

Aqui:

  • a n, a n-1, ..., a 0 são chamados de coeficientes.
  • x denota a variável.
  • Cada expoente de x é um número inteiro não negativo.

Exemplos de polinômios

  • 3x 2 + 2x + 1 é um polinômio de grau 2.
  • x 3 - 4x + 7 é um polinômio de grau 3.
  • 5 é um polinômio de grau 0.

Grau de um polinômio

O grau de um polinômio é a maior potência da variável no polinômio. Ele nos informa sobre o efeito mais significativo no valor do polinômio quando a variável é aumentada ou diminuída.

Identificando o grau

Para encontrar o grau, basta identificar o maior expoente no polinômio. Aqui estão alguns exemplos:

  • A potência de 7x 5 - 3x 3 + x é 5, porque a maior potência é 5.
  • O grau de 2x 4 + x 3 - 5 é 4.
  • A potência de 9x 2 + x + 6 é 2.

Tipos de polinômios

Os polinômios são nomeados com base em seu grau. Aqui estão alguns tipos comuns:

  1. Polinômio constante: Um polinômio com grau 0, como 5 ou -2.
  2. Polinômio linear: Um polinômio de grau 1, por exemplo, 2x + 1.
  3. Polinômio quadrático: Um polinômio com grau 2, como x 2 - 4x + 4.
  4. Polinômio cúbico: Um polinômio de grau 3, como x 3 + 2x + 1.
  5. Polinômio quártico: Um polinômio de grau 4, por exemplo, x 4 - 2x 2 + x.

Operações com polinômios

Os polinômios podem ser somados, subtraídos, multiplicados e divididos, e cada operação tem regras específicas.

Adição

Para adicionar polinômios, adicione termos semelhantes. Termos semelhantes são aqueles em que a mesma variável está elevada à mesma potência.

Exemplo:

(2x 2 + 3x + 5) + (x 2 + 4x + 2)
  • Combine os termos: 2x 2 + x 2 = 3x 2
  • Combine os termos: 3x + 4x = 7x
  • Combine os termos: 5 + 2 = 7

Resultado: 3x 2 + 7x + 7

2x² , x² 3x , 4 x 5 , 2 = 3x² + 7x + 7

Subtração

Para subtrair polinômios, distribua os sinais negativos pelas termos do polinômio a ser subtraído e, em seguida, combine os termos semelhantes.

Exemplo:

(3x 3 + 2x - 5) - (x 3 - 4x + 3)
  • Distribua o sinal negativo: - (x 3 - 4x + 3) = -x 3 + 4x - 3
  • Combine os termos: 3x 3 - x 3 = 2x 3
  • Combine os termos: 2x + 4x = 6x
  • Combine os termos: -5 - 3 = -8

Resultado: 2x 3 + 6x - 8

Multiplicação

Ao multiplicar polinômios, use a propriedade distributiva, muitas vezes conhecida como método FOIL para binômios.

Exemplo:

(x + 2)(x + 3)

Aplique a propriedade distributiva:

  • x * (x + 3) = x 2 + 3x
  • 2 * (x + 3) = 2x + 6

Combine todas as partes: x 2 + 3x + 2x + 6

Combine termos semelhantes: x 2 + 5x + 6

x(x + 3) = x² + 3x 2(x + 3) = 2x + 6 = x² + 5x + 6

Divisão de polinômios

Dividir polinômios pode ser mais complicado do que adicionar, subtrair ou multiplicar. Um método comum de divisão é a divisão longa de polinômios.

Exemplo de divisão de polinômios

Vamos tentar dividir x 2 + 2x + 3 por x + 1:

  1. Divida o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor: x 2 /x = x.
  2. Multiplique todo o denominador por este resultado: x(x + 1) = x 2 + x.
  3. Subtraia o resultado do polinômio original: x 2 + 2x + 3 - (x 2 + x) = x + 3.
  4. Repita o processo para o restante x + 3 usando x + 1.

Este processo continuará até que você não possa fazer mais divisões, e o restante obtido será menor que a ordem do divisor.

Gráficos de polinômios

Graficamente, os polinômios são representados por curvas suaves e contínuas no plano de coordenadas. O grau e os coeficientes do polinômio afetam a forma e a orientação do gráfico.

Exemplo: Gráfico de um polinômio quadrático

O gráfico de y = x 2 - 4 é uma parábola que se abre para cima.

y = x² – 4

Raízes de polinômios

As raízes (ou zeros) de um polinômio são os valores da variável que fazem o polinômio ser igual a zero. Graficamente, são os pontos onde o polinômio cruza ou toca o eixo x.

Fatoração de polinômios

Fatorar é o processo de decompor um polinômio em termos mais simples (produtos de outros polinômios) que, quando multiplicados, dão o polinômio original.

Exemplo: Fatoração de um polinômio quadrático

Considere x 2 - 5x + 6 Os fatores são os dois números que somam -5 e multiplicam por 6, que são -3 e -2. Assim:

x 2 - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2)

Usos dos polinômios

Os polinômios têm ampla utilização na ciência, engenharia e em outros campos matemáticos. Eles são usados em cálculos envolvendo curvas e condições, como trajetórias e modelos preditivos.

Conclusão

Os polinômios são um conceito fundamental em álgebra, que fornece imensa utilidade na resolução de problemas matemáticos. Compreender sua estrutura, operações (como adição, subtração, multiplicação e divisão), fatoração e sua representação gráfica é crucial para dominar a álgebra e aplicá-la em várias situações do mundo real. Com a prática, você será capaz de lidar com polinômios com facilidade.


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