Grado 10
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propiedades de los Números Reales  1.1.2. Números racionales e irracionales  1.1.3. Representación decimal de números reales  1.1.4. Operaciones con números reales  1.1.5. Números reales en la recta numérica  1.2. El lema de la división de Euclides  1.3. Factorización Prima  1.4. Comprender el MCM y el MCD en los sistemas numéricos  1.5. Exponentes y Radicales  1.5.1. Leyes de los exponentes  1.5.2. Simplificación de expresiones básicas  1.5.3. Notación científica
  2. Entendiendo el álgebra  2.1. Polinomios  2.1.1. Definición y tipos de polinomios  2.1.2. Grado de un polinomio  2.1.3. Ceros de un polinomio  2.1.4. Factorización de polinomios  2.1.5. Identidades algebraicas  2.2. Ecuaciones lineales en dos variables  2.2.1. Gráficas de ecuaciones lineales  2.2.2. Soluciones de ecuaciones lineales  2.2.3. Aplicación de ecuaciones lineales en problemas de palabras  2.3. Comprendiendo las ecuaciones cuadráticas  2.3.1. Forma estándar de la ecuación cuadrática  2.3.2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas  2.3.2.1. Método de factorización  2.3.2.2. Método de completar el cuadrado  2.3.2.3. Fórmula cuadrática  2.3.3. Comprendiendo la naturaleza de las raíces en las ecuaciones cuadráticas  2.4. Comprendiendo las progresiones aritméticas  2.4.1. Definición de progresión aritmética  2.4.2. Término general de la progresión aritmética (PA)  2.4.3. La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética  2.5. Introducción a las funciones  2.5.1. Definición y tipos de funciones  2.5.2. Dominio y rango  2.5.3. Estructura de los trabajos  2.5.4. Inverso de una función
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Introducción al sistema cartesiano en geometría de coordenadas  3.2. Fórmula de distancia  3.3. Fórmula de la sección  3.4. Área de un triángulo  3.5. Pendiente de la línea  3.6. Ecuación de una línea en geometría coordinada  3.6.1. Forma de pendiente-intersección  3.6.2. Introducción a la forma punto-pendiente  3.6.3. Forma de dos puntos  3.6.4. Forma de intersección  3.6.5. Forma general de la línea
  4. Trigonometría  4.1. Relaciones trigonométricas  4.1.1. Seno, coseno, tangente y sus inversos  4.1.2. Comprender los valores de las razones trigonométricas en ángulos específicos  4.2. Identidades trigonométricas  4.3. Relaciones trigonométricas de ángulos complementarios  4.4. Alturas y distancias  4.4.1. Comprender los ángulos de elevación y depresión  4.4.2. Aplicaciones en problemas de la vida real
  5. Geometría  5.1. Triángulo  5.1.1. Congruencia de triángulos  5.1.2. Criterios de conformidad  5.1.3. Propiedades de los triángulos  5.2. Entendiendo la similitud en geometría  5.2.1. Entendiendo formas similares en geometría  5.2.2. Criterios de similitud  5.2.3. Similitud de triángulos  5.2.4. Aplicaciones del paralelismo en la vida real  5.3. Comprensión de los círculos en geometría  5.3.1. Propiedades del círculo  5.3.2. Tangente a un círculo  5.3.3. Número de tangentes desde un punto  5.3.4. Ángulo subtendido por el arco  5.4. Construcciones en geometría  5.4.1. Construcción de triángulos similares  5.4.2. Tangente a un círculo  5.4.3. Construcción de una bisectriz de ángulo
  6. Mensuración  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de un Triángulo  6.1.2. Comprendiendo el área de un paralelogramo  6.1.3. Área del trapecio  6.1.4. Comprendiendo el área de un rombo  6.2. Área de superficie y volumen  6.2.1. Área superficial de cubo, cuboide y cilindro  6.2.2. Área de superficie de cono y esfera  6.2.3. Volumen de un cubo, un cuboide y un cilindro  6.2.4. Volumen de cono y esfera  6.3. Conversión de unidades  6.4. Tronco de un cono
  7. Figuras  7.1. Introducción a la estadística  7.2. Colección de datos  7.3. Presentación de datos  7.3.1. Forma tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: una herramienta para la representación gráfica en estadísticas  7.3.2.3. Polígono de frecuencias  7.3.2.4. Ojiva  7.4. Medidas de tendencia central  7.4.1. Media, mediana y moda  7.4.2. Comprendiendo cuartiles y percentiles  7.5. Medidas de dispersión  7.5.1. Rango y rango intercuartil  7.5.2. Desviación estándar y varianza
  8. Posibilidad  8.1. Introducción a la Probabilidad  8.2. Probabilidad experimental  8.3. Probabilidad teórica  8.4. Probabilidad de eventos simples  8.5. Programas complementarios  8.6. Probabilidad de eventos mixtos

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Identidades algebraicas


Las identidades algebraicas son ecuaciones que son válidas para todos los valores de las variables involucradas. Son herramientas importantes en álgebra utilizadas para simplificar expresiones polinómicas y resolver ecuaciones más rápidamente. Cuando aprendes sobre identidades algebraicas, descubrirás patrones que se mantienen verdaderos bajo diversas circunstancias, lo que a menudo puede ahorrar tiempo y esfuerzo en los cálculos.

Entendiendo las identidades algebraicas

Antes de adentrarse en identidades algebraicas específicas, es importante entender los fundamentos de los polinomios. Un polinomio es una expresión compuesta de variables (a menudo llamadas indeterminadas) y coeficientes que se combinan utilizando suma, resta, multiplicación y exponentes enteros no negativos. Aquí hay una expresión polinómica simple:

ax² + bx + c

En esta expresión, a, b y c son coeficientes, y x es la variable. El exponente más alto de un polinomio determina su grado.

Identidades algebraicas generales

Miremos algunas identidades algebraicas comunes. Estas incluyen cuadrados de sumas, cuadrados de diferencias y productos de sumas y diferencias, etc.

1. El cuadrado de una suma

La identidad del cuadrado de una cantidad se expresa de la siguiente manera:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Esto significa que si tomas la suma de dos términos y la elevas al cuadrado, será igual al cuadrado del primer término, dos veces el producto de los dos términos, y el cuadrado del segundo término.

Entendamos esta identidad visualmente:

A² Ahora Ahora B²

Visualmente, (a + b)² se representa como un gran cuadrado compuesto por cuatro regiones: un pequeño cuadrado de tamaño a², dos rectángulos de tamaño ab, y un cuadrado más pequeño b².

2. El cuadrado de la diferencia

La identidad del cuadrado de la diferencia es:

(a - b)² = a² - 2ab + b²

A diferencia de la suma, esta identidad es válida para el caso donde el cuadrado involucra una resta, y resulta en el doble del producto de los dos términos siendo restados.

Aquí hay un ejemplo visual para (a - b)²:

A² -Ahora -Ahora B²

3. Producto de suma y diferencia

Esta identidad se expresa de la siguiente manera:

(a + b)(a – b) = a² – b²

Esto simplifica la diferencia de cuadrados. Esta es una identidad muy útil porque permite que el producto de una suma y una diferencia se reduzca directamente a la diferencia de cuadrados.

Ejemplo

Considera la expresión (5 + 3)(5 - 3) Según la identidad:

(5 + 3)(5 - 3) = 5² - 3² = 25 - 9 = 16

4. Cubo de la suma

Cuando se trata de elevar al cubo una cantidad, la expresión es más complicada. La identidad es:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Esta identidad muestra que cuando cubicas una suma, el resultado es un polinomio con cuatro términos.

5. Cubo de la diferencia

De manera similar, la identidad para el cubo de la diferencia es:

(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Al igual que al elevar al cuadrado, restar términos cambia algunos de los signos en el polinomio.

Aplicaciones de las identidades algebraicas

Las identidades algebraicas son poderosas herramientas que simplifican el proceso de ampliar y factorizar polinomios. Reconocer estas identidades ayuda en una variedad de cálculos matemáticos y situaciones de resolución de problemas. Aquí hay algunas aplicaciones:

Simplificación de expresiones

Las identidades hacen que la simplificación de expresiones sea más fácil. En lugar de ampliar polinomios término por término, puedes aplicar rápidamente identidades para obtener el resultado.

Ejemplo

Simplifica (x + 4)²

(x + 4)² = x² + 2 * 4 * x + 4² = x² + 8x + 16

Factorización de polinomios

Reconocer identidades ayuda a descomponer los polinomios en componentes más simples, haciéndolos más fáciles de resolver o manipular.

Ejemplo

Factoriza x² - 16.

x² – 16 = (x)² – (4)² = (x + 4)(x – 4)

Resolución de ecuaciones

Las identidades algebraicas pueden hacer que las ecuaciones sean más fáciles de resolver al proporcionar sustituciones que simplifican la ecuación.

Ejemplo

Encuentra la solución de x en x² + 10x + 25 = 0.

x² + 10x + 25 = (x + 5)² = 0
x + 5 = 0
x = -5

¿Por qué aprender identidades algebraicas?

Aprender identidades algebraicas es importante ya que proporcionan un entendimiento más profundo de las estructuras polinómicas. Reconocer estos patrones es útil no solo en contextos académicos, sino también en campos que involucran cálculos como ciencias computacionales, ingeniería, física, etc.

Practicando las identidades algebraicas

Para volverse competente en identidades algebraicas, es esencial una práctica constante. Intenta crear tus propias expresiones y verificar su validez utilizando identidades. Practica identificándolas y aplicándolas en diferentes situaciones. Aquí hay algunos ejercicios para ayudarte a comenzar:

  • Simplifica: (x + 2)²
  • Simplifica: (3a - 2b)²
  • Factoriza: a² - 9b²
  • Simplifica: (2x + 3y)(2x - 3y)
  • Simplifica: (2a + 3b)³

Conclusión

Las identidades algebraicas son los pilares fundamentales en el estudio del álgebra. Simplifican expresiones y ecuaciones complejas, haciendo más eficiente la resolución de problemas matemáticos. Entender y aplicar estas identidades es crucial para dominar el álgebra y avanzar en matemáticas. Al practicar estas identidades e incorporarlas en problemas matemáticos cotidianos, los estudiantes pueden mejorar sus habilidades analíticas y comprensión matemática.


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