10º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propriedades dos Números Reais  1.1.2. Números racionais e irracionais  1.1.3. Representação decimal de números reais  1.1.4. Operações com números reais  1.1.5. Números reais na reta numérica  1.2. O lema da divisão de Euclides  1.3. Fatoração de números primos  1.4. Compreendendo o MMC e o MDC em sistemas numéricos  1.5. Expoentes e Radicais  1.5.1. Leis dos expoentes  1.5.2. Simplificação de expressões básicas  1.5.3. Notação científica
  2. Compreendendo Algebra  2.1. Polinômios  2.1.1. Definição e tipos de polinômios  2.1.2. Grau de um polinômio  2.1.3. Zeros de um polinômio  2.1.4. Fatoração de polinômios  2.1.5. Identidades algébricas  2.2. Equações lineares em duas variáveis  2.2.1. Gráficos de equações lineares  2.2.2. Soluções de equações lineares  2.2.3. Aplicação de equações lineares em problemas de palavras  2.3. Entendendo Equações Quadráticas  2.3.1. Forma padrão de equação quadrática  2.3.2. Métodos para resolver equações quadráticas  2.3.2.1. Método de fatoração  2.3.2.2. Método de completar o quadrado  2.3.2.3. Fórmula quadrática  2.3.3. Compreendendo a natureza das raízes em equações quadráticas  2.4. Entendendo progressões aritméticas  2.4.1. Definição de progressão aritmética  2.4.2. Termo geral da Progressão Aritmética (PA)  2.4.3. A soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética  2.5. Introdução às funções  2.5.1. Definição e tipos de funções  2.5.2. Domínio e imagem  2.5.3. Estrutura dos trabalhos  2.5.4. Inverso de uma função
  3. Geometria coordenada  3.1. Introdução ao sistema cartesiano em geometria coordenada  3.2. Fórmula da distância  3.3. Fórmula da seção  3.4. Área de um triângulo  3.5. Inclinação da linha  3.6. Equação de uma linha em geometria coordenada  3.6.1. Forma de inclinação-interceptação  3.6.2. Introdução à forma ponto-inclinação  3.6.3. Forma de dois pontos  3.6.4. Forma de interceptação  3.6.5. Forma geral da linha
  4. Trigonometria  4.1. Razões trigonométricas  4.1.1. Sen, cosseno, tangente e seus inversos  4.1.2. Compreendendo os valores das razões trigonométricas em ângulos específicos  4.2. Identidades Trigonométricas  4.3. Relações trigonométricas de ângulos complementares  4.4. Alturas e distâncias  4.4.1. Compreendendo ângulos de elevação e depressão  4.4.2. Aplicações em problemas da vida real
  5. Geometria  5.1. Triângulo  5.1.1. Congruência de triângulos  5.1.2. Critérios de conformidade  5.1.3. Propriedades dos triângulos  5.2. Compreendendo similaridade na geometria  5.2.1. Compreendendo formas semelhantes na geometria  5.2.2. Critérios de semelhança  5.2.3. Similaridade de triângulos  5.2.4. Aplicações do paralelismo na vida real  5.3. Compreendendo círculos na geometria  5.3.1. Propriedades do círculo  5.3.2. Tangente a um círculo  5.3.3. Número de tangentes a partir de um ponto  5.3.4. Ângulo subtendido pelo arco  5.4. Construções em geometria  5.4.1. Construção de triângulos semelhantes  5.4.2. Tangente a um círculo  5.4.3. Construção de uma bissetriz de ângulo
  6. Mensuração  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de um Triângulo  6.1.2. Compreendendo a área de um paralelogramo  6.1.3. Área do trapézio  6.1.4. Compreendendo a área de um losango  6.2. Área de superfície e volume  6.2.1. Área de superfície de cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.2. Área de superfície do cone e esfera  6.2.3. Volume de um cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.4. Volume de cone e esfera  6.3. Conversão de unidades  6.4. Tronco de cone
  7. Figuras  7.1. Introdução à estatística  7.2. Coleta de dados  7.3. Apresentação de dados  7.3.1. Forma Tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: Uma ferramenta para representação gráfica em estatística  7.3.2.3. Polígono de frequência  7.3.2.4. Ogiva  7.4. Medidas de tendência central  7.4.1. Média, mediana e moda  7.4.2. Compreendendo Quartis e Percentis  7.5. Medidas de dispersão  7.5.1. Alcance e intervalo interquartil  7.5.2. Desvio Padrão e Variância
  8. Possibilidade  8.1. Introdução à Probabilidade  8.2. Probabilidade experimental  8.3. Probabilidade teórica  8.4. Probabilidade de eventos simples  8.5. Programas Complementares  8.6. Probabilidade de eventos mistos

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Fatoração de polinômios


A fatoração desempenha um papel importante no estudo dos polinômios na matemática do 10º ano. É uma técnica usada para decompor um polinômio em um produto de polinômios mais simples. Ao multiplicar esses polinômios mais simples entre si, obtemos o polinômio original de volta. Compreender como fatorar polinômios pode ser extremamente útil na resolução de equações, simplificação de expressões e muito mais. Vamos discutir este tópico em detalhes, mantendo-o amplo, mas explicando em termos simples, com muitos exemplos e explicações passo a passo.

Compreendendo os polinômios

Antes de aprender sobre fatoração, vamos primeiro entender o que são polinômios. Um polinômio é uma expressão matemática que contém variáveis e coeficientes, que são combinados usando adição, subtração e multiplicação. Aqui está a forma geral de um polinômio:

P(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x + a 0

Nesta expressão:

  • a n , a n-1 , ..., a 0 são constantes chamadas coeficientes.
  • x é a variável.
  • n é um inteiro não negativo, e é a maior potência de x que aparece no polinômio, conhecido como o grau do polinômio.

Conceito de fatoração

A fatoração refere-se ao processo de expressar uma entidade matemática (como um número ou polinômio) como um produto de seus fatores. No contexto dos polinômios, fatorar envolve expressar o polinômio como o produto de dois ou mais polinômios de grau inferior. Esses polinômios são chamados de fatores do polinômio original.

Uma analogia

Pense na fatoração como dividir um número em seus fatores primos. Por exemplo, o número 18 pode ser decomposto em 2 × 3 × 3. Da mesma forma, um polinômio pode ser fatorado em polinômios mais simples.

Métodos de fatoração

Existem várias maneiras de fatorar polinômios. Vamos discuti-los com exemplos:

1. Encontrando o maior fator comum (MFC)

O método mais simples de fatoração é encontrar o maior fator comum dos termos de um polinômio. Considere o polinômio:

P(x) = 12x 3 + 18x 2 + 6x

Primeiro, encontre o MFC dos coeficientes 12, 18 e 6, que é 6. Além disso, note que cada termo contém x. Portanto, o MFC é 6x.

Podemos fatorar 6x de cada termo:

P(x) = 6x(2x 2 + 3x + 1)

Agora, o polinômio é expresso como o produto de 6x e (2x 2 + 3x + 1).

2. Fatoração por agrupamento

Outra técnica usada para fatorar polinômios, especialmente polinômios com quatro termos, é a fatoração por agrupamento. Por exemplo, considere:

Q(x) = x 3 + 3x 2 + 2x + 6

Comece agrupando os termos:

Q(x) = (x 3 + 3x 2) + (2x + 6)

Em seguida, encontre o MFC para cada grupo:

Q(x) = x 2 (x + 3) + 2(x + 3)

Observe que (x + 3) é o mesmo em ambos os grupos, então fatorize-o:

Q(x) = (x + 3)(x 2 + 2)

Assim, o polinômio agora é dividido como o produto de (x + 3) e (x 2 + 2).

3. Fatoração de polinômios quadráticos

A forma de um polinômio quadrático é a seguinte:

ax 2 + bx + c

Ao fatorar quadráticos, tentamos expressá-los como o produto de dois binômios:

ax 2 + bx + c = (px + q)(rx + s)

Vamos ver um exemplo:

R(x) = x 2 + 5x + 6

Precisamos de dois números cujo produto seja 6 e a soma seja 5, como 2 e 3. A fatoração é a seguinte:

(x + 2)(x + 3)

A fatoração é confirmada pela multiplicação:

(x + 2)(x + 3) = x 2 + 3x + 2x + 6 = x 2 + 5x + 6

4. Diferença de quadrados

A diferença de quadrados é um tipo específico de fatoração. Um polinômio que é a diferença de dois quadrados pode ser expresso da seguinte forma:

a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)

Exemplo:

S(x) = x 2 - 16

Esta é a diferença de quadrados, visto que x 2 e 16 são quadrados perfeitos. Portanto, pode ser dividido da seguinte forma:

(x + 4)(x - 4)

5. Soma e diferença de cubos

Para cubos, temos as fórmulas de soma e diferença:

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2 )

Considere um polinômio:

T(x) = x 3 - 8

Isso pode ser visto como a diferença de cubos:

x 3 - 2 3

Usando a fórmula, isso é fatorado como:

(x - 2)(x 2 + 2x + 4)

Exemplo prático de fatoração de polinômios

Vamos fatorar o polinômio totalmente:

U(x) = 2x 4 + 8x 3 + 6x 2
  1. Fatore o MFC:
    2. MFC = 2x 2
    U(x) = 2x 2 (x 2 + 4x + 3)
  2. Agora, fatorize o quadrático dentro dos parênteses:
    3. x 2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3)
  3. Assim, a fatoração completa torna-se:
    4. U(x) = 2x 2 (x + 1)(x + 3)

Visualizando a fatoração de polinômios

Vamos ver como a fatoração de polinômios funciona com um exemplo simples:

V(x) = x 2 - 5x + 6

Este polinômio pode ser sistematicamente fatorado na seguinte forma:

(x - 2)(x - 3)
x 2 -5x 6 (x – 2) (x – 3)

Esta visualização mostra que a fatoração é equivalente a agrupar objetos representados por um binômio.

Aplicações da fatoração

A fatoração tem muitas aplicações na matemática. Aqui estão algumas:

  • Simplificação de frações: A fatoração pode ajudar a simplificar frações polinomiais complexas, tornando-as mais fáceis de calcular.
  • Resolução de uma equação polinomial: Uma vez fatorada, uma equação polinomial pode ser facilmente resolvida definindo cada fator igual a zero e resolvendo para a variável.
  • Análise do gráfico: A forma discreta do polinômio pode fornecer insights sobre o gráfico, como a origem (onde o gráfico intercepta o eixo x).

Conclusão

A fatoração é um aspecto fundamental da álgebra polinomial que permite gerenciar expressões complexas de maneira mais fácil. Ao decompor polinômios em suas partes componentes, podemos resolver equações, simplificar termos e entender mais claramente as relações matemáticas. As técnicas cobertas através de vários exemplos demonstram o processo e a utilidade da fatoração de polinômios em vários contextos.


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