10º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propriedades dos Números Reais  1.1.2. Números racionais e irracionais  1.1.3. Representação decimal de números reais  1.1.4. Operações com números reais  1.1.5. Números reais na reta numérica  1.2. O lema da divisão de Euclides  1.3. Fatoração de números primos  1.4. Compreendendo o MMC e o MDC em sistemas numéricos  1.5. Expoentes e Radicais  1.5.1. Leis dos expoentes  1.5.2. Simplificação de expressões básicas  1.5.3. Notação científica
  2. Compreendendo Algebra  2.1. Polinômios  2.1.1. Definição e tipos de polinômios  2.1.2. Grau de um polinômio  2.1.3. Zeros de um polinômio  2.1.4. Fatoração de polinômios  2.1.5. Identidades algébricas  2.2. Equações lineares em duas variáveis  2.2.1. Gráficos de equações lineares  2.2.2. Soluções de equações lineares  2.2.3. Aplicação de equações lineares em problemas de palavras  2.3. Entendendo Equações Quadráticas  2.3.1. Forma padrão de equação quadrática  2.3.2. Métodos para resolver equações quadráticas  2.3.2.1. Método de fatoração  2.3.2.2. Método de completar o quadrado  2.3.2.3. Fórmula quadrática  2.3.3. Compreendendo a natureza das raízes em equações quadráticas  2.4. Entendendo progressões aritméticas  2.4.1. Definição de progressão aritmética  2.4.2. Termo geral da Progressão Aritmética (PA)  2.4.3. A soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética  2.5. Introdução às funções  2.5.1. Definição e tipos de funções  2.5.2. Domínio e imagem  2.5.3. Estrutura dos trabalhos  2.5.4. Inverso de uma função
  3. Geometria coordenada  3.1. Introdução ao sistema cartesiano em geometria coordenada  3.2. Fórmula da distância  3.3. Fórmula da seção  3.4. Área de um triângulo  3.5. Inclinação da linha  3.6. Equação de uma linha em geometria coordenada  3.6.1. Forma de inclinação-interceptação  3.6.2. Introdução à forma ponto-inclinação  3.6.3. Forma de dois pontos  3.6.4. Forma de interceptação  3.6.5. Forma geral da linha
  4. Trigonometria  4.1. Razões trigonométricas  4.1.1. Sen, cosseno, tangente e seus inversos  4.1.2. Compreendendo os valores das razões trigonométricas em ângulos específicos  4.2. Identidades Trigonométricas  4.3. Relações trigonométricas de ângulos complementares  4.4. Alturas e distâncias  4.4.1. Compreendendo ângulos de elevação e depressão  4.4.2. Aplicações em problemas da vida real
  5. Geometria  5.1. Triângulo  5.1.1. Congruência de triângulos  5.1.2. Critérios de conformidade  5.1.3. Propriedades dos triângulos  5.2. Compreendendo similaridade na geometria  5.2.1. Compreendendo formas semelhantes na geometria  5.2.2. Critérios de semelhança  5.2.3. Similaridade de triângulos  5.2.4. Aplicações do paralelismo na vida real  5.3. Compreendendo círculos na geometria  5.3.1. Propriedades do círculo  5.3.2. Tangente a um círculo  5.3.3. Número de tangentes a partir de um ponto  5.3.4. Ângulo subtendido pelo arco  5.4. Construções em geometria  5.4.1. Construção de triângulos semelhantes  5.4.2. Tangente a um círculo  5.4.3. Construção de uma bissetriz de ângulo
  6. Mensuração  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de um Triângulo  6.1.2. Compreendendo a área de um paralelogramo  6.1.3. Área do trapézio  6.1.4. Compreendendo a área de um losango  6.2. Área de superfície e volume  6.2.1. Área de superfície de cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.2. Área de superfície do cone e esfera  6.2.3. Volume de um cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.4. Volume de cone e esfera  6.3. Conversão de unidades  6.4. Tronco de cone
  7. Figuras  7.1. Introdução à estatística  7.2. Coleta de dados  7.3. Apresentação de dados  7.3.1. Forma Tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: Uma ferramenta para representação gráfica em estatística  7.3.2.3. Polígono de frequência  7.3.2.4. Ogiva  7.4. Medidas de tendência central  7.4.1. Média, mediana e moda  7.4.2. Compreendendo Quartis e Percentis  7.5. Medidas de dispersão  7.5.1. Alcance e intervalo interquartil  7.5.2. Desvio Padrão e Variância
  8. Possibilidade  8.1. Introdução à Probabilidade  8.2. Probabilidade experimental  8.3. Probabilidade teórica  8.4. Probabilidade de eventos simples  8.5. Programas Complementares  8.6. Probabilidade de eventos mistos

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Definição e tipos de polinômios


Os polinômios são um conceito fundamental na álgebra e são frequentemente encontrados em várias áreas da matemática. Compreender o que são polinômios e quais são os diferentes tipos é essencial para resolver problemas algébricos e trabalhar com expressões matemáticas.

O que é um polinômio?

Em termos simples, um polinômio é uma expressão matemática composta por variáveis e coeficientes, envolvendo apenas adição, subtração, multiplicação e expoentes inteiros das variáveis. Vamos entender esse conceito com mais detalhes.

Considere a expressão:

2x² + 3x + 5

Este é um polinômio com três termos: 2x², 3x e 5.

Componentes de um polinômio

Para compreender totalmente os polinômios, é importante reconhecer seus componentes:

  • Variável: Um símbolo, geralmente x, y ou z, que representa um valor desconhecido.
  • Coeficiente: O número multiplicado pela variável. Em 3x, 3 é o coeficiente.
  • Expoente: A potência à qual uma variável é elevada. Em x², o expoente é 2.
  • Termos: As partes individuais de um polinômio que são separadas por adição ou subtração. Em 2x² + 3x + 5, os termos são 2x², 3x e 5.
  • Constante: Um termo sem variável. Em 2x² + 3x + 5, 5 é o termo constante.

Grau de um polinômio

O grau de um polinômio é o maior expoente da variável no polinômio. Ele determina a forma geral do gráfico e o número de soluções ou raízes da equação polinomial.

Por exemplo, no polinômio 2x³ + 3x² + x + 7, o grau é 3 porque o maior expoente de x é 3.

Tipos de polinômios

Os polinômios podem ser classificados com base em seu grau ou no número de termos que possuem. Aqui estão os principais tipos:

Tipos dependendo do grau

  1. Polinômio constante: Um polinômio de grau 0. Não possui variáveis.
    Exemplo:
    5
  2. Polinômio linear: Um polinômio de grau 1.
    Exemplo:
    3x + 2
  3. Polinômio quadrático: Um polinômio de grau 2.
    Exemplo:
    x² + 4x + 4
  4. Polinômio cúbico: Um polinômio de grau 3.
    Exemplo:
    2x³ + x² - x + 1

Tipos baseados no número de termos

  1. Monômio: Um polinômio com apenas um termo.
    Exemplo:
    7x³
  2. Binômio: Um polinômio com dois termos.
    Exemplo:
    3x + 2
  3. Trinômio: Um polinômio com três termos.
    Exemplo:
    x² + 4x + 4
  4. Polinômio: Um termo geral para polinômios com mais de três termos.
    Exemplo:
    x⁴ + 2x³ + 3x² + 4x + 5

Visualização de polinômios

A representação gráfica dos polinômios pode ajudar a entender sua natureza e comportamento. Os elementos visuais dos gráficos de polinômios incluem:

  • Interceptos: Pontos onde o gráfico cruza o eixo x (origem real) e o eixo y.
  • Pontos de inflexão: Pontos onde o gráfico muda de direção, o que é importante para tipos de polinômios de grau 2 ou superior.
  • Comportamento terminal: A direção em que o gráfico se move à medida que a variável se aproxima do infinito ou do infinito negativo.

Aqui está um exemplo de um gráfico de polinômio quadrático:

Como trabalhar com polinômios

Os polinômios podem ser manipulados usando várias operações. Aqui estão algumas operações básicas e exemplos:

Soma de polinômios

Para adicionar polinômios, combine termos semelhantes somando os coeficientes das variáveis de mesma potência.

Exemplo: Adicione 3x² + 2x + 1 e 4x² + 5x + 6

(3x² + 2x + 1) + (4x² + 5x + 6) = (3x² + 4x²) + (2x + 5x) + (1 + 6) = 7x² + 7x + 7

Subtração de polinômios

Para subtrair polinômios, mude o sinal de cada termo no polinômio a ser subtraído e depois combine termos semelhantes.

Exemplo: Subtraia 4x² - 5x - 6 de 3x² + 2x + 1

(3x² + 2x + 1) - (4x² - 5x - 6) = (3x² - 4x²) + (2x + 5x) + (1 + 6) = -x² + 7x + 7

Multiplicação de polinômios

Para multiplicar polinômios, multiplique cada termo do primeiro polinômio por cada termo do segundo polinômio usando a propriedade distributiva e depois combine termos semelhantes.

Exemplo: Multiplique (x + 2) e (x + 3)

(x + 2)(x + 3) = x(x + 3) + 2(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6

Divisão de polinômios

A divisão de polinômios pode ser mais complexa e envolve dividir cada termo do polinômio pelo divisor dado. Embora esse processo pareça com a divisão longa, é necessário praticar para entender o método.

Exemplo: Divida 2x³ + 3x² + x + 5 por x + 1

Divida (2x³ + 3x² + x + 5) por (x + 1): x + 1 | 2x³ + 3x² + x + 5 - (2x³ + 2x²) ---------------- x² + x + 5 - (x² + x) ---------------- 5 Resultado: 2x² + 1 com resto 5

Polinômios no mundo real

Polinômios também desempenham um papel importante em aplicativos do mundo real, como física, engenharia, finanças, entre outros. Compreender polinômios ajuda a modelar situações e fazer previsões.

Exemplo: A altura de um projétil t segundos após ser lançado pode ser modelada usando um polinômio quadrático:

h(t) = -4.9t² + vt + h₀

Onde:

  • v é a velocidade inicial.
  • h₀ é a altura inicial.
  • A medida de -4.9 é explicada pelos efeitos da gravidade.

Conclusão

Compreender os polinômios é importante na resolução de problemas matemáticos e na compreensão de vários modelos científicos. Eles abrangem muitas operações matemáticas e entender suas propriedades, tipos e como manipulá-los é uma habilidade fundamental na álgebra.

Continue praticando com uma variedade de exemplos para um entendimento mais profundo e confiança em trabalhar com polinômios.


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Definição e tipos de polinômios

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