Grado 10
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propiedades de los Números Reales  1.1.2. Números racionales e irracionales  1.1.3. Representación decimal de números reales  1.1.4. Operaciones con números reales  1.1.5. Números reales en la recta numérica  1.2. El lema de la división de Euclides  1.3. Factorización Prima  1.4. Comprender el MCM y el MCD en los sistemas numéricos  1.5. Exponentes y Radicales  1.5.1. Leyes de los exponentes  1.5.2. Simplificación de expresiones básicas  1.5.3. Notación científica
  2. Entendiendo el álgebra  2.1. Polinomios  2.1.1. Definición y tipos de polinomios  2.1.2. Grado de un polinomio  2.1.3. Ceros de un polinomio  2.1.4. Factorización de polinomios  2.1.5. Identidades algebraicas  2.2. Ecuaciones lineales en dos variables  2.2.1. Gráficas de ecuaciones lineales  2.2.2. Soluciones de ecuaciones lineales  2.2.3. Aplicación de ecuaciones lineales en problemas de palabras  2.3. Comprendiendo las ecuaciones cuadráticas  2.3.1. Forma estándar de la ecuación cuadrática  2.3.2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas  2.3.2.1. Método de factorización  2.3.2.2. Método de completar el cuadrado  2.3.2.3. Fórmula cuadrática  2.3.3. Comprendiendo la naturaleza de las raíces en las ecuaciones cuadráticas  2.4. Comprendiendo las progresiones aritméticas  2.4.1. Definición de progresión aritmética  2.4.2. Término general de la progresión aritmética (PA)  2.4.3. La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética  2.5. Introducción a las funciones  2.5.1. Definición y tipos de funciones  2.5.2. Dominio y rango  2.5.3. Estructura de los trabajos  2.5.4. Inverso de una función
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Introducción al sistema cartesiano en geometría de coordenadas  3.2. Fórmula de distancia  3.3. Fórmula de la sección  3.4. Área de un triángulo  3.5. Pendiente de la línea  3.6. Ecuación de una línea en geometría coordinada  3.6.1. Forma de pendiente-intersección  3.6.2. Introducción a la forma punto-pendiente  3.6.3. Forma de dos puntos  3.6.4. Forma de intersección  3.6.5. Forma general de la línea
  4. Trigonometría  4.1. Relaciones trigonométricas  4.1.1. Seno, coseno, tangente y sus inversos  4.1.2. Comprender los valores de las razones trigonométricas en ángulos específicos  4.2. Identidades trigonométricas  4.3. Relaciones trigonométricas de ángulos complementarios  4.4. Alturas y distancias  4.4.1. Comprender los ángulos de elevación y depresión  4.4.2. Aplicaciones en problemas de la vida real
  5. Geometría  5.1. Triángulo  5.1.1. Congruencia de triángulos  5.1.2. Criterios de conformidad  5.1.3. Propiedades de los triángulos  5.2. Entendiendo la similitud en geometría  5.2.1. Entendiendo formas similares en geometría  5.2.2. Criterios de similitud  5.2.3. Similitud de triángulos  5.2.4. Aplicaciones del paralelismo en la vida real  5.3. Comprensión de los círculos en geometría  5.3.1. Propiedades del círculo  5.3.2. Tangente a un círculo  5.3.3. Número de tangentes desde un punto  5.3.4. Ángulo subtendido por el arco  5.4. Construcciones en geometría  5.4.1. Construcción de triángulos similares  5.4.2. Tangente a un círculo  5.4.3. Construcción de una bisectriz de ángulo
  6. Mensuración  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de un Triángulo  6.1.2. Comprendiendo el área de un paralelogramo  6.1.3. Área del trapecio  6.1.4. Comprendiendo el área de un rombo  6.2. Área de superficie y volumen  6.2.1. Área superficial de cubo, cuboide y cilindro  6.2.2. Área de superficie de cono y esfera  6.2.3. Volumen de un cubo, un cuboide y un cilindro  6.2.4. Volumen de cono y esfera  6.3. Conversión de unidades  6.4. Tronco de un cono
  7. Figuras  7.1. Introducción a la estadística  7.2. Colección de datos  7.3. Presentación de datos  7.3.1. Forma tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: una herramienta para la representación gráfica en estadísticas  7.3.2.3. Polígono de frecuencias  7.3.2.4. Ojiva  7.4. Medidas de tendencia central  7.4.1. Media, mediana y moda  7.4.2. Comprendiendo cuartiles y percentiles  7.5. Medidas de dispersión  7.5.1. Rango y rango intercuartil  7.5.2. Desviación estándar y varianza
  8. Posibilidad  8.1. Introducción a la Probabilidad  8.2. Probabilidad experimental  8.3. Probabilidad teórica  8.4. Probabilidad de eventos simples  8.5. Programas complementarios  8.6. Probabilidad de eventos mixtos

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Polinomios


El álgebra es una rama fundamental de las matemáticas, y en el curso 10, uno de los temas importantes que encontrarás son los polinomios. Esta guía completa tiene como objetivo construir una comprensión sólida de los polinomios, sus propiedades y operaciones. Al final de ella, te sentirás cómodo trabajando con polinomios tanto académica como prácticamente.

¿Qué es un polinomio?

Un polinomio es una expresión matemática compuesta de variables, coeficientes y las operaciones de suma, resta y multiplicación. Un polinomio puede considerarse como la suma de varios términos, donde cada término consiste en una variable elevada a una potencia y un coeficiente multiplicado por esa variable.

Estructura del polinomio

La estructura general de un polinomio se expresa de la siguiente manera:

a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0

Aquí:

  • a n , a n-1 , ..., a 0 son llamados coeficientes.
  • x denota la variable.
  • Cada exponente de x es un número entero no negativo.

Ejemplos de polinomios

  • 3x 2 + 2x + 1 es un polinomio de grado 2.
  • x 3 - 4x + 7 es un polinomio de grado 3.
  • 5 es un polinomio de grado 0.

Grado de un polinomio

El grado de un polinomio es la mayor potencia de la variable en el polinomio. Nos indica el efecto más significativo en el valor del polinomio cuando la variable se incrementa o se reduce.

Identificación del grado

Para encontrar el grado, simplemente identifica el exponente mayor en el polinomio. Aquí hay algunos ejemplos:

  • La potencia de 7x 5 - 3x 3 + x es 5, porque la mayor potencia es 5.
  • El grado de 2x 4 + x 3 - 5 es 4.
  • La potencia de 9x 2 + x + 6 es 2.

Tipos de polinomios

Los polinomios se nombran según su grado. Aquí hay algunos tipos comunes:

  1. Polinomio constante: Un polinomio de grado 0, como 5 o -2.
  2. Polinomio lineal: Un polinomio de grado 1, por ejemplo, 2x + 1.
  3. Polinomio cuadrático: Un polinomio de grado 2, como x 2 - 4x + 4.
  4. Polinomio cúbico: Un polinomio de grado 3, como x 3 + 2x + 1.
  5. Polinomio cuártico: Un polinomio de grado 4, por ejemplo, x 4 - 2x 2 + x.

Operaciones con polinomios

Los polinomios pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, y cada operación tiene reglas específicas.

Suma

Para sumar polinomios, suma los términos semejantes. Los términos semejantes son aquellos en los que la misma variable está elevada a la misma potencia.

Ejemplo:

(2x 2 + 3x + 5) + (x 2 + 4x + 2)
  • Combina los términos: 2x 2 + x 2 = 3x 2
  • Combina los términos: 3x + 4x = 7x
  • Combina los términos: 5 + 2 = 7

Resultado: 3x 2 + 7x + 7

2x² , x² 3x , 4 x 5 , 2 = 3x² + 7x + 7

Resta

Para restar polinomios, distribuye los signos negativos a través de los términos del polinomio a restar y luego combina los términos semejantes.

Ejemplo:

(3x 3 + 2x - 5) - (x 3 - 4x + 3)
  • Distribuye el signo negativo: - (x 3 - 4x + 3) = -x 3 + 4x - 3
  • Combina los términos: 3x 3 - x 3 = 2x 3
  • Combina los términos: 2x + 4x = 6x
  • Combina los términos: -5 - 3 = -8

Resultado: 2x 3 + 6x - 8

Multiplicación

Al multiplicar polinomios, utiliza la propiedad distributiva, a menudo conocida como el método FOIL para binomios.

Ejemplo:

(x + 2)(x + 3)

Aplica la propiedad distributiva:

  • x * (x + 3) = x 2 + 3x
  • 2 * (x + 3) = 2x + 6

Combina todas las partes: x 2 + 3x + 2x + 6

Combina términos semejantes: x 2 + 5x + 6

x(x + 3) = x² + 3x 2(x + 3) = 2x + 6 = x² + 5x + 6

División de polinomios

Dividir polinomios puede ser más complicado que sumar, restar o multiplicar. Un método común de división es la división larga de polinomios.

Ejemplo de división de polinomios

Intentemos dividir x 2 + 2x + 3 entre x + 1:

  1. Divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor: x 2 /x = x.
  2. Multiplica el denominador completo por este resultado: x(x + 1) = x 2 + x.
  3. Resta el resultado del polinomio original: x 2 + 2x + 3 - (x 2 + x) = x + 3.
  4. Repite el proceso para el restante x + 3 usando x + 1.

Este proceso continuará hasta que no puedas hacer más divisiones, y el resto que obtengas será menor que el orden del divisor.

Gráfica de polinomios

Gráficamente, los polinomios se representan por curvas suaves y continuas en el plano de coordenadas. El grado y los coeficientes del polinomio afectan la forma y la orientación de la gráfica.

Ejemplo: Gráfica de un polinomio cuadrático

La gráfica de y = x 2 - 4 es una parábola que se abre hacia arriba.

y = x² – 4

Raíces de los polinomios

Las raíces (o ceros) de un polinomio son aquellos valores de la variable que hacen que el polinomio sea igual a cero. Gráficamente, son los puntos donde el polinomio cruza o toca el eje x.

Factorización de polinomios

Factorizar es el proceso de descomponer un polinomio en términos más simples (productos de otros polinomios) que, al multiplicarse, dan el polinomio original.

Ejemplo: Factorizar un polinomio cuadrático

Considera x 2 - 5x + 6 Los factores son dos números que suman -5 y multiplican por 6, que son -3 y -2. Así:

x 2 - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2)

Usos de los polinomios

Los polinomios tienen un uso generalizado en ciencia, ingeniería y otros campos matemáticos. Se utilizan en cálculos que involucran curvas y condiciones, como trayectorias y modelos predictivos.

Conclusión

Los polinomios son un concepto fundamental en el álgebra, que proporciona una utilidad inmensa para resolver problemas matemáticos. Comprender su estructura, operaciones (como suma, resta, multiplicación y división), factorización y su representación gráfica es crucial para dominar el álgebra y aplicarla en diversas situaciones del mundo real. Con práctica, podrás manejar polinomios con facilidad.


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